专题08 一元二次方程（4大考点）2022-2024年中考数学真题分类汇编

试卷第=page22页，共=sectionpages88页专题08一元二次方程（4大考点）【考点归纳】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考点01解一元二次方程 1二、考点02一元二次方程根的判别式 2三、考点03根与系数的关系 3四、考点04一元二次方程的实际应用 4考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（

）A．2 B． C．2或 D．3．（2022·青海·中考真题）已知方程的一个根是，则的值为（）A． B． C． D．4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（

）A．1 B． C． D．1或5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A．或 B．或 C． D．6．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．7．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（

）A．或0 B．0或1 C．或 D．或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02一元二次方程根的判别式二、考点02一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（

）A． B． C． D．16．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．19．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为．23．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．(1)求的取值范围；(2)化简：．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若方程的两个根为，，且，求的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．考点03根与系数的关系三、考点03根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（

）A． B． C． D．635．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；(2)求，；(3)已知，求的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若，且，，都是整数，求的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，∴．则．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．考点04一元二次方程的实际应用四、考点04一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（

）A． B．C． D．42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（

）A． B． C． D．44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（

）A．或 B．或 C． D．45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（

）A． B． C． D．46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（

）A． B．C． D．47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（

）A． B． C． D．48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（

）

A． B． C．或 D．49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（

）A．8 B．10 C．7 D．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．(1)求与与的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．

57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？

58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当___________时，元/；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．专题08一元二次方程（4大考点）（解析版）【考点归纳】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考点01解一元二次方程 1二、考点02一元二次方程根的判别式 5三、考点03根与系数的关系 16四、考点04一元二次方程的实际应用 22考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶，∴，∴或，∴，，故选∶B．2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．【详解】解：是关于的一元二次方程，，即由一个根，代入，可得，解之得；由得；故选A3．（2022·青海·中考真题）已知方程的一个根是，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．把代入一元二次方程得到，求解即可得出的值．【详解】解：把代入方程得：，解得：．故选：B．4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（

）A．1 B． C． D．1或【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍）故选：C．5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底边长为，腰长为，∴这个三角形的周长为，故选：．6．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B、，解得：，故本选项符合题意；C、，，解得，故本选项不符合题意；D、，，解得，故本选项不符合题意．故选：B．7．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（

）A．或0 B．0或1 C．或 D．或1【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，∴当时，，即，整理得：解得：或（舍去）当即时，一次函数y随x的增大而减小，∴当时，，即，整理得：解得：或（舍去）综上，或，故选：A8．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．【详解】解：∵，∴，将代入得，，即：，，∴或，∵，∴舍，∴，故答案为：3．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：．【答案】，【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，，或，，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．【答案】（1）或（2）第三边的长是或【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．（1）用因式分解法解即可；（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．【详解】解：（1）或；（2）当两条直角边分别为3和1时，根据勾股定理得，第三边为；当一条直角边为1，斜边为3时，根据勾股定理得，第三边为．答：第三边的长是或．二、考点02一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，且，即，解得：，的取值范围是且．故选：D．12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．【详解】解：∵为一元二次方程，∴，∵该一元二次方程有两个实数根，∴，解得，∴且，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，且，解得，，且.故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，故选：．16．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，，，的取值范围是：且．故选：A．17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程无实数根，∴，解得：，则函数的图象过二，四象限，而函数的图象过一，三象限，∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，故选：A．18．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A．，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；B．，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；C．，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；D．，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；故选：D．19．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程有两个相等的实数根，，∴，∴，解得．故选C．20．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，∴没有实数根，∴，．故答案为：．21．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为．【答案】/【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为．【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：故答案为：223．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为．【答案】/【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，解得：．故答案为：．24．（2019·上海·中考真题）若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于的方程有实数根，∴，解得：；故答案为：．25．（2024·广东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．【答案】1【分析】由有两个相等的实数根，可得进而可解答．【详解】解：∵有两个相等的实数根，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)或．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明恒成立即可；（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．【详解】（1）证明：，∵无论取何值，，恒成立，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∴，解得：或．28．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．(1)求的取值范围；(2)化简：．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．∴，解得：；（2）解：∵，∴；29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若方程的两个根为，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．【详解】（1）解：，∵有两个不相等的实数，∴，解得：；（2）∵方程的两个根为，，∴，∴，解得：，（舍去）．即：．【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)的值为1或【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵的两个实数根为，∴．∵，∴，．∴．即．解得或．∴的值为1或．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解方程．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，（2）将代入，利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：依题意得：，解得且；（2）解：当时，原方程变为：，则有：，，，方程的根为，．【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．【答案】(1)见解析(2)或．【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不论为何值，方程总有实数根；（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值为或．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．三、考点03根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，∴，，故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．34．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．【详解】解：，，而，，，故选：A．35．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，则∴故答案为：736．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，，，，，．故答案为：．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；(2)求，；(3)已知，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（）利用根和系数的关系即可求解；（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，故答案为：，；（2）解：∵，，∴，∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，∴，∴，∴；（3）解：由根与系数的关系得，，，∵，∴，∴，∴，解得或，∴一元二次方程为或，当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意；∴．38．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若，且，，都是整数，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，解得：；（2）解：∵，由（1）得，∴，∴整数的值有，，，当时，方程为，解得：，（都是整数，此情况符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；综上所述，的值为．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，∴．则．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．【答案】(1)，(2)(3)的值为或．【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，．故答案为：，；（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，∴，，∴；（3）解：∵实数s、t满足，∴s、t可以看作方程的两个根，∴，，∵，∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．四、考点04一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意可得，故选：B．41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得即，故选：B．42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：．故选：B．43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：，解得：（舍去）；故选C．44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，由题意得，解得：，，当时，平行于墙的一边的长为；当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；∴该矩形场地长为米，故选C．45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．【详解】由题意得：，故选：C．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．【详解】解：设宽为x步，则长为步，由题意得：，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据矩形面积公式，可得，即可解答．【详解】解：根据题意可得矩形空地的宽为米，可列方程，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系，列出方程是解题的关键．48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（

）

A． B． C．或 D．【答案】A【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，依题意得：解得：，（不合题意，舍去），∴小路宽为．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（

）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．【详解】设有x支队伍，根据题意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．50．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）；故答案为：．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．【答案】【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：．解得：，（不符合题意，舍去），故答案为：．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．【答案】20%【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，解得，（舍去）所以，增长率为20%故答案为：20%【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【答案】【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，由公式法解一元二次方程可得，根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．(1)求与与的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．【答案】(1)；(2)能，(3)的最大值为800，此时【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．【详解】（1）解：∵篱笆长，∴，∵∴∴∵墙长42m，∴，解得，，∴；又矩形面积；（2）解：令，则，整理得：，此时，，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为；∴∴∵，∴；（3）解：∵∴有最大值，又，∴当时，取得最大值，此时，即当时，的最大值为80055．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元(2)这天售出了64辆轮椅【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；（2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：；∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴，∴，∵，∴当时，随的增大而增大，∴当时，每天的利润最大，为元；答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；（2）当时，，解得：（不合题意，舍去）；∴（辆）；答：这天售出了64辆轮椅．56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．

【答案】的长为米或米【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：设米，则米，根据题意得，，解得：，答：的长为米或米．【点睛