2023届四川省成都市锦江区锦江区嘉祥外国语高级中学高三上学期期中数学试题

2023届四川省成都市锦江区锦江区嘉祥外国语高级中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．若集合，集合，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出集合，然后求出，最后根据交集含义得到答案.【详解】由中不等式变形得:,解得:，即，，则，故选：C.2．设复数，是的共轭复数，则的虚部为A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，代入，利用复数的代数形式的乘除运算，即可求解.【详解】由题意，复数，得，则，所以复数的虚部为，故选C.【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的代数形式的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．命题，命题，则是成立的（）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先将命题与命题化简，再求出与命题，即可判断出是的必要不充分条件.【详解】由命题得或，由命题得，所以或所以是的必要不充分条件.故选：B.4．某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（）A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多【答案】B【分析】由频率分布直方图性质可求，由此确定男生各层频率，再由扇形统计图确定女生中各层频率，由此判断选项A，D，再通过求D层次的女生和层次的男生在整个样本中频率判断选项C，再估计男生身高的中位数和女生身高的中位数判断选项B.【详解】设样本中女生有人，则男生有人，设女生身高频率分布直方图中的组距为由频率分布直方图的性质可得，所以，所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%所以样本中层次的女生人数为，男生人数为，由于的取值未知，所以无法比较层次中男，女生人数，A错误；层次女生在女生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，层次男生在男生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，由于的取值未知，所以无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率，C错误；样本中层次的学生数为，样本中层次的学生数为，由于的取值未知，所以无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，D错，女生中，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，而男生，两个层次的频率之和为35%，，，两个层次的频率之和为65%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确；故选：B.5．已知向量夹角为，且，则A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量夹角为，且可得的值；再通过得出结论.【详解】由题意可得：，结合题意有：，解得：.故选：C.6．已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据β＜α，确定，，再由cos（α﹣β），sin（α+β），求得，然后利用角的变换求解.【详解】因为β＜α，所以，所以，，又因为cos（α﹣β），sin（α+β），所以，则sin2β.故选：D【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．函数的图象大致为A． B．C． D．【答案】A【解析】根据奇偶性排除B，D，取特殊值排除C，即可得到答案.【详解】的定义域为关于原点对称所以函数是奇函数，故排除B，D因为，所以排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.8．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线定义可知为正三角形，根据可知，由此可求得，由此可得.【详解】由抛物线定义可知：，，为正三角形.设准线与轴交于点，由抛物线方程可知：，，，，.故选：A.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，记，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函数的定义可得到，然后通过即可得到答案【详解】由可得，所以故选：D10．函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则m的值可能为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据图像求出参数值，进而得到和的解析式，然后根据图像的平移求解出含有m的的解析式，根据诱导公式求解m取值，结合选项确定答案.【详解】由图可知，，因为图像过，，所以，解得，则，根据图像可知且，解得，所以，；把的图象向左平移个单位长度后得到函数，根据诱导公式可得，解得，当时，.故选：C.11．已知偶函数满足且，当时,，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】D【分析】判断f（x）在（0，8）上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期（0，8）内有4个整数解，再根据对称性得出不等式在（0，4）上有2个整数解，从而得出a的范围．【详解】当0＜x≤4时，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，∵f（x）是偶函数，∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴f（x）的周期为8，∵f（x）是偶函数，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200个整数解，∴不等式在（0，200）内有100个整数解，∵f（x）在（0，200）内有25个周期，∴f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解，（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，显然f（x）＞0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意；（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，显然f（x）＜0在区间（0，8）上无解，∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4个整数解，∵f（x）在（0，8）上关于直线x=4对称，∴f（x）在（0，4）上有2个整数解，∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整数解为x=1，x=2．∴≤﹣a＜ln2，解得﹣ln2＜a≤﹣．故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是分析出函数f(x)的周期性和对称性，f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解.其二是对a分类讨论，得到a的取值范围.12．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根据已知条件可以判断是直角三角形，且随着的变化三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定与边的变化关系，再构造一个关于边的三角形，根据定与边的关系在新构造的三角形中解出的表达式，找出最大值.【详解】由可知，是，的直角三角形，如图所示：设，，，则由余弦定理得，即由正弦定理得，所以.连接，在中，由余弦定理，得当时，的长度取得最大值，为故选:B【点睛】思路点睛：可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：①确定变动图形的变化规律：如上题的变化是角度不变，边长可等比例变化②确定图形变化与某个变量的联系：变化发生变化整体变化③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活用所学的数学知识.二、填空题13．设满足约束条件，则的最小值为___________.【答案】1【分析】作出可行域，根据直线截距的几何意义求解即可.【详解】由约束条件作出可行域如图，由得：由图可知，当直线过点时，有最小值，联立，解得.∴的最小值为.故答案为：1【点睛】本题主要考查了简单线性规划，属于中档题.14．已知函数是定义域为的偶函数，，都有，当时，，则________.【答案】5【分析】由题意可知周期为2，从而可求出，，进而可求出的值.【详解】解：由可知，关于对称，又因为是偶函数，所以周期为2，则，.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.15．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为________.【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，结合基本不等式即可求得的最小值．【详解】连接，如图，中，，点满足，，，，因为，，三点共线，所以，，当且仅当时取“”，则的最小值为故答案为：16．已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.【答案】【分析】对函数求导，函数有两个极值点，，则，化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.【详解】所以，令，所以令，则令，则所以在上单调递减，所以所以在上单调递减，所以令，则恒成立所以在上单调递增，即【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解三、解答题17．已知向量，设．（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，整体代入求解函数的单调增区间即可；（2）由，可得，结合范围，可得的值，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得解．【详解】解：（1）由，可得，所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，所以，又，则，所以，解得，由余弦定理可得，可得，解得，所以.18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．（1）求出直方图中的值；并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数（中位数精确到0.01）；（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．【答案】（1）；中位数为73.33；（2）．【分析】（1）根据频率分布直方图，由概率之和为1求解m，根据中位数所在直线平分频率分布表的面积求解.（2）根据频率分布直方图得到一等品和二等品的比例，然后由分层抽样得到所抽取的5个口罩中一等品，二等品的数，再利用古典概型求解.【详解】（1）因为，所以；设中位数为n，则，解得；（2）由频率分布直方图知：100个口罩中一等品，二等品各有60个，40个，由分层抽样知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，则从5个口罩中抽取2个的可能结果为，共10种，其中恰有一个一等品的结果为，共6种，所以这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，BC＝3，E为PB的中点，F为线段BC上靠近B点的三等分点．(1)求证：AE⊥平面PBC；(2)求点B到平面AEF的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由已知可得AE⊥PB，再由PA⊥平面ABCD，结合底面ABCD为长方形，从而得到BC⊥平面PAB，用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PBC.(2)由(1)可知，AE⊥平面PBC，可计算出EF的长度，再利用等体积法，由可算出答案.【详解】（1）证明：∵PA＝AB，E为线段PB中点，∴AE⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴BC⊥PA，又∵底面ABCD为长方形，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，又PB∩BC＝B，PB、BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC；（2）由(1)知，AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，则EF＝，由题意，PA⊥平面ABCD，E为PB的中点，∴点E到平面ABCD的距离等于，设点B到平面AEF的距离为h，则，即，解得．故点B到平面AEF的距离为．20．已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由轴，结合勾股定理可得，从而可求出，，则可知，结合，可求出，即可求出椭圆的标准方程.（2）设，，，与椭圆方程联立，可得，，从而可用表示出，用内切圆半径表示出，即可知，结合基本不等式，可求出当半径取最大时，的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为轴，所以，则，由，，解得，，，由椭圆的定义知，，即，椭圆的标准方程为.（2）要使的内切圆的面积最大，需且仅需其的内切圆的半径最大.因为，，设，，易知，直线l的斜率不为0，设直线，联立，整理得，故，；所以，又，故，即，；当且仅当，即时等号成立，此时内切圆半径取最大值为，直线l的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简.21．已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若函数在上恰有两个极值点，且设极大值和极小值分别为,，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)将代入得的解式析，求导，再求出的值，即得切线的斜率，用点斜式写出切线方程，化简即可；(2)由有两个极值点，可得，进而得到两个零点分别位于和内，于是可得，=，令，求导，求出的值域即可.【详解】（1）当时，，，所以，又因为，切点，∴在处的切线方程为，即，所以函数在处的切线方程：；（2）解：因为，在上单调递减；上单调递增，∴若，则，∴在上单调递增，不可能有两个极值