广东省阳江市阳春市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

2024年中考数学科模拟训练题（二）说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟．2．答卷前，考生务必用黑色字迹签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的姓名、准考证号、座位号．3．严格按照题号在相应的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效；不能答在试题上．4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的绝对值是（）A.2024 B. C. D.0答案：A解析：解：的绝对值是，故选：A．2.如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．3.经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时多名党员，发展成为今天已经拥有超过万党员的世界第一大政党．万用科学记数法表示为()A. B. C. D.答案：C解析：万，故选：C．4.某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，∴共有12名同学，∵九（1）班有2名，∴P==；故选：D．5.某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重（单位：）如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.42，36 B.42，42 C.40，40 D.42，40答案：D解析：解：出现次数最多的数据为42，∴众数为42，排序后，位于中间位置的数据为40，∴中位数为40；故选D．6.如图，，，，则的度数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：∵，∴，∵，，∴，故选：B．7.某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（）A.4 B.5 C.10 D.0答案：A解析：解：由题意，设，∴，∴；∴当时，．故选：A．8.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：设合伙人数为人，依题意，得：．故选B．9.如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：连接OB，OC，如图，∵正方形ABCD内接于，∴∴故选：B．10.已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是()A. B. C.或 D.或答案：A解析：解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，∴，解得：，又∵，，∴，∴即解得：或，∵，∴，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.比较大小：______2．（填“>”、“=”或“<”）答案：解析：解：∵，∴，∴，故答案为：．12.分解因式：________________．答案：解析：解：，故答案为：．13.如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为_______．答案：解析：解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，在Rt△ABC中，，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴•DE×5+•CD×3=×3×4，，即5CD+3CD=12，∴CD=，∴，故答案为：．14.如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则长为________．答案：解析：解：四边形是平行四边形，，，，，平分，，，，，，，如图，过点作于点，则，，，，，．故答案为：．15.如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．答案：6解析：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接∵是等边三角形，∴∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值为的长度∵是等边三角形，，∴∴的最小值为6．故答案为：6．三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）16.（1）计算：；（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．答案：（1）；（2）；数轴见解析解析：（1）；（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解集为：在数轴上表示解集如图所示，17.体育老师随机抽取了部分同学参加体能测试，并按测试成绩分成四个等级，已知有的同学获得等级．根据测试成绩，体育绘制了如下条形统计图（不完整）（1）请将条形统计图补充完整，并在图中标注相应数据；（2）体育老师从两个等级的同学中随机选择2名同学进行体训，求事件“2名同学中至少有一名同学是等级”发生的概率．（树状图或列表法）答案：（1）见解析（2）小问1解析：解：由题意得：被调查的学生人数为：（人），等级人数为：（人），补全图形如下：；小问2解析：解：画出树状图如下：，由图可得，共有种等可能出现的结果，其中名同学中至少有名同学是等级的有种结果，事件“2名同学中至少有一名同学是等级”发生的概率为．18.为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．答案：的长和的长分别约为米和米．解析：解：过作于于，∵，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴在中，，∵米，，∴（米），∵，∴在中，，∵四边形为矩形，∴米，∵，∴（米），∴（米），答：的长和的长分别约为米和米．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19.某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？答案：（1）35元/盒；（2）20%．解析：试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：年增长率为20%．考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．20.类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动．（1）小组合作：讨论交流同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．”同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是，所以图像与轴不相交．”同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第象限．”……（2）独立操作：探究性质在平面直角坐标系中，画出的图像．结合图像，描述函数图像与性质：①函数的图像是两条曲线；②该函数图像关于______________对称；③图像的增减性是__________________；④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由．（3）拓展探究：综合应用直接写出不等式的解集是____________________．答案：（1）；一、二（2）画图见解析；轴；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；同学丁的说法是正确的，证明见解析（3）或或小问1解析：解：∵，∴，∴因为自变量的取值范围，所以图像与轴不相交．因为函数值大于0，所以图像一定在第一、二象限．”故答案：；一、二；小问2解析：列表得：描点并连线得：根据函数图像可得：①函数图像是两条曲线；②该函数图像关于轴对称；故答案为：轴；③图像的增减性是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；④同学丁的说法是正确的，理由如下：取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，∴，，，，∴∴，∴，∴，∴，∴在的第一象限的曲线上，故将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合，说法正确．小问3解析：∵，∴或或，∴不等式的解集是：或或．故答案为：或或．21.如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点是抛物线上不同两点．①若，求之间的数量关系．②若，求的最小值．答案：（1）（2）①；②最小值为小问1解析：抛物线与x轴相交于点解得；小问2解析：①点是抛物线上不同的两点．若，则．；②==，当=1时，的最小值为-2．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22.综合探究如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，．（1）求证：是等腰直角三角形；（2）如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；（3）当点是的中点时，．①求的长；②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结，当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．答案：（1）见解析（2），理由见解析（3）或小问1解析：证明：如图1，点在的外接圆上，，，．，，是等腰直角三角形；小问2解析：解：理由：如图，延长交于点，，，，即，，，，，又是等腰直角三角形，，，，，，，，；小问3解析：解：①由（2）知．，．是的中点，，②，，存在或，当时，如图，，是圆的直径，当时，如图，连结；是圆的直径，，，，综上所述，的长是或．23.如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q．（1）证明：△ACQ是等腰三角形；（2）求点D的坐标；（3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）解析：（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形，∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA，∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF，∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL），∴∠CAO＝∠CAF，∵BC∥OA，∴∠BCA＝∠CAO，∴∠BCA＝∠ACF，∴QC＝QA，∴△ACQ是等腰三角形．（2）解：设CQ＝AQ＝x，∵B（8，4），∴BC＝8，AB＝4，在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴BQ＝3，如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．∵∠QAD＝∠BAH＝90°，∴∠QAB＝∠DAH，∵∠B＝∠AHD＝90°，∴△ABQ∽△AHD，∴，∴，∴AH＝，DH＝，∴OH＝OA+AH＝8+＝，∴D（）．（3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长M