13.5.2.线段垂直平分线课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册

2.线段垂直平分线基础

主干落实重点

典例研析素养

当堂测评课时学习目标素养目标达成1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理,体会互逆定理之间的关系几何直观、推理能力2.会运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题几何直观、推理能力、应用意识基础

主干落实【新知要点】【对点小练】1.线段垂直平分线的性质定理

1.如图,PQ是线段AB的垂直平分线,则下列结论一定正确的是()

A.AP=BPB.BQ=APC.AB=APD.PQ=BP图形文字语言几何语言线段垂直平分线上的点到______________________∵PQ是线段AB的垂直平分线,∴________线段两端的距离相等PA=PBA【新知要点】【对点小练】2.线段垂直平分线的判定定理

2.如图,AC=AD,BC=BD,则正确的结论是()

A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.以上说法都正确图形文字语言几何语言到____________________的点在线段的垂直平分线上∵________,∴点P在线段AB的垂直平分线上线段两端距离相等PA=PBA重点

典例研析重点1线段垂直平分线的性质(几何直观、推理能力)【典例1】(教材再开发·P96T2拓展)如图,在△ABC中,EF是线段AB的垂直平分线,AD⊥BC,D为CE的中点.(1)求证:BE=AC;【自主解答】(1)连结AE,如图所示,∵AD⊥BC于点D,且D为线段CE的中点,∴AD垂直平分CE,∴AC=AE,∵EF垂直平分AB,∴AE=BE,∴BE=AC;(2)若∠B=35°,求∠BAC的度数.【自主解答】(2)∵AE=BE,∠B=35°,∴∠BAE=∠B=35°,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-35°=55°,∴∠EAD=55°-35°=20°,∵AC=AE,AD⊥BC,∴∠EAD=∠CAD=20°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=75°.

C

【典例2】(教材再开发·P96T3拓展)在△BCN中,BC=BN,点N在线段AB上(如图位置),AB为Rt△ABC的斜边,MN⊥AB于N,MN交AC于M,连结BM,CN相交于F,∠ACB=90°.(2)BM垂直平分CN.【证明】(2)由(1)知Rt△MBC≌Rt△MBN,∴MC=MN,∴点M在线段CN的垂直平分线上,∵BC=BN.点B在线段CN的垂直平分线上,∴BM垂直平分CN.【举一反三】(2024·承德期末)如图是风筝的结构示意图,点D是等边三角形ABC的外部一点,且AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E.(1)求证:BD垂直平分线段AC;【解析】(1)∵等边三角形ABC,∴BA=BC,又∵AD=CD,∴BD垂直平分线段AC;

(2)若BC=10,CF=4,求DE的长.【解析】(2)∵等边三角形ABC,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∵BD垂直平分线段AC,∴∠CBD=30°,∵DE∥AB,∴∠FEC=∠ABC=60°,∴△CEF是等边三角形,∴CE=CF=4,∴BE=BC-CE=6,∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD,∴DE=BE=6,∴DE的长为6.素养

当堂测评1.(3分·几何直观、推理能力)如图,AD⊥BC,AB=AC,点C在线段AE的垂直平分线上且点B,C,E三点共线,连结CE,若AB=3,BC=4,则线段DE的长度为()A.4 B.5 C.6 D.72.(3分·几何直观、推理能力)如图,依据尺规作图痕迹,计算∠ABC=()

A.50° B.60° C.70° D.80°BC3.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°,DE垂直平分AB交BC于点E,EC=2,则△ACE的面积为_______.

2

4.(4分·几何直观、推理能力)三名同学在玩抢凳子游戏,他们分别站在一个三角形三个顶点处,要求在他们中间放一个凳子,抢到凳子者获胜,为使游戏公平,凳子应放的最适当的位置是在三角形的________________________处.

三边垂直平分线交点

5.(6分·几何直观、推理能力)如图,在△AOB中,OC平分∠AOB,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,OB-OA=2BE.(1)求证:OD=OE;【证明】(1)因为OC平分∠AOB,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,所以∠COE=∠COD,∠CEO=∠D=90°,因为CO=CO,所以△COE≌△COD(A.A.S.),故OD=OE;5.(6分·几何直观、推理能力)如图,在△AOB中,OC平分∠AOB,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,OB-OA=2BE.(2)求证:点C在AB的垂直平分线上.【证明】(2)在BO上取点F,使OA=OF,连结CA,CF,如图,因为OC平分∠AOB,所以∠COA=∠COF,因为OA=OF,CO=CO,所以△ACO≌△FCO(S.A.S.),得AC=FC,因为OB-OA=2BE,所以OB-OA=O