12.2 三角形全等的判定 课件 2024-2025学年人教版八年级数学上册

12.2三角形全等的判定（1）什么是全等三角形？（2）如果△ABC≌△A'B'C'，你能得到哪些相等的量？（3）根据全等三角形的定义，△ABC与△A'B'C'具备什么条件才能得到△ABC≌△A'B'C'？回顾思考能够完全重合对应边相等，对应角相等（4）△ABC与△A'B'C'全等是不是一定要满足三边分别相等、三个角分别相等这六个条件呢？满足上述六个条件中的一部分是否也可以保证△ABC与△A'B'C’呢？也就是说，能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？探究发现三角形的三条边和三个内角是构成三角形的重要元素.如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等，对应角相等.反过来，根据全等三角形的定义，如果两个三角形满足三条边及三个角对应相等，则这两个三角形全等.为了寻求比六个条件更简捷的判定方法，从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，依次探究“一个条件”“两个条件”“三个条件”能否保证两个三角形全等.问题1如果两个三角形满足上述六个条件中的一个，那么可以判定两个三角形全等吗？即如果两个三角形有一条边或者有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？数学中真命题的正确性是由事件检验或由条件通过推理方式来证实的，而假命题的证明只需要举出一个反例就行.即证明一个命题是假命题，只要能举出一个符合条件但又与结论不相符的例子就可以.（1）两个三角形有一条边相等.如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE.但△ABC与△DEF不全等.即一条边相等的两个三角形不一定全等.问题1如果两个三角形满足上述六个条件中的一个，那么可以判定两个三角形全等吗？即如果两个三角形有一条边或者有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？（2）两个三角形有一个角相等.如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D.但△ABC与△DEF不全等.即一个角相等的两个三角形不一定全等.结论：如果两个三角形有一个相等的部分（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都有可能不相同）.问题2如果两个三角形满足上述六个条件中的两个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有两个相等的部分（边或角），共有几种可能的情况？这两个三角形一定全等吗？（1）两个三角形有两条边分别对应相等.如图，△ABC与△EDF，AB=ED，AC=EF，但△ABC与△EDF不全等.即两边分别相等的两个三角形不一定全等.问题2如果两个三角形满足上述六个条件中的两个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有两个相等的部分（边或角），共有几种可能的情况？这两个三角形一定全等吗？（2）两个三角形的两个内角分别对应相等.如图，△ABC与△EDF，∠A=∠D，∠B=∠E，但图中AB≠DE，但△ABC与△EDF不全等.

即两角分别相等的两个三角形不一定全等.问题2如果两个三角形满足上述六个条件中的两个，那么可以判定两个三角形全等吗？（3）两个三角形的一条边和一个内角分别对应相等.如图1，△ABC与△EDF，AB=DE，∠B=∠E，但△ABC与△EDF不全等.

即一边及此边的邻角分别相等的两个三角形不一定全等.

如图2，△ABC与△EDF，AC=DF，∠B=∠E，但△ABC与△EDF不全等.

即一边及此边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.图1图2问题3如果两个三角形满足上述六个条件中的三个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，会有哪些可能情况？这两个三角形一定全等吗？（1）两个三角形的三条边分别对应相等.我们通过作图的方法验证其正确性.已知：如图，已知△ABC.求作：△DEF，使DE=AB，EF=BC，DF=AC.作法：①画射线EG；②在射线EG上截取EF=BC；③分别以点E，F为圆心，线段AB，AC的长为半径画弧，两弧交于点D；D连接DE，DF.△DEF即为所求.三角形全等的判定方法1：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中，已经有三边分别相等.根据全等三角形的定义，我们再度量一下三对角的大小.我们发现，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠EFD.这样，我们就得到了三角形全等的一个重要的判定方法：符号语言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.问题3如果两个三角形满足上述六个条件中的三个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，会有哪些可能情况？这两个三角形一定全等吗？（2）两个三角形的三个内角分别对应相等.在前面已经探究过，有两个内角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，又因为三角形的内角和为180°，所以∠C=∠F.但△ABC与△DEF不全等.即三个内角分别相等的两个三角形不一定全等.问题3如果两个三角形满足上述六个条件中的三个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，会有哪些可能情况？这两个三角形一定全等吗？（3）两个三角形的两边及一角分别对应相等.我们依然通过作图的方式进行判断.①探究两边及它们的夹角分别相等的两个三角形是否全等.如图，已知△ABC，作△DEF，使DE=AB，EF=BC，∠E=∠B.作法：画射线EG；在射线EG上截取EF=BC；作∠KEF=∠B；在射线EK上截取DE=AB；连接DF.△DEF即为所求.三角形全等的判定方法2：两边和它们的夹角分别相等的两个角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS"）.在△ABC和△DEF中，已经有两边及它们的夹角分别相等.根据全等三角形的定义，我们再度量一下另外一边及另外两对角的大小.我们发现，AC=DF，∠A=∠FDF，∠C=∠DFE.这样，我们就得到了三角形全等的又一个重要的判定方法：符号语言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）.问题3如果两个三角形满足上述六个条件中的三个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，会有哪些可能情况？这两个三角形一定全等吗？（3）两个三角形的两边及一角分别对应相等.②探究两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等.如图，已知△ABC，作△DEF，使DE=AB，DF=AC，∠F=∠C.作法：画射线FM；在射线FM上截取DF=AC；作∠DFN=∠C；以点D为圆心，线段AB的长为半径画弧交FN于点E，G两点；连接D，DG.△DEF，△DGF即为所求.显然，与△ABC的两边及一边的对角都分别相等的三角形有两个.通过度量其他边和角的大小，我们发现，△DEF与△ABC全等，而△DGF与△ABC不全等.结论：两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.因此，一般我们不能利用“边边角”（“SSA”）来判定两个三角形全等.问题3如果两个三角形满足上述六个条件中的三个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，会有哪些可能情况？这两个三角形一定全等吗？（4）两个三角形的两角及一边分别对应相等.①探究两角及它们的夹边分别相等的两个三角形是否全等.如图，已知△ABC，作△DEF，使∠E=∠B，∠DFE=∠C，EF=BC.作法：画射线EG；在射线EG上截取EF=BC；作∠MEF=∠B，∠NFE=∠C，ME与NF交于点D.△DEF即为所求.三角形全等的判定方法3：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.在△ABC和△DEF中，已经有两角及它们的夹边分别相等.根据全等三角形的定义，我们再度量一下另外两边及另外一对角的大小.我们发现，AB=DE，AC=DF，∠A=∠EDF.这样，我们就得到了三角形全等的又一个重要的判定方法：符号语言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.问题3如果两个三角形满足上述六个条件中的三个，那么可以判定两个三角形全等吗？如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，会有哪些可能情况？这两个三角形一定全等吗？（4）两个三角形的两角及一边分别对应相等.②如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边相等，那么这两个三角形是否全等呢？想一想，有什么办法说明它的正确与否吗？已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，AB=DE.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180，D+∠E+∠F=180且∠A=∠D，∠C=∠F，∴∠B=∠E.∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.三角形全等的判定方法4：

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.这样，我们就得到了三角形全等的又一个重要的判定方法：符号语言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.判定两个三角形全等的一般方法有：（1）三边分别相等的两个三角形全等，简记为：SSS（2）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简记为：ASA（3）两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简记为：AAS（4）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简记为：SAS探究归纳典型例题例1如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F共线，MC与D交于点G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF.证明：（1）∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量，和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（边边边）.例1如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F共线，MC与D交于点G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF.证明：（2）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）.∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（边角边）.例1如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F共线，MC与D交于点G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF.证明：（3）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）.∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F（两直线平行，同位角相等）.∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（角边角）.例2如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，若△DEF是等边三角形，探究△AEF，△BFD，△CDE是否全等.解：∵等边三角形ABC，等边三角形DEF，∴∠A=∠B=60°，EF=FD，∠DFE=60°（等边三角形的性质）.∴∠BFD+∠AFE=120°.∵在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠AEF+∠AFE=120°.∴∠AEF=∠BFD（等量代换）.例2如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，若△DEF是等边三角形，探究△AEF，△BFD，△CDE是否全等.在△AEF和△BFD中，∴△AEF≌△BFD（角角边）.同理可得，△AEF≌△BFD≌△CDE.请大家回顾本节课的内容，总结梳理：1.本节课学习了哪些主要内容？2.探索三角形全等的条件，其基本思路是什么？3.这四种判定方法有何作用？总结提升达标检测1.下列各条件中，可以确定三角形的形状与大小的是_________（填序号）.①已知两边和夹角②已知两角和夹边③已知两边和其中一边的对角④已知三边