陕西省窑店中学2024-2025学年高三3月高考诊断性测试(一模)数学试题含解析_第1页
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文档简介

陕西省窑店中学2024-2025学年高三3月高考诊断性测试(一模)数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为虚数单位,复数,则其共轭复数()A. B. C. D.2.如图,在正四棱柱中,,分别为的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则()A.直线与直线异面,且 B.直线与直线共面,且C.直线与直线异面,且 D.直线与直线共面,且3.复数满足,则复数在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm35.设实数、满足约束条件,则的最小值为()A.2 B.24 C.16 D.146.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()A. B. C. D.7.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.5788.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.9.设则以线段为直径的圆的方程是()A. B.C. D.10.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①以为直径的圆与抛物线准线相离;②直线与直线的斜率乘积为;③设过点,,的圆的圆心坐标为,半径为,则.其中,所有正确判断的序号是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③11.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.12.已知函数,,则的极大值点为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.14.已知函数,若,则___________.15.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为________.16.如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.18.(12分)如图,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.19.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.20.(12分)如图,在直角中,,通过以直线为轴顺时针旋转得到().点为斜边上一点.点为线段上一点,且.(1)证明:平面;(2)当直线与平面所成的角取最大值时,求二面角的正弦值.21.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:月份56789101112研发费用(百万元)2361021131518产品销量(万台)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根据数据可知与之间存在线性相关关系,求出与的线性回归方程(系数精确到0.01);(Ⅱ)该公司制定了如下奖励制度:以(单位:万台)表示日销售,当时,不设奖;当时,每位员工每日奖励200元;当时,每位员工每日奖励300元;当时,每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售(万台)服从正态分布(其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一),请你估计每位员工该月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:,,,,参考公式:相关系数,其回归直线中的,若随机变量服从正态分布,则,.22.(10分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

先根据复数的乘法计算出,然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【详解】由,所以其共轭复数.故选:B.本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念,难度较易.2.B【解析】

连接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性质可知,直线与直线共面.,同理易得,由异面直线所成的角的定义可知,异面直线与所成角为,然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示:连接,,,,由正方体的特征得,所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得,所以异面直线与所成角为.设,则,则,,,由余弦定理,得.故选:B本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质,还考查了推理论证和运算求解的能力,属于中档题.3.B【解析】

设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【详解】设,则,,,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.4.B【解析】试题分析:该几何体上面是长方体,下面是四棱柱;长方体的体积,四棱柱的底面是梯形,体积为,因此总的体积.考点:三视图和几何体的体积.5.D【解析】

做出满足条件的可行域,根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,根据图象,当目标函数过点时,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值为.故选:D.本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.6.A【解析】

由复数的除法求出,然后计算.【详解】,∴.故选:A.本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键.7.D【解析】

因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.8.B【解析】

设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,,当时,,当且仅当时取等号,此时,,点在以为焦点的椭圆上,,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.9.A【解析】

计算的中点坐标为,圆半径为,得到圆方程.【详解】的中点坐标为:,圆半径为,圆方程为.故选:.本题考查了圆的标准方程,意在考查学生的计算能力.10.D【解析】

对于①,利用抛物线的定义,利用可判断;对于②,设直线的方程为,与抛物线联立,用坐标表示直线与直线的斜率乘积,即可判断;对于③,将代入抛物线的方程可得,,从而,,利用韦达定理可得,再由,可用m表示,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,可得a,即可判断.【详解】如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以①正确.由题意可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所以.则直线与直线的斜率乘积为.所以②正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,.根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以过点,,的圆的圆心在轴上.由上,有,,则.所以,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正确.故选:D本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.11.B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.本题考查向量投影的几何意义,属于基础题12.A【解析】

求出函数的导函数,令导数为零,根据函数单调性,求得极大值点即可.【详解】因为,故可得,令,因为,故可得或,则在区间单调递增,在单调递减,在单调递增,故的极大值点为.故选:A.本题考查利用导数求函数的极值点,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】

根据均值的定义计算.【详解】由题意,∴.故答案为:1.本题考查均值的概念,属于基础题.14.【解析】

根据题意,利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,利用函数奇偶性的性质求解即可.【详解】因为函数,其定义域为,所以其定义域关于原点对称,又,所以函数为奇函数,因为,所以.故答案为:本题考查函数奇偶性的判断及其性质;考查运算求解能力;熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.15.【解析】

基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72,由此能求出其中三种颜色的球都有的概率.【详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,所以包含的基本事件个数m72,∴其中三种颜色的球都有的概率是p.故答案为:.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.16.【解析】

建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,,则,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:本题考查导数的实际应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根据条件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,进而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入两角和的正弦公式计算即可.【详解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.本题主要考查了正余弦定理的应用,运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值,考查了学生的运算求解能力.18.(1)见解析(2)【解析】

(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形,由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,从而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.【详解】(1)证明:设与交于点,连接,在矩形中,点为中点,∵为的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中点为,连接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的长即为四棱锥的高,在梯形中,,∴四边形是平行四边形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.19.(1);(2)见解析【解析】

(1)根据抛物线的焦点在直线上,可求得的值,从而求得抛物线的方程;(2)法一:设直线,的方程分别为和且,,,可得,,,的坐标,进而可得直线的方程,根据在直线上,可得,再分别求得,,即可得证;法二:设,,则,根据直线的斜率不为0,设出直线的方程为,联立直线和抛物线的方程,结合韦达定理,分别求出,,化简,即可得证.【详解】(1)抛物线C的焦点坐标为,且该点在直线上,所以,解得,故所求抛物线C的方程为(2)法一:由点F在线段上,可设直线,的方程分别为和且,,,则,,,.∴直线的方程为,即.又点在线段上,∴.∵P是的中点,∴∴,.由于,不重合,所以法二:设,,则当直线的斜率为0时,不符合题意,故可设直线的方程为联立直线和抛物线的方程,得又,为该方程两根,所以,,,.,由于,不重合,所以本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.20.(1)见解析;(2)【解析】

(1)先算出的长度,利用勾股定理证明,再由已知可得,利用线面垂直的判定定理即可证明;(2)由(1)可得为直线与平面所成的角,要使其最大,则应最小,可得为中点,然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,进一步得到正弦值.【详解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由题意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以为坐标原点,以,,的方向为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系.∵平

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