拔高点突破04 多元函数最值与双重变量最值问题（十三大题型）（解析版）

拔高点突破04多元函数最值与双重变量最值问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：消元法 2题型二：判别式法 4题型三：基本不等式法 5题型四：辅助角公式法 6题型五：柯西不等式法 8题型六：权方和不等式法 9题型七：拉格朗日乘数法 11题型八：三角换元法 12题型九：构造齐次式 13题型十：数形结合法 15题型十一：向量法 18题型十二：琴生不等式法 21题型题型十三：双重变量最值问题 2303过关测试 26

解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．题型一：消元法【典例1-1】已知正实数x，y满足，则的最大值为______.【答案】/【解析】由得，所以，则，因为，，，所以，令，则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为．故答案为：．【典例1-2】已知实数满足：，则的最大值为___________.【答案】【解析】由已知得，，令，则，在上单调递增，又因为，所以，，令所以，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.故答案为：.【变式1-1】对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.【答案】【解析】因为对任给实数,不等式恒成立，所以，令，则，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，取得最小值，，所以实数的最大值为故答案为：题型二：判别式法【典例2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是.【答案】【解析】因为实数a，b满足，所以，且.令，则，所以，代入，则有，所以关于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.综上所述：.即的最小值是（此时，解得：）.故答案为：.【典例2-2】已知，且，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以.又因为，所以，解得.故答案为：.【变式2-1】（2024·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则.【答案】4【解析】令=d，由消去a得：，即，而，，则，，，依题意，解得.故答案为：4【变式2-2】设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则.【答案】2【解析】化简得到，根据和得到，解得答案.，则，则，即，，故，，即，即，.故答案为：2.题型三：基本不等式法【典例3-1】已知，则的最小值为.【答案】【解析】，，，当且仅当时等号成立.，的最小值为.故答案为：【典例3-2】已知正实数，，满足，则的最小值为．【答案】10【解析】解析：易知恒等式，而，当且仅当，时，等号成立．故答案为：10.【变式3-1】已知，则的最大值为．【答案】【解析】，当且仅当时取到等号．故答案为：.【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为．【答案】/【解析】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．题型四：辅助角公式法【典例4-1】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为.【答案】【解析】，令，所以，要想有最小值，显然为钝角，即，于是有，设，因为，所以令，即，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，所以的最小值为，此时，，即存在，显然存在，使得，即的最小值为，故答案为：【典例4-2】曲线上的点到坐标原点的距离的最小值等于．【答案】【解析】由已知，设，，则，,∴，∴.故答案为：.【变式4-1】已知，则的最小值为．【答案】/【解析】设，，则，而，显然，因此，其中锐角由确定，函数，当时，，当时，，因此，即有，所以的最小值为.故答案为：题型五：柯西不等式法【典例5-1】实数x、y满足，则的最大值是【答案】42【解析】注意，，，这三者相加即得.当，时等号成立，所以的最大值是42.也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值为42.故答案为42【典例5-2】函数的最大值与最小值之积为．【答案】【解析】函数的定义域为，一方面，，等号当时取得；另一方面，，当且仅当时等号成立，于是最大值为，最小值为，所求乘积为．故答案为：.【变式5-1】已知则的最大值为【答案】【解析】由柯西不等式，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.【变式5-2】已知，，，则的最大值是.【答案】2【解析】由柯西不等式得所以，当,即时等号成立.所以，即的最大值是2题型六：权方和不等式法【典例6-1】已知为锐角，则的最小值为.【答案】【解析】当且仅当即，时取“”.故答案为：【典例6-2】求的最大值为【答案】【解析】当且仅当，即或时取等号故答案为：.【变式6-1】已知，求的最小值为【答案】【解析】当且仅当时取等号故答案为：60【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，则，当且仅当，即时等号成立，所以．故选：C．题型七：拉格朗日乘数法【典例7-1】，，，求的最小值．【解析】令，，，联立解得，，，故最小为12．【典例7-2】设为实数，若，则的最大值是．【答案】【解析】令，由，解得，所以的最大值是．【变式7-1】已知为非负数,,求的最值.【解析】设,当时,取最值且.又为非负数,且故或为可能取最值处，则.综上可知.题型八：三角换元法【典例8-1】函数的值域为.【答案】【解析】令，由得，则，，所以.故答案为：.【典例8-2】函数的值域是．【答案】【解析】，令，则，由此，，当时两边分别取得等号．故答案为：.【变式8-1】函数的值域是区间．【答案】

【解析】显然函数定义域为，在此区间内，由于，即，故有角使得，．于是，因为，则．在此范围内，则有．因此．（当时，；当时，）故答案为【变式8-2】若，且，则二元函数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】配方得令，，则，从而，，其中，由此易知的值域为.选A.题型九：构造齐次式【典例9-1】已知，，则的最大值是______.【答案】【解析】由题意，，设，则，当且仅当，即取等号，又由在上单调递增，所以的最小值为，即，所以，所以的最大值是.故答案为：.【典例9-2】已知实数，若，则的最小值为（

）A．12 B． C． D．8【答案】A【解析】由，，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为：12，故选：A.【变式9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．【答案】/0.25【解析】由，得，∵正实数a，b，c∴则则，当且仅当，且a，b>0，即a=3b时，等号成立则所以，的最大值为.故答案为：.题型十：数形结合法【典例10-1】的最小值为（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【解析】设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为，则．故选：C【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.【变式10-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，容易知道图象是抛物线图象的上半部分，记抛物线焦点为，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：则，当且仅当在线段上时，取最小值.设这时点坐标为，又，所以有，解得，即该点为，所以，因此.故选：A.【变式10-2】已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（

）A． B． C． D．5【答案】D【解析】由已知表示点到点的距离，表示点到点的距离，所以，过点作，垂足为，因为直线的方程为，，所以，又直线与直线平行，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又，当且仅当三点共线时等号成立，所以当点为线段与直线的交点时，取最小值，最小值为，因为过点与直线垂直的直线的方程为，联立，可得，所以点的坐标为，所以，所以的最小值为，故选：D.题型十一：向量法【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为．【答案】【解析】因，由可得，即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，又由可得，不妨设，则，，于是，因，则，因，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最小值.故答案为：.【典例11-2】如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是．【答案】【解析】如图，分别取的中点，连接，则，故，，又，，所以，解得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是.故答案为：.【变式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知都是单位向量，且，则的最小值为；最大值为【答案】【解析】因为都是单位向量，且，设，则取当取时，即，则有，，此时有：，同理当时，有，，此时有：故的最小值为；最大值为故答案为：；【变式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量，向量，则的最大值是．【答案】4【解析】因为向量，向量，所以，则，所以当时，即时，取最大值，故答案为：.题型十二：琴生不等式法【典例12-1】在内，求的最大值．【答案】/【解析】在中，，设函数，则在上为凸函数，由琴生不等式可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故答案为：.【典例12-2】已知函数，则的最小值是.【答案】【解析】定义域为R，，故为奇函数，又，故是周期函数，周期，先考虑，函数，在上恒成立，故在上是上凸函数，由琴生不等式得.当且仅当时，.又因为是奇函数，所以.故答案为：【变式12-1】半径为的球的内接三棱锥的体积的最大值为.【答案】【解析】设三棱锥为，的外接圆半径为，则，当且仅当时，上式等号成立，若球心到平面的距离为，则，当且仅当三棱锥为正四面体时，上式等号成立.【变式12-2】半径为的圆的内接三角形的面积的最大值是．【答案】【解析】设的内接三角形为．显然当是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值（因为若是钝角三角形，可将钝角（不妨设为）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为）．因此，．下面设，，，．则．由讨论知可设、、，而在上是上凸函数．则由琴生不等式知．所以，．当且仅当是正三角形时，上式等号成立．故答案为题型题型十三：双重变量最值问题【典例13-1】规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为.【答案】【解析】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图，两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或（舍去），所以的最小值为．故答案为：．【典例13-2】（2024·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，得，设，则，令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，得，所以，得，即.故选：A【变式13-1】设，则.【答案】.【解析】设，则，所以.设给定的正实数，，令，解得，，所以.则，当且仅当，时等号均成立，故的最大值为,故答案为：.【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为．【答案】【解析】设，则，，，因为，当时，只需考虑，，又因为，，两式相乘得，可得，当且仅当时取等号，当时，，只需考虑，，两式相乘得，则，当且仅当时取等号，因为，故，综上所述，的最小值为．故答案为：.1．已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（

）A．4 B． C．8 D．16【答案】B【解析】由题意可知，直线的斜率不可能为0，设直线的方程为，由，消去，得设，则，所以.因为，所以，解得，当且仅当即时，取的最小值为,所以的最小值为.故选：B.2．函数的值域为.【答案】【解析】解法一：.设，则.由，得.所以f(x)的值域为.解法二：.因为时，f'(x)>0；时，f'(x)<0.所以f(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数.所以f(x)的值域为.故答案为：．3．函数的值域为．【答案】【解析】因为的定义域为，所以，．令，则．因为，所以，．4．已知正数，，满足，则的最小值为【答案】【解析】因为正数，满足，所以，当且仅当即时取等号.故答案为：.5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为.【答案】【解析】因为x，y，z均为正实数，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：.6．已知实数，，满足，则的最大值为【答案】【解析】设，因为，所以，令，解得或（舍去），因此，即，当且时取等号，故的最大值为.故答案为：7．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则.【答案】【解析】由，得，设，则，由，当且仅当时，取等号，所以.故答案为：.8．已知正实数x，y满足，则的最小值为．【答案】【解析】由，得，即，得，，，，，，，当且仅当，即，时取等号，此时，的最小值为故答案为：9．向量满足，，，则的最大值为.【答案】【解析】因为，，所以，则，则，所以，又因为，所以，则可设，则，又因为，所以，故又可设的坐标为，所以，因此，所以最大值为.故答案为：.10．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为．【答案】2【解析】法1：设，，则，如图所示．因为，所以在△ABC中，，，由正弦定理，得即，得，当时，．法2：设，，则，作出△ABC的外接圆，如图所示．因为，所以，因为，当AC为圆的直径，即时，．故答案为：211．已知两个非零向量满足，则的最大值是．【答案】【解析】设，则．则：.当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.故答案为：.12．设为正数，，则的最大值是【答案】【解析】当且仅当时取等号，即的最大值是故答案为：13．函数的最大值为.【答案】3【解析】由题意，函数当且仅当取等号，即，即时取等号，所以函数的最大值为3．故答案为：3.14．已知实数满足：，则的最大值是．【答案】【解析】设，由，可得点在以为圆心为半径的圆上，，所以，所以，所以两点重合，故，则，表示，点到直线的距离的倍，表示，点到直线的距离的倍，故表示点到直线和的距离之和的倍，设直线和的交点为，则，设点到直线和的距离分别为，则，因为，所以，当且仅当时，取等