2025高考总复习专项复习-一元函数的导数及其应用专题三（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）2024年高考导数复习专题三知识点一求过一点的切线方程,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数研究方程的根,利用导数研究双变量问题典例1、已知函数，实数，为方程的两个不等的根.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.随堂练习：已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.

典例2、已知，函数，其中为自然对数的底数.（1）判断函数的单调性；（2）若是函数的两个极值点，证明：.随堂练习：已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，．（2）若存在两个极值点，证明：．典例3、已知函数(aR)．（1）讨论函数的单调性；（2）若，为函数的两个极值点，证明：．随堂练习：1、设函数．（1）求函数的最小值；（2）设存在两个不同零点，，记，，求证：．

随堂练习：2、已知函数，，其中.（1）若函数的图象与直线在第一象限有交点，求的取值范围.（2）当时，若有两个零点，，求证：.知识点二由导数求函数的最值（不含参）,函数单调性、极值与最值的综合应用利用导数研究函数的零点典例4、已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；（3）若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围．随堂练习：已知函数.（1）当时，求在区间上的最小值；（2）若有两个零点，求的取值范围.典例5、已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．随堂练习：已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求证有两个零点，，并且．典例6、已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．

随堂练习：已知函数.（1）求的最小值；（2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围.2024年高考导数复习专题三答案典例1、答案（1）（2）证明见解析解：（1）函数的定义域为，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以（2）在处的切线的斜率为，其切线方程为，首先证明：，,在上单调递增，在上单调递减,的最大值，所以成立,在处的切线的斜率为，其切线方程为，再证明：,，在上单调递增，在上单调递减,的最大值，所以成立,不妨设，实数，为方程的两个不等的实根,设直线与在处的切线的交点的横坐标为，则可得,由可得，设直线与在处的切线的交点的横坐标为，则可得,由可得，所以.（注：不等式，可以直接使用）随堂练习：答案：（1）答案见解析（2）证明见解析解：（1）由题意可知，，当时，，则在是单调递增；当时，若，即时，若，即时，和时，时，，综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减（2）由题意可设，是的两个根，则（用分别表示出和），整理，得，此时设，求导得恒成立，在上单调递减，典例2、答案：（1）答案见解析（2）证明见解析解：（1），令，，当时，，所以有2个根：，所以当或时，，当时，，所以当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，，所以恒成立，所以在上单调递增.所以时，在上单调递增.综上得：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增.（2）因为是函数的两个极值点，所以是方程的两根，设，则，，要证明，即证，即证，即证，令，则，即证，即证，令，，所以在上单调递增，所以，故结论成立.随堂练习：（1）证明见解析；（2）证明见解析.解：（1）当时，，定义域为，在定义域上恒成立，所以在上单调递减，当时，；当时，原命题得证．（2），若存在两个极值点，则，解得．由韦达定理可知，原命题即证：．不妨设，原命题即证：，由（*）知，齐次化，即证：，不放令，原命题即证：，记，则，当时，在上单调递减，．典例3、答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.解:（1），令当即时，，在上单调递增；当即或时，①当时，在上单调递增；②当时，令，+0-0+递增极大值递减极小值递增综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知时有两个极值点，且，不妨设，要证即证，即，设由（1）知当时，在上单调递增，，则在上单调递减，.原式得证.随堂练习：1、答案：（1）；（2）证明见解析.解:（1）函数，定义域为，，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以；（2）不妨设,，，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；∴在递减，在递增，∴，，∴，∴，∵，即，∴，∴要证，即即证即证即证又由于，，所以只需证即证明，即证，即证随堂练习：2、答案：（1）；（2）证明见解析.解：（1）设，则由题设知，方程，在有解，而.设，则.①若，由可知，且，从而，即在上单调递减，从而恒成立，因而方程在上无解.②若，则，又时，，因此，在上必存在实根，设最小的正实根为，由函数的连续性可知，上恒有，即在上单调递减，也即，在上单调递减，从而在上恒有，因而在上单调递减，故在上恒有，即，注意到，因此，令时，则有，由零点的存在性定理可知函数在，上有零点，符合题意.③若时，则由可知，恒成立，从而在上单调递增，也即在上单调递增，从而恒成立，故方程在上无解.综上可知，的取值范围是.（2）因为有两个零点，所以（2），即，设，则要证，因为，，又因为在上单调递增，所以只要证明，设，则，所以在上单调递减，（2），所以，因为有两个零点，，，所以，方程即构造函数，则，，，记，则在上单调递增，在上单调递减，所以，且，设，，所以递增，当时，，当时，，所以，即，，，，所以，同理，所以，所以，所以，由得：，综上：.典例4、答案：(1)；(2)；(3)．解:(1)函数，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值为．(2)函数有两个零点，相当于函数的图象与直线有两个交点．当时，，时，，结合（1）中结论，可得．(3)因为，所以不等式仅有一个整数解，即只有一个整数解，因为的极大值为，，，所以当时，只有一个整数解，即当时，不等式仅有一个整数解．所以实数的取值范围是随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1），令，得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.当时，有极小值，也是最小值，最小值为.（2），定义域，由题意，即有两个零点，令所以在时，，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以函数的最大值时，，函数的图象如图所示，所以，所以.典例5、答案：（1）0（2）解：（1）当时，令，，，因为在上单调递增，所以，又因为时，，所以，当且仅当时，等号成立，所以在上是增函数，且，所以在上是增函数，所以；由于，问题转化为求在区间有一根时，实数a的取值范围，当，即时，（2）由（1）可知，即在区间无零点，不满足题意，当，即时，令，令，①当时，，所以在上为增函数，，所以存在唯一一个实数，使．②当时，，．由①②知，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以存在唯一实数，使，所以当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以存在唯一实数，使，即在区间有唯一零点，综上所得，函数两个不同的零点时，实数a的取值范围是．随堂练习：答案：（1）1（2）证明见解析解：（1）当时，，．令，则，所以在单调递增，又因为，，所以存在，使得，此时．当时，，在单调递减；当时，，在单调递增．所以的最小值为，（2），，当时，，单调递减；当时，，单调递增．则，这时，利用放缩记的正根为所以，所以存在两个零点和，，，因为，即两式相减得；两式相加得．要证，即只要证，令，，，则在单调递增，所以，又因为，所以得证，所以成立．典例6、答案：（1）1（2）解：（1）的定义域为，时，，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增．所以是的极小值点，也是的最小值点，故．（2）由，定义域为，当时，，所以在上单调递减，则最多有一个零点，不合题意；当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为．设，则，所以，从而在上单调递减，又．当，即时，；所以当时，最多有一个零点，不合题意；当，即时，，即；又，则，所以在内有一个零点．由（1）得:，所以，所以在内有一个零点，结合的单调性，可知时，有两个不同的零点，故的取值范围为．随堂练习：答案：（1）1、；（2）或.解：（1）由题得，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点；又当