【专项精练】第02课 常用逻辑用语-2024年新高考数学分层专项精练（解析版）

第02课常用逻辑用语（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）给出下列四个命题，其中正确命题为（

）A．“，”的否定是“，”B．“”是“”的必要不充分条件C．，，使得D．“”是“”的充分不必要条件4．（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2021·天津·统考高考真题）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023春·云南昆明·高一统考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2004·湖南·高考真题）设集合，若集合，，则的充要条件是（

）A．， B．，C．， D．，10．（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）已知平面，直线、，若，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2023春·全国·高一专题练习）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，则“”是“”的充分不必要条件D．若，，则“”是“”的必要不充分条件12．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）下列命题中正确的命题是（

）A．，使；B．若，则；C．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．13．（2022秋·高一单元测试）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的充分条件C．“”是“”的必要条件D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件14．（2022·湖南衡阳·统考二模）下列结论中正确的是（

）A．在中，若，则B．在中，若，则是等腰三角形C．两个向量共线的充要条件是存在实数，使D．对于非零向量，“”是“”的充分不必要条件三、填空题15．（2023·全国·高三专题练习）若命题为假命题，则实数a的取值范围是.16．（2020·全国·高三专题练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是．【二层练综合】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．其中是真命题的有（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④2．（2023·全国·高三专题练习）命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则“存在使得”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．在△ABC中，是的充要条件C．若a，b，，则“”的充要条件是“，且”D．“若，则”是真命题6．（2023·全国·高一专题练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）下列叙述中正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件C．命题“若，则且”的否命题是“若，则且”D．若为真命题，为假命题，则，一真一假8．（2022·全国·高三专题练习）“，使得成立”的充要条件是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“”的充要条件是（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中为真命题的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件C．“”的否定是“”D．名同学的数学竞赛成绩分别为：，则该数学成绩的分位数为70（注：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或者等于这个值，且至少有的数据大于或者等于这个值．)12．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（

）A．时，B．对任意，有C．存在，使得D．“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”三、填空题13．（2020秋·河北张家口·高三张家口市第一中学校考阶段练习）下列四个命题：①“”的否定；②“若，则”的否命题；③在中，“”是“”的充分不必要条件；④“函数为奇函数”的充要条件是“”.其中真命题的序号是(真命题的序号都填上)14．（2007·上海·高考真题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为．试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件15．（2020·全国·高三专题练习）设向量，，则“”是“”成立的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).【三层练能力】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列四个说法：①命题“，都有”的否定是“，使得”；②已知、，命题“若，则”的逆否命题是真命题；③是的必要不充分条件；④若为函数的零点，则.其中正确的个数为A． B． C． D．2．（2023春·山西大同·高二校考期末）已知定义在上的函数．对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”．有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．那么（

）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题3．（2021秋·江西宜春·高三校考阶段练习）给出下列四个命题:①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题;②“平面向量，的夹角是钝角”的必要不充分条件是③若命题，则④命题“,使得”的否定是:“均有”.其中不正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题4．（2023·全国·高三专题练习）已知点是坐标平面内一点，若在圆上存在，两点，使得（其中为常数，且），则称点为圆的“倍分点”.则（

）A．点不是圆的“3倍分点”B．在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为C．在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”D．若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件5．（2023·全国·高三专题练习）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（

）A．是函数为偶函数的充分不必要条件；B．是函数为奇函数的充要条件；C．如果，那么为单调函数；D．如果，那么函数存在极值点.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（

）A．有零点的充要条件是 B．当且仅当，有最小值C．存在实数，使得在R上单调递增 D．是有极值点的充要条件【一层练基础】参考答案1．B【分析】根据条件画出图，根据图形，判断选项.【详解】因为，所以，如图，对于选项A：由题意知P是Q的真子集，故，，故不正确，对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确.对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确，对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确，故选：B2．B【分析】结合二次函数的性质来求得的取值范围.【详解】依题意命题“，”为真命题，当时，成立，当时，成立，当时，函数开口向下，不恒成立.综上所述，.故选：B3．C【分析】利用全称量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BD；判断存在量词命题的真假判断C作答.【详解】对于A，“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为，，A错误；对于B，“若，则”是假命题，如，而，B错误；对于C，取，则，C正确；对于D，因为函数是R上的增函数，则“”是“”的充要条件，D错误．故选：C4．B【分析】由题可得恒成立，由即可求出.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选：B．5．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6．D【分析】求得不等式的解集为，结合题意，列出不等式组，即可求解.【详解】由不等式，可得，（不合题意）要使得是的一个充分条件，则满足，解得.故选：D.7．B【分析】由向量，夹角为钝角可得且，不共线，然后解出的范围，然后可得答案.【详解】若向量，夹角为钝角，则且，不共线所以，解得且所以“”是“向量，夹角为钝角”的必要不充分条件故选：B8．C【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由可得，由已知且，若，则，所以，，则，矛盾.若，则，从而，合乎题意.综上所述，“”是“”的充要条件.故选：C.9．A【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，可得，因为，所以，解得，反之亦成立，所以的充要条件是．故选：A．10．D【分析】利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，且，则或，即“”“”；若，且，则或、异面，则“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．ACD【分析】根据面面垂直的性质定理可判断A,根据线面平行的判断以及性质可判断BD,根据线面垂直的性质可判断C.【详解】由面面垂直的性质定理可知A正确,对于B,若，，则,或者异面，故B错误,对于C,若,则,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正确，对于D,若，，,不能得到,因为有可能异面，但是，，，则，故D正确，故选：ACD12．BCD【分析】根据指数函数的性质，得到，可判定A不正确；由三角函数的基本关系式，可判定B正确；由指数函数与对数函数的性质，结合充分、必要条件的判定，可判定C正确；求得，分类讨论，结合三角函数的符号，可判定D正确．【详解】对于A中：当时，，即，所以A不正确；对于B中：若，则，所以，可得或，此时，所以B正确；对于C：由，可得，又由，可得则，所以“”是“”的必要不充分条件，所以C正确；对于D：由角的终边在第一象限，可得，当为偶数时，在第一象限时，可得；当为奇数时，在第三象限时，可得，所以的取值集合为，所以D正确．故选：BCD．13．ABD【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；B：若时，充分性不成立，假命题；C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD14．AD【分析】根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案.【详解】对于A：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；对于B：若，则或，即或即是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于C：若，满足向量共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；对于D：若“”，则“”；若“”，则“”不一定成立.所以该命题正确；故选：AD15．【分析】写出，为真命题，参变分离后求解函数最小值，求出实数a的取值范围.【详解】由题得，为真命题，所以当时，有解，令，，所以在区间上单调递增，所以，所以只需，即实数a的取值范围是.故答案为：16．【详解】试题分析：由题命题“”为真命题，则，则实数的取值范围是考点：命题的否定【二层练综合】参考答案1．C【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.【详解】对于①，由得：，，，则，①正确；对于②，，，即，则，②正确；对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；对于④，当时，，，即，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C2．C【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．【详解】因为，等价于，恒成立，设，则．所以命题为真命题的充要条件为，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．故选C．【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．3．A【分析】由三角函数的性质可知在R上的最大值为2，最小值，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为π，结合充分、必要条件的定义即可判定.【详解】由于在R上的最大值为2，最小值，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期，即，所以若存在使得，则必有，但反之不成立,比如时，，但在上的最大值为2，最小值为，时的最大值为3，不可能等于4，∴“存在使得”是“”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及三角函数的性质，属基础题，关键是认真审题，理解存在性命题的意义，掌握三角函数的性质和充分、必要条件的意义.4．C【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“，”为真命题，所以，命题“，”为真命题，所以，时，，因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.所以，时，，即实数的取值范围是故选：C5．C【分析】利用全称命题的否定可判断A,由正弦定理和充要条件可判断B，通过举特例可判断C,通过特殊角的三角函数值可判断D.【详解】A.命题“，”的否定是“，”,正确；B.在△ABC中，，由正弦定理可得(R为外接圆半径)，，由大边对大角可得；反之，可得，由正弦定理可得，即为充要条件，故正确；C.当时满足，但是得不到“，且”，则不是充要条件，故错误；D.若，则与则的真假相同，故正确；故选：C6．C【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C7．D【分析】选项：根据特称命题的否定为全称命题进行判断；选项：根据两直线垂直求出，从而判断“”是“直线和直线垂直”的必要而不充分条件；选项：根据否命题的定义来判断；选项：根据含有逻辑连接词的命题的真假来判断.【详解】选项：命题的否定为，，故选项错误；选项：直线和直线垂直的充要条件为，即，可以推出，但推不出，故“”是“直线和直线垂直”的必要而不充分条件，故选项错误；选项：命题“若，则且”的否命题是“若，则或”，故选项错误；选项：若为真命题，则，中至少有一个为真，若为假命题，则，中至少有一个为假，因此，一真一假，故选项正确.故选：D.8．A【分析】由题可得等价于，求出最大值即可.【详解】，，等价于，又，当且仅当时等号成立，即，故．故选：A．9．CD【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，，故选：CD．10．ACD【分析】A应用作差法，结合充分、必要性的定义判断；B、C、D构造函数、、，利用导数研究其单调性，并结合充分、必要性的定义判断正误.【详解】A：由且，则成立，反之也有成立，满足要求；B：由，则，令，则，即在定义域上递增，故，不满足充分性，排除；C：由，则，令，则，即在定义域上递增，故，反之也有成立，满足要求；D：由，则，令，则，，故在上，在上，所以在上递减，在上递增，则，所以在定义域上递增，故，反之也有成立，满足要求；故选：ACD11．ABD【分析】根据充分必要条件的定义判断AB（可确定等价条件），根据命题的否定的定义判断C，根据百分位数的概念确定值判断D．【详解】当时，；当成立时，可得，所以A正确；因为等价于，所以B正确；C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定；把数据按照从小到大的顺序排列为：，因为，所以该数学成绩的百分位数为，D正确．故选：ABD．12．ABD【分析】对于选项，根据条件求得，可判断，：直接利用关系式的变换求出结果．对于选项：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果．对于选项：直接利用函数的单调性判定结果．【详解】对于选项：，时，，，，而，，故正确；对于选项：（2），而当，时，，所以（2），所以，故正确；取，，其中，，1，，则，；，从而，而，对于，假设存在使，，，，，，这与矛盾，所以错误；对于：由上面推导可得当，时，，单调递减，为减函数，所以若，，，则函数在区间上单调递减；当函数在区间上单调递减”，则，，，故正确．故选：．13．①②【分析】对于①中，根据全称命题与存在性命题的关系，可判定正确；对于②中，根据逆命题与否命题的等价关系，可判定正确的；对于③中，根据三角函数的性质和三角形的性质，可判定不正确的；对于④中，根据正切函数的性质，可判定不正确.【详解】对于①中，因为，所以命题“”为假命题，所以命题“”的否定为真命题，所以是正确的；对于②中，由，解得或，即命题“若，则”的逆命题为真命题，所以其否命题为真命题，所以是正确的；对于③中，例如：，此时，所以充分性不成立，反之，若且，根据三角函数的性质，可得，即必要性成立，所以在中，“”是“”的充分不必要条件是不正确的；对于④中，由函数为奇函数可得或，所以不正确.故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记四种命题的关系，以及充分条件、必要条件的判定，三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与论证能力.14．，并且与相交（，并且与相交）【详解】作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交”或“，并且与相交”．15．必要不充分【详解】试题分析：，所以“”是“”成立的必要不充分条件考点：向量共线【三层练能力】参考答案1．C【分析】根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数，得出，根据零点的定义和函数的单调性来判断命题④的正误.【详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；对于命题③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要条件，命题③为假命题；对于命题④，函数的定义域为，构造函数，则函数为增函数，又，为函数的零点，则，，，则，命题④为真命题.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题.2．D【分析】举出反例，得到①②错误.【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误；对于②，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点，但在上不是严格增函数.故选：D【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果.3．C【分析】①先写出原命题的逆命题，再判真假；②向量点积小于零，夹角为钝角或平角；③先求出命题p所对应的x的取值范围，再求它相对于R的补集，即为命题所对应x的范围；④特称命题的否定为全称命题．【详解】①“若为的极值点,则”的逆命题为:“若,则为的极值点”为假命题,只有当是导函数的变号零点时，才是原函数的极值点，即①不正确；②“平面向量，的夹角是钝角”的必要不充分条件是正确，两向量点积小于零，夹角为钝角或平角，夹角是钝角必然有两向量点积小于零，故②正确；③命题等价于，则命题，而解得即③不正确；④特称命题的否定为全称命题,命题“,使得”的否定是:“均有”即④不正确.即不正确的个数是3.选C.【点睛】本题考查四种命题，充要条件，以及命题的否定，考查分式不等式的求解，含量词的命题的否定，比较综合．4．BCD【分析】对“倍分点”这个概念理解以后，根据的不同取值，对题干进行讨论与验证，结合同角这一条件，运用余弦定理找到变量之间的关系即可进行判断.【详解】若满足，设，，则有，，，.如下图：在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，点是圆的“3倍分点”，故A错误；过作弦的垂线垂足为，当在直线上时，如下图：若是圆的“倍分点”即，设，，则有，.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得.又，，即，解得，又与坐标轴得交点为与，则在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为，故B正确；在圆上取一点，若点是圆的“2倍分点”，则有，设，，，，则有，，如下图：在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，即，综上，，所以在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”，故C正