考研数学三（微积分）模拟试卷3（共254题）

考研数学三（微积分）模拟试卷3（共9套）（共254题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设D：x2+y2≤16，则｜x2+y2一4｜dxdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π标准答案：B知识点解析：选B．2、设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)，(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dσ等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：令A(1，1)，B(0，1)，C(—1，一1)，D(一1，0)，E(一1，一1)，记三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE所在的区域分别记为D1，D2，D3，D4，3、设平面区域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr一∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr—∫01rf(r2)dr]标准答案：A知识点解析：，选A．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)4、(x2+xy一x)dxdy=__________，其中D由直线y=x，y=2x及x=1围成．标准答案：知识点解析：5、=__________标准答案：知识点解析：6、=__________标准答案：知识点解析：改变积分次序得7、设f(x，y)连续，且f(x，y)=xy+f(x，y)dσ，其中D由y=0，y=x2及x=1围成，则f(x，y)=__________．标准答案：知识点解析：8、设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，=__________标准答案：2πf(0，0)知识点解析：三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)9、改变积分次序．标准答案：知识点解析：暂无解析10、改变积分次序．标准答案：知识点解析：暂无解析11、改变积分次序．标准答案：知识点解析：暂无解析12、改变积分次序并计算标准答案：改变积分次序得知识点解析：暂无解析13、计算标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算标准答案：改变积分次序得知识点解析：暂无解析15、把二重积分写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线x+y=1，x=1，y=1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析16、把写成极坐标的累次积分，其中D=((x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)连续，f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．标准答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，则F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr，因为f(x)连续，所以F’(t)=2πtf(t2)且F’(0)=0，于是知识点解析：暂无解析18、计算及x轴和y轴围成，其中a＞0，b＞0．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设D是由点O(0，0)，A(1，2)及B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算．标准答案：将区域向x轴投影，知识点解析：暂无解析20、求，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)．标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算二重积，其中D：x2+y2≤x+y+1．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设函数f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＜0，则在(0，a]上()．A、单调增加B、单调减少C、恒等于零D、非单调函数标准答案：B知识点解析：，令h(x)=xf’(x)一f(x)，h(0)=0，h’(x)=xf"(x)＜0(0＜x≤a)，由，得h(x)＜0(0＜x≤a)，于是在(0，a]上为单调减函数，选B．2、设f(x)可导，则当△x→0时，△y—dy是△x的()．A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：A知识点解析：因为f(x)可导，所以f(x)可微分，即△y=dy+0(△x)，所以△y—dy是△x的高阶无穷小，选A．3、设函数则在点x=0处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：4、设，则在x=1处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但不是连续可导D、连续可导标准答案：D知识点解析：因=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f’(x)=2x+1，因为=3=f’(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选D．5、若f(—x)=一f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f"(x)＞0，则在(一∞，0)内()．A、f’(x)＜0，f"(x)＜0B、f’(x)＜0，f"(x)＞0C、f’(x)＞0，f"(x)＜0D、f’(x)＞0，f"(x)＞0标准答案：C知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，故在(一∞，0)内有f’(x)＞0．因为f"(x)为奇函数，所以在(一∞，0)内f"(x)＜0，选C．6、f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f"(x)＜0，，则f(x)在(一∞，0)内()．A、单调增加且大于零B、单调增加且小于零C、单调减少且大于零D、单调减少且小于零标准答案：B知识点解析：由，得f(0)=0，f’(0)=1，因为f"(x)＜0，所以f’(x)单调减少，在(一∞，0)内f’(x)＞f’(0)=1＞0，故f(x)在(一∞，0)内为单调增函数，再由f(0)=0，在(一∞，0)内f(x)＜f(0)=0，选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、设f(x)在x=a处可导，则标准答案：10f(a)f’(a)知识点解析：因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．8、设f’(a)存在且不等于零，则=__________标准答案：知识点解析：9、设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则=__________．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，10、设f(x)=，且f’(0)存在，则a=__________，b=__________，c=__________标准答案：2；—2；2知识点解析：因为f(x)在x=0处可导，即f’+(0)=f’—(0)，故b=一2．11、设f(x)在x=2处可导，且，则f(2)=_______，f’(2)=__________．标准答案：2；8知识点解析：三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)12、设函数f(x)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．标准答案：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，显然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)=1．因为f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，且f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使标准答案：令，φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令φ(x)=f(b)lnx—f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．知识点解析：由一f’(x)lnx+f’(x)lna=0，或[f(b)lnx一f(x)lnx+f(x)lna]’=0，辅助函数为φ(x)=f(b)lnx一f(x)lnx+f(x)lna．15、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，所以知识点解析：这是含端点和含ξ的项的问题，且端点与含ξ的项不可分离，具体构造辅助函数如下．把结论中的ξ换成x得，整理得f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)=0，还原得[f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x)]’=0，辅助函数为F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x)．16、设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ+(ξ一1)f(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ(ξ)=0．而φ(x)=．知识点解析：17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．标准答案：不妨设f(a)>0，f(b)>0，f()<0，令φ(x)=e—xf(x)，则φ’(x)=e—x[f’(x)一f(x)]．因为φ(a)>0，，使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ，ξ)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e—ξ[f’(ξ)=f(ξ)]=0，因为e—ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．标准答案：因为f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=一f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：令F(x)=x2，F(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，再由微分中值定理，存在车∈(口，多)，使得．知识点解析：暂无解析20、95．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．标准答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因为点A，B，C共线，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因为f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ，ξ)(a，b)，使得f"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．标准答案：因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知识点解析：暂无解析22、设b＞a＞0，证明：标准答案：令f(t)=lnt，由微分中值定理得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)=，其中ξ∈(a，b)．因为0＜a＜ξ＜b，所以．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上满足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．标准答案：因为f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(x)在[a，b]上的最小值，从而f’(c)=0．由微分中值定理得两式相加得｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f"(x)｜≤．标准答案：由泰勒公式得知识点解析：暂无解析25、设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f"(x)＞g"(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．标准答案：令φ(x)=f(x)一g(x)，显然φ(a)=φ’(a)=0，φ"(x)＞0(x＞a)．知识点解析：暂无解析26、证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x一ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设α～β(x→a)，则等于()．A、eB、e2C、1D、标准答案：D知识点解析：2、设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得()．A、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D、当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数标准答案：A知识点解析：因为f’(0)＞0，所以＞0，根据极限的保号性，存在δ＞0，当x∈(0，δ)时，有＞0，即f(x)＞f(0)，选A．3、设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x=0时，()．A、不存在B、等于0C、等于1D、其他标准答案：C知识点解析：4、下列命题正确的是()．．A、若｜f(x)｜在x=a处连续，则f(x)在x=a处连续B、若f(x)在x=a处连续，则｜f(x)｜在x=a处连续C、若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a的一个邻域内连续D、若[f(a+h)一f(a一h)]=0，则f(x)在x=a处连续标准答案：B知识点解析：令f(x)=，显然｜f(x)｜≡1处处连续，然而f(x)处处间断，A不对；令f(x)=显然f(x)在x=0处连续，但在任意x=a≠0处函数f(x)都是间断的，故C不对；令[f(0+h)一f(0一h)]=0，但f(x)在x=0处不连续，D不对；若f(x)在x=a处连续，则=f(a)，又0≤｜｜f(x)｜—｜f(a)｜｜≤｜f(x)一f(a)｜，根据夹逼定理，｜f(x)｜=｜f(a)｜，选B．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)5、设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，则=________标准答案：0知识点解析：6、设f(x)连续，且f(1)=1，则=________标准答案：知识点解析：7、设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则=________标准答案：1知识点解析：8、设f(x)连续，且=________标准答案：1知识点解析：9、=________标准答案：知识点解析：10、=________标准答案：2知识点解析：当x→0时，有11、设f(x)可导且f(x)≠0，则=________标准答案：知识点解析：12、设f(x)在x=0处连续，且=一1，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．标准答案：知识点解析：13、当x→0时，一1～cos2x一1，则a=________．标准答案：-3知识点解析：14、设f(x)=在x=0处连续，则a=________．标准答案：知识点解析：15、设在x=0处连续，则a=________．标准答案：-2知识点解析：f(0+0)=，f(0)=f(0一0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以a=一2。16、设在x=0处连续，则a=________，b=________标准答案：-1；1知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)17、设f(x)=，求f(x)的间断点并指出其类型．标准答案：首先，其次f(x)的间断点为x=kπ(k=0，±1，…)，因为=e，所以x=0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=kπ(k=±1，…)为函数f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析18、求函数y=ln(x+)的反函数．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析20、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析21、证明：标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx)，其中a1，a2，…，n为常数，且对一切x有｜d(x)｜≤｜ex一1｜．证明：｜a1+2a2+…+nan｜≤1．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的x0，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．标准答案：xn+1—xn=f(xn)一f(xn-1)一f’(ξn)(xn一xn-1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1一xn与xn一xn-1同号，故{xn}单调．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，+∞)上连续，且存在．证明：f(x)在[a，+∞)上有界．标准答案：设=A，取ε0=1，根据极限的定义，存在X0＞0，当x＞X0时，｜f(x)一A｜＜1，从而有｜f(x)｜≤｜A｜+1．又因为f(x)在[a，X0]上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在k＞0，当x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M=max{｜A｜+1，k)，对一切的x∈[a，+∞)，有｜f(x)｜≤M．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，显然有m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．知识点解析：暂无解析27、求标准答案：知识点解析：暂无解析28、设，求a，c的值．标准答案：知识点解析：暂无解析29、已知，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析31、确定a，b，使得x一(a+bcosx)sinx当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y=x一(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x一(a+bcosx)cosx，y"=bsin2x+sin2x+(n+bcosx)sinx—asinx+2bsin2x，y"’=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y"(0)=0，知识点解析：暂无解析32、设f(x)连续可导，标准答案：知识点解析：暂无解析33、求标准答案：知识点解析：暂无解析34、设，求f(x)的间断点并分类．标准答案：x=k(k=0，一1，一2，…)及x=1为f(x)的间断点．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数f（x）=的间断点及类型是（）A、x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点B、x=±1均为第一类间断点C、x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点D、x=±1均为第二类间断点标准答案：B知识点解析：分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f（x）的分段表达式：所以，x=+1为f（x）的第一类间断点，故选B。2、设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）A、充分必要条件B、充分条件但非必要条件C、必要条件但非充分条件D、既非充分条件也非必要条件标准答案：A知识点解析：令φ（x）=f（x）|sinx|，显然φ（0）=0。由于而由φ（x）在x=0处可导的充分必要条件是φ+’（0）与φ—’（0）都存在且相等可知，若f（0）=0，则必有φ+’（0）=φ—’（0）；若φ+’（0）=φ+’（0），即有f（0）=一f（0），从而f（0）=0。因此f（0）=0是φ（x）在x=0处可导的充分必要条件，也是F（x）在x=0处可导的充分必要条件。故选A。3、设函数f（x）连续，且f’（0）＞0，则存在δ＞0，使得（）A、f（x）在（0，δ）内单调增加B、f（x）在（—δ，0）内单调减少C、对任意的x∈（0，δ）有f（x）＞f（0）D、对任意的x∈（—δ，0）有f（x）＞f（0）标准答案：C知识点解析：由导数定义，知f’（0）=＞0。根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈Uδ（0），有＞0。于是当x∈（一δ，0）时，有f（x）＜f（0）；当x∈（0，δ）时，有f（x）＞f（0）。故选C。4、函数）y=f（x）在（一∞，+∞）连续，其二阶导函数的图形如图1—2—2所示，则y=f（x）的拐点个数是（）A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：只须考查f"（x）=0的点与f"（x）不存在的点。f"（x1）=f"（x4）=0，且在x=x1，x4两侧f"（x）变号，故凹凸性相反，则（x1，f（x1）），（x4，f（x4））是y=f（x）的拐点。x=0处f"（0）不存在，但f（x）在x=0连续，且在x=0两侧f"（x）变号，因此（0，f（0））也是y=f（x）的拐点。虽然f"（x3）=0，但在x=x3两侧f"（x）＞0，y=f（x）是凹的，（x3，f（x3））不是y=f（x）的拐点。因此共有三个拐点。故选C。5、由曲线y=1—（x—1）2及直线y=0围成的图形（如图1—3—1所示）绕y轴旋转一周而成的立体体积V是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据选项，需要把曲线表示成x=x（y），于是要分成两部分：则所求立体体积为两个旋转体的体积差，其中于是有V=V1—V2=π∫01故选D。6、设函数u（x，y）=φ（x+y）+φ（x—y）+∫x—yx+yψ（t）dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先分别求出再进一步比较结果。可见有因此正确选项为B。7、累次积分∫01dx∫x1f（x，y）dy+∫12dy∫02—yf（x，y）dx可写成（）A、∫02dx∫x2f（x，y）dyB、∫01dx∫x2—yf（x，y）dyC、∫01dx∫x2—xf（x，y）dyD、∫01dx∫y2—yf（x，y）dy标准答案：C知识点解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C。8、设级数un收敛，则下列选项必为收敛级数的为（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为级数（un+un+1）收敛，故选D。9、正项级数an2收敛的（）A、充要条件B、充分条件C、必要条件D、既非充分条件，又非必要条件标准答案：B知识点解析：由于正项级数an2收敛。因此，正项级数an2收敛的充分条件，故选B。10、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y"+p（x）y’+q（x）y=f（x）的三个特解，则该方程的通解为（）A、y=C1x+C2x2+exB、y=C1x2+C2ex+xC、y=C1（x—x2）+C2（x—ex）+xD、y=C1（x—x2）+C2（x2—ex）标准答案：C知识点解析：方程y"+p（x）y’+q（x）y=f（x）是一个二阶线性非齐次方程，则（x—x2）和（x—ex）为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1（x一x2）+C2（x一ex）+x，故选C。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、标准答案：知识点解析：12、已知y=标准答案：—x（1+x2）知识点解析：13、函数y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数y（n）（0）=________。标准答案：—2n（n—1）!知识点解析：将ln（l+t）按照泰勒展开式展开成级数的形式令t=—2x代入第n项可得比较系数可得y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数为y（n）（0）=—2n（n—1）！。14、设某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1+p3，其中p为价格，且R（1）=1，则R（p）=________。标准答案：知识点解析：由弹性的定义得15、f（x）=则∫14f（x一2）dx=________。标准答案：知识点解析：设x—2=t，dx=dt，当x=1时，t=—1；当x=4时，t=2。于是16、设f（x，y，z）=ex+y2z，其中z=z（x，y）是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则fz’（0，1，—1）=________。标准答案：1知识点解析：已知f（x，y，z）=ex+y22，那么有fx’（x，y，z）=ex+y2zx’。在等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+zx’+yz+xyzx’=0。由x=0，y=1，z=—1，可得zx’=0。故fx’（0，1，—1）=e0=1。17、设函数f（u，υ）具有二阶连续偏导数z=f（x，xy），则标准答案：xf12"+f2’+xyf22"知识点解析：由题干可知，=xf12"+f2’+xyf22"。18、级数的和为_________。标准答案：知识点解析：由麦克劳林公式易知19、微分方程y’+y=e—xcosx满足条件y（0）=0的特解为________。标准答案：y=e—xsinx知识点解析：原方程的通解为y=e—∫1dx（e—xcosx．e—∫1dxdx+C）=e—x（cosxdx+C）=e—x（sinx+C）。由y（0）=0得C=0，故所求解为y=e—xsinx。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、证明当x＞0时，（x2—1）Inx≥（x—1）2。标准答案：令f（x）=（x2—1）lnx—（x—1）2，易知f（1）=0。又可见，当0＜x＜1时f"（x）＜0，当1＜x＜+∞时，f"’（x）＞0。因此，当0＜x＜+∞时，f"（x）＞f"（1）=2＞0。又由f’（x）是单调增函数，且f’（1）=0，所以当0＜x＜1时，f’（x）＜0；当1＜x＜+∞时，f’（x）＞0。因此，由f（x）≥f（1）=0（0＜x＜+∞），即证得当x＞0时，（x2—1）lnx≥（x—1）2。知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足∫axf（t）dt≥∫axg（t）dt，x∈[a，b），f（t）dt=∫abg（t）dt。证明∫abxf（x）dx≤∫axxg（x）dx。标准答案：令F（x）=f（x）—g（x），G（x）=F（t）dt，由题设G（x）≥0，x∈[a，b），且G（A）=G（b）=0，G’（x）=F（x）。从而∫abxF（x）dx=∫abxdG（x）=xG（x）|ab一∫abG（x）dx=一∫abbG（x）dx，由于G（x）≥0，x∈[a，b），故有一∫abG（x）dx≤0，即∫abxF（x）dx≤0。因此∫abxf（x）dx≤∫abxg（x）dx。知识点解析：暂无解析24、证明可微的必要条件：设z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，则fx’（x0，y0）与f（x0，y0）都存在，且dz|x0，y0=fx’（x0，y0）△x+fx’（x0，y0）△y。标准答案：设z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，则等式成立。令△y=0，于是令Ax→0，有于是证明了fx’（x0，y0）与fy’（x0，y0）存在，并且dz|（x0，y0）=fx’（x0，y0）△x+fy’（x0，y0）△y。知识点解析：暂无解析25、求f（x，y）=xe一的极值。标准答案：先求函数f（x，y）=xe—e2。知识点解析：暂无解析26、求二重积分其中D是由曲线r=2（1+cosθ）的上半部分与极轴所围成的区域。标准答案：积分区域D如图1—4—18，D的极坐标表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2（1+cosθ），因此知识点解析：暂无解析27、求幂级数的收敛区间与和函数f（x）。标准答案：设an=所以当x2＜1时，原级数绝对收敛，当x2＞1时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（—1，1）。知识点解析：暂无解析28、已知函数f（x）满足方程f"（x）+f’（x）—2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐点。标准答案：（Ⅰ）齐次微分方程f"（x）+f’（x）—2f（x）=0的特征方程为r2+r—2=0，特征根为r1=1，r2=—2，因此该齐次微分方程的通解为f（x）=C1ex+C2e—2x。再由f"（x）+f（x）=2ex得2C1ex—3C2e—2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f（x）的表达式为f（x）=ex。（Ⅱ）曲线方程为，则令y"=0得x=0．下面证明x=0是y"=0唯一的解，当x＞0时，可得y"＞0；当x＜0时，2x＜0，2（1+2x2）可得y"＜0．可知x=0是y"=0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此（0，0）点是曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt唯一的拐点。知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、累次积分rf(rcosθ，rsinθ)dr等于()．A、B、C、∫01dx∫01f(x，y)dyD、标准答案：D知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，0≤y≤选(D)．2、设D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，则sinxsiny．max{x，y}dσ等于()．A、πB、C、D、标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，选(B)．3、设，其中D:x2+y2≤a2，则a为()．A、1B、2C、D、标准答案：B知识点解析：由解得a=2，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设f(u)连续，则∫0xdu∫u1υf(u2一υ2)dυ=________．标准答案：一xf(x2一1)．知识点解析：∫0xdu∫u1υf(u2一υ2)dυ=一xf(x2一1)．5、设f(x)=∫0x，则∫0πf(x)dx=________．标准答案：2知识点解析：6、设f(x)连续，则标准答案：πr2cos(ξ+η)．知识点解析：7、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则标准答案：8π．知识点解析：8、设a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整个平面，则标准答案：a2．知识点解析：9、设D为xOy面，则f(y)f(x+y)dxdy=________．标准答案：知识点解析：在D1={(x，y)|一∞＜x＜+∞，0＜y＜1)上，f(y)=y；在D2:0＜x+y≤1，f(x+y)=x+y，则在D0=D1∩D2={(x，y)|一y≤x≤1一y，0≤y＜1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)10、设z=(x2+y2)标准答案：知识点解析：暂无解析11、设其中f(s，t)二阶连续可偏导，求du及标准答案：知识点解析：暂无解析12、设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．证明：标准答案：令u=tx，υ=ty，ω=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，两边对t求导得知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、设u=U(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且标准答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得知识点解析：暂无解析15、设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求标准答案：z=f(u)两边对x及y求偏导，得方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边对x及y求偏导，得知识点解析：暂无解析16、设z=z(x，y)满足证明：标准答案：知识点解析：暂无解析17、求z=x2+12xy+2y2在区域4x2+y2≤25上的最值．标准答案：当4x2+y2＜25时，由得驻点为(x，y)=(0，0)．当4x2+y2=25时，令F=x2+12xy+2y2+λ(4x2+y2一25)，因为z(0，0)=0，所以目标函数的最大和最小值分别为106和一50．知识点解析：暂无解析18、某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为P1，P2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24一0．2p1，q2=10一0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大？最大利润为多少？标准答案：p1=120一5q1，P2=200一20q2，收入函数为R=p1q1+p2q2，总利润函数为L=R一C=(120一5q1)q1+(200一20q2)q2一[35+40(q1+q2)]，由得q1=8，q2=4，从而p1=80，p2=120，L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当p1=80，p2=120时，厂家获得的利润最大，最大利润为605．知识点解析：暂无解析19、设二元函数f(x，y)=|x一y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．标准答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则fx’(0，0)，fy’(0，0)存在．知识点解析：暂无解析20、已知二元函数f(x，y)满足且f(x，y)=g(u，υ)，若=u2+υ2，求a，b．标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算∫01dx∫x21(x2+y2)标准答案：知识点解析：暂无解析22、已知设D为由x=0、y一0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=f(x，y)dxdy．标准答案：当t＜0时，F(t)=0；当0≤t＜1时，当1≤t＜2时，当t≥2时，F(t)=1.知识点解析：暂无解析23、设f(x)连续，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算二重积分标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算(x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)|x2+y2≤4x2+y2≥2x}．标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算(x+y2)dxdy，其中D:x2+y2≤2x+2y=1．标准答案：D：x2+y2≤2x+2y-1可化为D:(x-1)2+（y-1）2≤1，则(x+y2)dxdy=∫02πdt∫01(1+rcost+1+2rsin2+r∫12sin∫12t)rdr知识点解析：暂无解析27、设f(x，y)=且D:x2+y2≥2x，求f(x+y)dxdy标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算其中D=((x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x2≤y≤2}，知识点解析：暂无解析29、计算标准答案：知识点解析：暂无解析30、计算其中D由y=一x，y=围成．标准答案：将D分成两部分D1，D2，其中D1=((x，y)|0≤x≤1，知识点解析：暂无解析31、飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为υ0(m/s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg．s2/m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg．s2/m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．标准答案：水平方向的空气阻力Rx=kxυ2，垂直方向的空气阻力Ry=kyυ2，摩擦力为W=μ(mg一Ry)，由牛顿第二定律，有知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．A、∫0xf(t)一f(一t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0xf2(t)dt标准答案：B知识点解析：因为t[f(t)一f(一t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)一f(一t)]dt为奇函数，(A)不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以(D)不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(一t)ldt，F(一x)=∫0一xt[f(t)+f(一t)]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(一u)](一du)=F(x)，选(B)．2、若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、B、C、y=x+1D、标准答案：A知识点解析：曲线y=在点(t，)处的切线方程为y=由于切线位于曲线y=的上方，所以由曲线y=切线及x=1，x=3围成的面积为当t∈(0，2)时，S’(t)＜0；当t∈(2，3)时，S’(t)＞0，则当t=2时，S(t)取最小值，此时切线方程为选(A).二、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)3、设f(x)连续，且f(x)=2f(x一t)dt+ex，求f(x)．标准答案：∫0xf(x一t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，f(x)=2∫0xf(u)du+ex两边求导数得f’(x)一2f(x)=ex，则f(x)=(ex．e∫一2dxdx+C)e一∫一2dx=Ce2x一ex，因为f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x一ex．知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、标准答案：因为(x2ex)’=(xx+2x)ex，知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)．标准答案：两边积分得F2(x)=解得F2(x)=+C，由F(0)=1，F(x)＞0，得F(x)=知识点解析：暂无解析8、设f’(lnx)=，求f(x)．标准答案：令lnx=t，则f’(t)=当t≤0时，f(t)=t+C1；当t＞0时，f(t)=et+C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1=1+C2，故f(x)=知识点解析：暂无解析9、标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f(x)连续∫0xtf(x一t)dt=1一cosx，求标准答案：由∫0xtf(x一t)dt∫0x(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du=1一cosx，两边求导得∫0xf(u)du=sinx，令x=得f(x)dx=1．知识点解析：暂无解析设S(x)=∫0x|cost|dt．证明：11、当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；标准答案：当nπ≤x＜(n+1)π时，∫0nπ|cost|dt≤∫0x|cost|dt＜∫0(n+1)π|cost|dt，∫0nπ|cost|dt=n∫0π|cost|dt=∫0(n+1)|cost|dt=2(n+1)，则2n≤S(x)＜2(n+1)．知识点解析：暂无解析12、求标准答案：由nπ≤x＜(n+1)π，得从而根据夹逼定理得知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：标准答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，注意到当x→+∞时，n→+∞，且由夹逼定理得知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．标准答案：令φ(x)=因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在t∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析设f(x)在(一a，a)(a＞0)内连续，且f'(0)=2．证明：15、对0＜x＜a，存在0＜0＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0一xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0一xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]．知识点解析：暂无解析16、求标准答案：令=A，由∫0xf(t)dt+∫0一xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]，得知识点解析：暂无解析17、设an=tannxdx(n≥2)，证明：标准答案：an+an+2=同理an+an一2=因为tannx，tann+2x在上连续，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以tann+2xdx，即an＞an+2，于是=an+an+2＜2an，即an＞同理可证an＜知识点解析：暂无解析18、设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．标准答案：令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，由|f(x)+f’(x)|≤1得|φ’(x)|≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=∫一∞xφ’(x)dx，两边取绝对值得ex|f(x)|≤∫一∞x|φ’(x)|dx≤∫一∞xexdx=ex，所以|f(x)|≤1．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(一∞，+∞)有|f(x)一f(y)|≤|x一y|．证明：∫abf(x)dx一(b一a)f(a)≤(b一a)2．标准答案：因为(b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以|∫abf(x)dx一(b一n)f(a)|=|∫ab[f(x)一f(a)]dx|≤∫ab|f(x)一f(a)|dx知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：标准答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，从而知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．标准答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫nn+1f(x)dx≤当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n一1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是≤∫n一1nf(x)dx．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．标准答案：∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx一k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1一k)∫0kf(x)dx一kf(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，所以∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析24、设f’(x)在[0，1]上连续且|f’(x)|≤M．证明：|∫01f(x)dx一标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，令|f’(x)|=M证明：|∫0af(x)dx|≤标准答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0与x之间，因为f(0)=0，所以|f(x)|=|f’(ξ)x|≤Mx，x∈[0，a]，从而|∫0af(x)dx|≤∫0a|f(x)|dx≤∫0aMxdx=．知识点解析：暂无解析26、设f’(x)在[0，1]上连续，且f(1)一f(0)=1．证明：f’2(x)dx≥1．标准答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．标准答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=f’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x一a)∫abf’2(x)dx积分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x一a)dx．f’2(x)dx=∫abf’2(x)dx．知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：标准答案：因为且f(a)=f(b)=0，所以知识点解析：暂无解析29、早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪lkm，问降雪是什么时候开始的？标准答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则H(t)=a(t一T)，又b×H(t)×△s=c×△t，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、解答题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)1、设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤|f(x)|．证明：f(x)一=0，x∈[x，1]．标准答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而|f(x)|在[0，1]上连续，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得|f(x0)|=M．当x0=0时，则M=0，所以f(x)=0，x∈[0，1]；当x0≠0时，M=|f(x0)|=|f(x0)一f(0)|=|f’(ξ)|x0≤|f’(ξ)|≤|f(ξ)|≤，其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)=0，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析2、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ一η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．标准答案：令φ(x)=exf(x)．由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ一η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知识点解析：暂无解析3、设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且=一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．标准答案：在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开．因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，f(x)=一1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在f∈(0，1)，使得f(c)=一1，再由费马定理知f’(c)=0，根据泰勒公式所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．知识点解析：暂无解析4、一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．标准答案：设运动规律为S=S(t)，显然S(0)=0，S’(0)=0，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式两式相减，得S"(ξ2)一S"(ξ1)=一8|S"(ξ1)|+|S"(ξ2)|≥8．当|S"(ξ1)≥|S"(ξ2|)时，|S"(ξ1)|≥4；当|S"(ξ2)|时，|S"(ξ2)|≥4．知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f’(x)|≤(x∈[0，1])．标准答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)一f’(x)x+f"(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+f"(ξ1)(1一x)2，ξ2∈(x，1)，两式相减，得f’(x)=f"(ξ1)x2一f"(ξ2)(1一x)2．两边取绝对值，再由|f"(x)|≤1，得知识点解析：暂无解析设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：6、对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；标准答案：对任意x∈(一1，1)，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f"(x)∈C(一1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(—1，1)内保号，不妨设f"(x)＞0，则f’(x)在(一1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知识点解析：暂无解析7、标准答案：由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+x2，其中ξ介于0与x之间，而f(x)=f(0)+xf[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得知识点解析：暂无解析8、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：由泰勒公式得(1)当|f"(ξ1)|≥f"(ξ2)|时，取ξ=ξ1，则有|f"(ξ)|≥(2)当|f"(ξ1)|＜|f"(ξ2)|时，取ξ=ξ2，则有|f"(ξ)|≥知识点解析：暂无解析9、f(x)在[1，1]上三阶连续可导，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f"’(ξ)=3．标准答案：由泰勒公式得两式相减得f"(ξ1)+f"’(ξ2)=6．因为f(x)在[一1，1]上三阶连续可导，所以f"’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f"’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"’(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](一1，1)，使得f"’(ξ)=3．知识点解析：暂无解析10、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有因为f(x)在(a，b)内连续，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得故知识点解析：暂无解析设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f"(b)|≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．11、写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；标准答案：f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+(x一c)2，其中ξ介于c与x之间．知识点解析：暂无解析12、证明：|f(c)|≤2a+．标准答案：分别令x=0，x=1，得知识点解析：暂无解析设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．13、写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；标准答案：由存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f"(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为其中ξ介于0与x之间．知识点解析：暂无解析14、证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得标准答案：上式两边积分得f(x)dx=f(4)(ξ)x4dx．因为f(4)(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[一a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx1≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[一a，a]上积分得a5≤∫aaf(4)(ξ)x4dx≤a5，从而于是m≤f(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ1∈[一a，a]，使得f(4)(ξ1)=或a5f(4)(ξ1)=60f(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ2∈[一a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫一aaf(x)dx=120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．标准答案：由f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x—x0)2+(x—x0)3+(x—x0)4，f(x’)=f(x0)+f’(x0)(x’一x0)+(x’—x0)2+(x’—x0)3+(x’—x0)4，两式相加得f(x)+f(x’)一2f(x．)=f"(x0)(x—x0)2+[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)[x一x0)4，于是[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)[x一x0)2，再由|f(4)(x)≤M，得知识点解析：暂无解析16、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’+(a)f’一(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：设f一’(a)＞0，f一’(b)＞0，由f一’(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；由f一’(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．令h(x)=，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(f)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而令φ(x)=f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f"(x)g(x)一f(x)g"(x)，所以知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．标准答案：因为=f+’(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜x一a＜δ时，有＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得知识点解析：暂无解析18、设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．标准答案：不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得两式相减得f(a+b)一f(a)一f(b)=[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a．因为f"(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a+b)一f(a)一f(b)=[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a＞0，即f(a+b)＞f(a)+f(b)．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续，且f"(x)＞0，对任意的x0，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：f[λx1+(1一λ)x2]≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)．标准答案：令x0=λx1+(1一λ)x2，则x0∈[a，b]，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x—x0)2，其中ξ介于x0与x之间，因为f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，于是两式相加，得f[λx1+(1一λ)x2]≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)．知识点解析：暂无解析20、设f(x)二阶可导，=1且f"(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．标准答案：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x＞0)．标准答案：令φ(x)=e一xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e一x[f(x)一f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．标准答案：令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，显然x0∈[a，b]．因为f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，分别取x=xi(i=1，2，…，n)，得由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i=1，2，…，n)，得将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．知识点解析：暂无解析23、证明：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2．标准答案：令φ(x)=(x2—1)lnx一(x一1)2，φ(1)=0．故x=1为φ"(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为φ"(1)=2＞0，故φ"(x)＞0(x＞0)．故x=1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)=0，所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2一1)lnx≥(x一1)2．知识点解析：暂无解析24、当x＞0时，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析25、设0＜a＜b，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析26、求由方程x2+y3一xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．标准答案：根据隐函数求导数法，得知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．证明：方程f"(x)=f(x)=0在(0，1)内有根．标准答案：令φ(x)=e一x[f(x)+f’(x)]．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(f)=0，而φ’(x)=e一x[f(x)一f(x)]且e一x≠0，所以方程f"(c)一f(c)=0在(0，1)内有根．知识点解析：暂无解析28、设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第8套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设f（x）=则f（f（x）））等于（）A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：由题设可知|f（x）|≤1，因此f（f（f（x）））=1。故选B。2、设f（x）在R上连续，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（）①φ[f（x）]必有间断点。②[φ（x）]2必有间断点。③f[φ（x）]没有间断点。A、0B、1C、2D、3标准答案：A知识点解析：①错误。举例：设φ（x）=f（x）=ex，则φ[f（x）]=1在R上处处连续。②错误。举例：设φ（x）=则[φ（x）]2=9在R上处处连续。③错误。举例：设φ（x）=在x=0处间断。因此选A。3、设F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳跃间断点，g’（a）存在，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的（）A、充分必要条件B、充分非必要条件C、必要非充分条件D、非充分非必要条件标准答案：A知识点解析：因φ（x）在x=a处不可导，所以不能对F（x）用乘积的求导法则，须用定义求F’（a）。题设下面证明若F’（A）存在，则g（A）=0。反证法，若g（A）≠0，φ（x）=，由商的求导法则，φ（x）在x=a可导，这与题设矛盾，则g（A）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的充要条件。故选A。4、设f（x）在（0，+∞）内二阶可导，满足f（0）=0，f"（x）＜0（x＞0），又设b＞a＞0，则a＜x＜b时，恒有（）A、af（x）＞xf（A）B、bf（x）＞xf（b）C、xf（x）＞bf（b）D、xf（x）＞af（A）标准答案：B知识点解析：将A，B选项分别改写成或xf（x）的单调性即可。又因令g（x）=xf’（x）一f（x），则g（0）=0，g’（x）=xf"（x）＜0（x＞0），那么g（x）＜g（0）=0（x＞0），故在（0，+∞）内单调减小。所以当a＜x＜b时，故选B。5、设f（x）具有二阶连续导数，且f’（1）=0，则（）A、f（1）是f（x）的极大值B、f（1）是f（x）的极小值C、（1，f（1））是曲线f（x）的拐点坐标D、f（1）不是f（x）的极值，（1，f（l））也不是曲线f（x）的拐点坐标标准答案：B知识点解析：选取特殊f（x）满足:f"（x）=（x—1）2，如取f（x）=（x—1）4，则f（x）满足题中条件，f（x）在x=1处取极小值，而其余均不正确。故选B。6、设f（x）=下述命题成立的是（）A、f（x）在[—1，1]上