考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷1（共300题）

考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷1（共9套）（共300题）考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设数列｛xn｝和｛yn｝满足=0，则当n→∞时，｛yn｝必为无穷小量的充分条件是()A、｛xn｝是无穷小量B、｛｝是无穷小量C、｛xn｝有界D、｛xn｝单调递减标准答案：B知识点解析：若是无穷小量，则=0，故(B)正确．若取=0，且｛xn｝在n→∞时是无穷小量、有界量、单调递减，但｛yn｝不是无穷小量，排除(A)，(C)，(D)．2、以下3个命题：①若数列｛un｝收敛于A，则其任意子数列｛uni｝必定收敛于A；②若单调数列｛xn｝的某一子数列｛xni｝收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列｛x2n｝与｛x2n+1｝都收敛于A，则数列｛xn｝必定收敛于A正确的个数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列｛un｝收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un－A｜＜ε，则当ni＞N时，恒有因此数列也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列｛xn｝为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有由于数列｛xn｝为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有从而｜xn－A｜＜ε．可知数列｛xn｝收敛于A因此命题正确．对于命题③，因，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n－A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1－A｜＜ε．取N=max｛N1，N2｝，则当n＞N时，总有｜xn－A｜＜ε．因此=A可知命题正确．故答案选择(D)．3、设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是()A、f[φ(x)]B、f[f(x)]C、φ[f(x)]D、φ[φ(x)]标准答案：D知识点解析：令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函数，有g(－x)=φ[φ(－x)]=φ[－φ(x)]=－φ[φ(x)]=－g(x)．因此φ[φ(x)]为奇函数，同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[f(x)]均为偶函数．答案选(D)．4、设f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，则在区间(0，)内()A、f(x)是增函数，φ(x)是减函数B、f(x)，φ(x)都是减函数C、f(x)是减函数，φ(x)是增函数D、f(x)，φ(x)都是增函数标准答案：B知识点解析：注意在内，sinx是增函数，cosx是减函数．任取x1，x2∈，且x1＜x2，有cosx1＞cosx2，所以sin(cosx1)＞sin(cosx2)，即f(x)是减函数；由于sinx1＜sinx2，所以cos(sinx1)＞cos(sinx2)，即φ(x)是减函数．5、设在区间(－∞，+∞)内f(x)＞0，且当k为大于0的常数时有f(x+k)=，则在区间(－∞，+∞)内函数f(x)是()A、奇函数B、偶函数C、周期函数D、单调函数标准答案：C知识点解析：因为f(x+2k)==f(x)，故f(x)是周期函数．6、设f(x)=，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：7、设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)－v(x)，并设与都不存在，下列论断正确的是()A、若不存在，则必存在B、若不存在，则必不存在C、若存在，则必不存在D、若存在，则必存在标准答案：C知识点解析：令，当x→0时可排除(A)；令u(x)=v(x)=，当x→0时可排除(B)；令，当x→0时可排除(D)．8、两个无穷小量比较的结果是()A、同阶B、高阶C、低阶D、不确定标准答案：D知识点解析：如α(x)=，β(x)=x，当x→0时，都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)9、设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=________．标准答案：na知识点解析：令x=－1，则f(1)=f(－1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)－f(－1)=2f(1)=2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k－1)+f(2)=(k－1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na．令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0×a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=－f(－n)=－(－na)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．10、对充分大的一切x，给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，，则其中最大的是_________．标准答案：知识点解析：当x充分大时，有重要关系：11、=__________．标准答案：知识点解析：12、=__________．标准答案：0知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：本题同样考查分段函数的复合方法．下面用解析法求解．首先，广义化为f[g(x)]=由g(x)的表达式知，①当g(x)≤0时，即｛2ex－1≤0｝∩｛x≤0｝或｛x2－1≤0｝∩｛x＞0｝，而｛2ex－1≤0｝∩｛x≤0｝=｛x≤－ln2｝∩｛x≤0｝=｛x≤－ln2｝，｛x2－1≤0｝∩｛x＞0｝={－1≤x≤1)∩｛x＞0｝=｛0＜x≤1｝．②当g(x)＞0时，即｛2ex－1＞0｝∩{x≤0}或｛x2－1＞0｝∩{x＞0)，而｛2ex－1＞0｝∩｛x≤0｝=｛x＞－ln2｝∩｛x≤0｝=｛－ln2＜x≤0｝，｛x2－1＞0｝∩｛x＞0｝=｛x＞1或x＜－1｝∩｛x＞0｝=｛x＞1｝．知识点解析：暂无解析15、(1)求函数f(x)=的表达式，x≥0；(2)讨论函数f(x)的连续性．标准答案：(1)所以f(x)在[0，+∞)上连续．知识点解析：暂无解析16、求标准答案：因为知识点解析：暂无解析17、求下列极限．标准答案：(1)当x→0时，tanx～x，(2)当x→0时，sinx～x，ex－e－x=e－x(e2x－1)～2x，故原极限=2．(3)当x→0时，ln(1+x4)～x4，(4)这是“1∞”型极限，可用公式来计算，事实上lnu=ln[1+(u－1)]～u－1(u→1)．故原式=(5)这是“∞—∞”型未定式极限，首先通分变成型未定式，然后使用洛必达法则求极限．或利用等价无穷小ex－1～x(当x→0)代换，则(6)是“1∞”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换．知识点解析：暂无解析18、设f(x)=x2+ax+b，证明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．标准答案：用反证法．设｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜都小于2.即｜f(1)｜=｜a+b+1｜＜2，｜f(3)｜=｜3a+b+9｜＜2，｜f(5)｜=｜5a+b+25｜＜2，则｜f(1)－2f(3)+f(5)｜≤｜f(1)｜+2｜f(3)｜+｜f(5)｜＜2+2×2+2=8．而事实上，｜f(1)－2f(3)+f(5)｜=｜a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25｜=8，与上面结论矛盾，故｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．知识点解析：暂无解析19、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析20、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析21、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析22、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析23、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析24、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析25、求极限标准答案：为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令t=，从而原式=知识点解析：暂无解析26、求极限标准答案：此题为型未定式，若用洛必达法则，则连续使用完两次法则，又回到了原点，法则失败，正确的做法是先对式子恒等变形，分子分母同乘e－x，知识点解析：暂无解析27、求极限标准答案：原极限=知识点解析：暂无解析28、求极限，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求极限标准答案：设函数y=sint，在内可导，满足拉格朗日中值定理的条件．故知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、当x→0时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小()．A、x2B、1一cosxC、D、x一tanx标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设f(x)=∫01一cosxsint2dt，g(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选(B)．3、设f(x)=则x=0是f(x)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、不能判断连续性的点标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、设a＞0，且则a=________，b=________。标准答案：1；4．知识点解析：5、=________．标准答案：知识点解析：6、=________．标准答案：1．知识点解析：7、当x→0时，3x一4sinx+sinrcosx与xn为同阶无穷小，则n=________。标准答案：5．知识点解析：8、=________．标准答案：知识点解析：9、设x→0时，lncosax～一2xb(a＞0)，则a=________，b=________。标准答案：2；2．知识点解析：暂无解析10、设f(x)连续，且F(x)==________．标准答案：a2f(a)．知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：因为当x→0时，ex2一1～x2，xln(1+2x)～2x2，所以知识点解析：暂无解析17、设标准答案：因为x→0时，所以知识点解析：暂无解析18、设f(x)连续，且=e3，且f’(0)存在，求f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：所以原式=a1a2…an．知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1+bx+cx2)=1+ax+o(x3)．标准答案：由ex=1+x++o(x3)，得ex(1+bx+cx2)=[1+x++o(x3)](1+bx+cx2)=1+(b+1)x+(b+c+)x2+()x3+o(x3)+o(x3)，所以b+1=a，b+c+知识点解析：暂无解析23、设，求a，b，c，d的值．标准答案：所以a，b，c，d满足的条件是a=一2d，c=一1，b取任意常数．知识点解析：暂无解析24、设a1=1，an+1+=0，证明：数列(an)收敛，并求标准答案：先证明{an}单调减少．a2=0，a2＜a1；设ak+1＜ak，ak+2=由ak+1＜ak得1一ak+1＞1一ak，从而即ak+2＜ak+1，由归纳法得数列{an}单调减少．现证明an≥由极限存在准则，数列{an}收敛，设an=A，对an+1+=0两边求极限得知识点解析：暂无解析25、讨论函数f(x)=(x＞0)的连续性．标准答案：当x∈(0，e)时，f(x)=当x=e时，f(e)=1，当x＞e时，f(x)=故f(x)=因为f(e—0)=f(e)=f(e+0)=1，所以f(x)在x＞0处处连续．知识点解析：暂无解析26、设f(x)=，试补充定义使得f(x)在上连续．标准答案：因为所以令f(1)=，则f(x)在上连续．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第3套一、选择题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、已知=0，其中a，b是常数，则A、a=1，b=1．B、a=-1，b=1．C、a=1，b=-1．D、a=1，b=1．标准答案：C知识点解析：这是从已知极限值去确定函数式中的待定常数．可通过直接计算，导出式中的常数昕满足的方程组，然后解出a和b．作为选择题，也可把四个选项中的各组常数值代人，看哪一组常数可以使极限为零，这种解法留给读者自己完成．由得1-a=0，a+b=0，即a=1，b=-1．故选(C)．2、若当x→0时etanx-ex与xn是同阶无穷小，则n为A、1．B、2．C、3．D、4标准答案：C知识点解析：因为由此可得n=3．故选(C)．3、设有定义在(-∞，+∞)上的函数：其中在定义域上连续的函数是______；A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意列若f(x)=其中g(x)在(-∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因当x∈(-∞，0]时f(x)=g(x)f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)，则f(x)=h(x)在x∈[0，+∞)上成立．于是f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sin｜x=0=(cosx-1)｜x=0，又sinx，cosx-1均连续，故g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(-∞，+∞)连续．应选(B)．4、设有定义在(-∞，+∞)上的函数：以x=0为第二类间断点的函数______．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：关于(A)：由于故x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由于故x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．我们也可直接考察(D)．由于故x=0是m(x)的第二类间断点．5、在函数A、①．B、②．C、③．D、①②③④．标准答案：D知识点解析：对于①：由于综上分析，应选(D)．6、极限A、等于B、等于C、等于e-6．D、不存在．标准答案：A知识点解析：注意到故原极限=，应选(A)．7、设A、2．B、4．C、6．D、8标准答案：C知识点解析：由于故选(C)．8、设f(x)在x=a连续，φ(x)在x=a间断，又f(a)≠0，则A、φ[f(x)]在x=a处间断．B、f[φ(x)]在x=a处间断．C、[φ(x)]2在x=a处间断．D、在x=a处间断．标准答案：D知识点解析：反证法．若在x=a连续，由连续函数的四则运算法则可得φ(x)=必在x=a连续，与假设φ(x)在x=a间断矛盾，从而必在x=a间断．故选(D)．9、“f(x)在点a连续”是｜fx)｜在点a处连续的()条件．A、必要非充分B、充分非必要C、充分必要D、既非充分又非必要标准答案：B知识点解析：由｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤f(x)-f(a)｜可知当f(x)在x=a连续可推知｜f(x)｜在x=a连续；而由f(x)=∈(-∞，+∞))成立，从而｜f(x)｜在x=a连续，但f(x)却在x=a间断．以上讨论表明“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的充分非必要的条件．应选(B)．10、设数列{xn}，{yn}满足=0，则下列正确的是A、若{xn}发散，则{yn}必发散．B、若{xn}无界，则{yn}必有界．C、若{xn}有界，则{yn}必为无穷小．D、若为无穷小，则{yn}必为无穷小．标准答案：D知识点解析：由已知条件高阶的无穷小量，即(D)正确．11、f(x)=xsinxA、在(-∞，+∞)内有界．B、当x→∞时为无穷大．C、在(-∞，+∞)内无界．D、当x→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：设xn=nπ(n=1，2，3，…)，则f(xn)=0(n=1，2，3，…)；设yn=2nπ+(n=1，2，3，…)，则f(yn)=2nπ+(n=1，2，3，…)．这表明结论(A)，(B)，(D)都不正确，而(C)正确．12、函数f(x)=在下列哪个区间内有界．A、(-1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)标准答案：A知识点解析：注意当x∈(-1，0)时有这表明f(x)在(-1，0)内有界．故应选(A)．13、若当x→∞时，，则a，b，c的值一定为A、a=0，b=1，c为任意常数．B、a=0，b=1，c=1．C、a≠0，b，c为任意常数．D、a=1，b=1，c=0．标准答案：C知识点解析：故应选(C)．14、设f(x)=，则下列结论错误的是A、x=1，x=0，x=-1为间断点．B、x=0为可去间断点。C、x=-1为无穷间断点．D、x=0为跳跃间断点．标准答案：B知识点解析：计算可得由于f(0+0)与f(0-0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去间断点．应选(B)．15、把当x→0+时的无穷小量α=tanx-x，β=排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．标准答案：C知识点解析：因即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D).又因即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C).二、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)16、设f(x)在[0，+∞)连续，且满足标准答案：先作恒等变形转化为求型未定式，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析17、设f(x)可导，且f(0)=0．f’(0)≠0，求w=标准答案：此极限是型未定式．由洛必达法则可得知识点解析：暂无解析18、已知，求常数a≥0与b的值．标准答案：本题是型未定式．用洛必达法则，并结合等价无穷小因子替换可求得w．设，当a＞0时f(x)在(-∞，+∞)上连续；当a=0时f(x)在x≠0有定义，且，补充定义f(0)=0，则f(x)=x｜x在(-∞，+∞)上连续．从而，当a≥0时可导，且用洛必达法则求极限，对a=0有由此可见必有a＞0，这时知识点解析：暂无解析19、确定常数a，b，c的值，使标准答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1-e-2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=-2，c=0．知识点解析：暂无解析20、设(Ⅰ)f(x)=求f(x)，g(x)．标准答案：(Ⅰ)需要对参数x用夹逼定理分段进行讨论．知识点解析：暂无解析21、求下列数列极限：标准答案：(Ⅰ)先用等价无穷小因子替换：现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得知识点解析：暂无解析22、当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：标准答案：(Ⅰ)～x4-2x2～-2x。(x→0)，即x→0时是x的2阶无穷小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx-1～ln[(1+tan2x)sinx-1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x.x2=x3(x→0)，即当x→0时(1+tan2x)sinx-1是x的3阶无穷小，故n=3．知识点解析：暂无解析23、设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(x)+bf(2h)-f(0)当h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a、b的值标准答案：由题设条件知[af(h)+bf(2h)-f(0)]=(a+b-1)f(0)=0．由于f(0)≠0，故必有a+b-1=0．利用a+b=1和导数的定义，又有=af’(0)+2bf’(0)=(a+2b)，f’(0)=(1+b)f’(0)．因f’(0)≠0，故1+b=0，即b=-1．于是a=2，b=-1．知识点解析：暂无解析24、试确定a和b的值，使f(x)=有无穷间断点x=0，有可去间断点x=1．标准答案：为使x=0为f(x)的无穷间断点，必须有，因而a=0，b≠1．将a=0代入上面极限式中，为使x=1是f(x)的可去间断点，必须有综合即得a=0．b=e．知识点解析：暂无解析25、设f(x)=试确定常数a，使f(x)在x=0处右连续．标准答案：由题意a=利用当x→0+时的等价无穷小关系ln(1-x)～-x可得所以A=e0=1．知识点解析：暂无解析26、设f(x)是在(-∞，+∞)上连续且以T为周期的周期函数，求证：方程f(x)-的闭区间上至少有一个实根．标准答案：由f(x)的周期性，有知识点解析：考虑辅助函数F(x)=f(x)-上必有零点．27、设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限．证明：(Ⅰ)设A＜B，则对∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)上有界．标准答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形．(Ⅰ)由=A＜μ及极限的不等式性质可知，使得f(X1)＜μ．由使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，，使得当x∈(-∞，X1)时f(x)有界；(＞X1)，使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理即可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(-∞，+∞)上有界．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、函数f(x)=xsinx()A、在(－∞，+∞)内无界B、在(－∞，+∞)内有界C、当x→∞时为无穷大D、当x→∞时极限存在标准答案：A知识点解析：对于任意给定的正数M，总存在着点，使｜f(xn)｜=＞M，故f(x)在(－∞，+∞)内无界．(C)错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有xn=｜2nπ｜＞x(只要｜n｜＞)，使f(xn)=xnsinxn=0＜M，故当x→∞时f(x)不是无穷大．千万不要将无穷大与无界混为一谈．2、极限=A≠0的充要条件是()A、a＞1B、a≠1C、a＞0D、与a无关标准答案：B知识点解析：3、设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是()A、设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B、设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C、设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D、设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大标准答案：D知识点解析：设f(x)=，当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除(A)．设x→0时，令f(x)=x2，g(x)=可排除(B)，(C)．4、设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数为()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜标准答案：B知识点解析：方法一若f(x)+sinx在点x0处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]－sinx在点x0处也连续，与已知矛盾．方法二排除法．设则f(x)在点x=0处间断，f(x)sinx=0在x=0处续．若设f(x)在点x=0处间断，但f2(x)=1，｜f(x)｜=1在x=0处都连续．故可排除(A)，(C)，(D)．5、设当x→x0时，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是无穷小，则当x→x0时，下列表达式中不一定为无穷小的是()A、B、α2(x)+β2(x)C、ln[1+α(x).β2(x)]D、｜α(x)｜+｜β(x)｜标准答案：A知识点解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量．6、设当x→0时，etanx－ex与xn是同阶无穷小，则n为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：则n=3时，C=7、当x→0时，f(x)=x－sinax与g(x)=x2ln(1－bx)是等价无穷小，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：故a=1，b=二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、=___________．标准答案：e6知识点解析：9、=_________．标准答案：知识点解析：10、=_________．标准答案：知识点解析：11、=_________．标准答案：e6知识点解析：12、极限=_________．标准答案：2知识点解析：13、设=β＞0，则α，β的值分别为__________．标准答案：知识点解析：原式=三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)14、求极限，a＞0．标准答案：原极限等价于求令f(t)=arctant，t∈，由拉格朗日中值定理可得知识点解析：暂无解析15、设=A(a＞0，a≠1)，求．标准答案：因为，又x→0时，这样～Axlna+αxlna～Axlna(x→0)，所以1+～aAx，因此f(x)～(aAx－1)sinx～Axlnasinx，于是得到知识点解析：暂无解析16、已知存在，且求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)是三次多项式，且有标准答案：因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而得知x－2a，x－4a为f(x)的因式．又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x－2a)(x－4a)(x－c)．于是知识点解析：暂无解析18、设=5，求a，b的值．标准答案：因为sinx(cosx－b)=0，所以－a=0，故a=1．又所以b=－4．知识点解析：暂无解析19、设=10,试求α，β的值．标准答案：显然由条件知β≠0，而因此有α－β+1=0，且知识点解析：暂无解析20、确定常数a和b的值，使标准答案：ln(1+x)=x－+o(x2)，于是ln(1－2x+3x2)=－2x+3x2－(－2x+3x2)2+o(x2)=－2x+x2+o(x2)，代入即得知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)=(x＞0)，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、已知=D≠0．求常数A，B，C，D．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：先看设t=，当x→+∞时，t→0+，有知识点解析：暂无解析25、已知数列｛xn｝的通项xn=，求标准答案：]因为=1，故由夹逼准则有=1．知识点解析：暂无解析26、设a1=2，(n=1，2，…)，证明：存在并求其极限值．标准答案：因为an+1==1，所以｛an｝有下界．下面再证明｛an｝单调递减．即an+1≤an，所以，则A=1，A=－1(舍去)．知识点解析：暂无解析27、设x1=1，xn+1=1+(n=1，2，…)，求标准答案：x2=1+＞x1．假设xn＞xn－1，则即xn+1＞xn，由数学归纳法可知对一切n，都有xn+1＞xn．又xn+1=＜2，所以｛xn｝单调增加且有上界，｛xn｝必收敛．记=a，对等式xn+1=1+两边取极限，得a=1+，即a2－a－1=0．解得a=，因xn≥1，故负值不合题意，于是知识点解析：暂无解析28、如果数列｛xn｝收敛，｛yn｝发散，那么｛xnyn｝是否一定发散?如果｛xn｝和｛yn｝都发散，那么｛xnyn｝的敛散性又将如何?标准答案：在题设两种情况下，｛xnyn｝的敛散性都不能确定．现在先就｛xn｝收敛，｛yn｝发散的情况来分析．利用yn=(xn≠0)这个恒等式，就可得到下述结论：若｛xn｝收敛且不收敛于零，｛yn｝发散，则｛xnyn｝必发散．这是因为若｛xnyn｝收敛，且又｛xn｝收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知｛yn｝收敛，这与假设矛盾．若=0，且｛yn｝发散，则｛｛xn｝yn｝可能收敛，也可能发散，如：①xn=，yn=n，则xnyn=1，于是｛xnyn｝收敛．②xn=，yn=(－1)nn，则xnyn=(－1)n，于是｛xnyn｝发散．现在再就｛xn｝和｛yn｝都发散的情况来分析｛xnyn｝的敛散性．有下面的结论：若｛xn｝和｛yn｝都发散，且两者至少有一个是无穷大，则｛xnyn｝必发散．这是因为如果｛xnyn｝收敛，而｛xn｝为无穷大，从等式yn=便得到｛yn｝收敛于零，这与假设矛盾．若｛xn｝和｛yn｝都不是无穷大且都发散，则｛xnyn｝可能收敛，也可能发散，如③xn=yn=(－1)n，有xnyn=1，于是｛xnyn｝收敛．④xn=(－1)n，yn=1－(－1)n，有xnyn=(－1)n－1，于是｛xnyn｝发散．知识点解析：暂无解析29、分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?标准答案：不正确．初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数．分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如φ(x)=｜x｜，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式｜x｜=，所以函数φ(x)=｜x｜是初等函数．而，则不是初等函数．知识点解析：暂无解析30、求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第5套一、选择题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)1、下列函数在其定义域内连续的是A、f(x)=nx+sinxB、C、D、标准答案：A知识点解析：由于f(x)=lnx+sinx为初等函数，而初等函数在其定义区间内处处连续，则应选A．2、设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时A、f(x)是x等价无穷小．B、f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C、f(x)是比x更高阶的无穷小D、f(x)是比x较低阶的无穷小．标准答案：B知识点解析：由于则应选B．3、设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是A、偶函数B、无界函数C、周期函数D、单调函数标准答案：B知识点解析：由于，则f(x)无界．4、下列各式中正确的是A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：所以,不能选C．又所以，也不能选D．而则应选A，不能选B．5、当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量?A、x2B、1一cosxC、D、x—tanx标准答案：D知识点解析：由于x→0时，是同阶无穷小，则应选D．6、设函数讨论函数f(x)的间断点，其结论为A、不存在间断点．B、存在间断点x=1．C、存在间断点x=0．D、存在间断点x=一1．标准答案：B知识点解析：由此可知x=1为间断点．7、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且A、存在且等于零．B、存在但不一定为零．C、一定不存在．D、不一定存在．标准答案：D知识点解析：排除法．显然φ(x)≤f(x)≤g(x)．且此时，故A和C都不正确，实际上不一定存在．例如令显然φ(x)、f(x)和g(x)均满足条件，但，故D为正确答案．8、函数在下列哪个区间内有界：A、(一1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)标准答案：A知识点解析：显然在(一1，0)上连续，又存在，则f(x)在(-1，0)上有界．故应选A．9、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则A、x=0必是g(x)的第一类间断点．B、x=0必是g(x)的第二类间断点．C、x=0必是g(x)的连续点．D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．标准答案：D知识点解析：由于，则若a=0，则g(x)在点x=0处连续；若a≠0，则g(x)在点x=0处连续．故应选D．10、当x→0+时，与等价的无穷小量是A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：直接法则应选B．11、设函数f(x)在区间[一1，1]上连续，则x=0是函数的A、跳跃间断点．B、可去间断点．C、无穷间断点．D、振荡间断点．标准答案：B知识点解析：直接法．则x=0为g(x)的可去间断点．12、当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2n(1一bx)是等价无穷小，则A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由于当x→0时，f(x)=x—sinax与y(x)=x2ln(1一bx)是等价无穷小，则故应选A．13、函数的可去间断点的个数为A、1．B、2．C、3．D、无穷多个．标准答案：C知识点解析：当x=k(k=0，±1，±2，…)时，sinnx=0，则这些点都是f(x)的间断点．而当x=0，±1时，x—x3=0．又则x=0，x=±1为f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点．故应选C．14、若则a等于A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：则a=215、设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=，则当x充分大时有A、g(x)＜h(x)＜f(x)．B、h(x)＜g(x)＜f(x)．C、f(x)＜g(x)＜h(x)．D、g(x)＜f(x)＜h(x)．标准答案：C知识点解析：由于则当x充分大时，g(x)＞f(x)，故应选C．16、已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则A、k=1，c=4．B、k=1，c=一4．C、k=3，c=4．D、k=3，c=一4．标准答案：C知识点解析：17、当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是A、x.o(x2)=o(x3)．B、o(x).o(x2)=o(x3)．C、o(x2)+o(x2)=o(x2)．D、o(x)+o(x2)=o(x2)．标准答案：D知识点解析：若取o(x)=x2，则故应选D．18、函数的可去间断点的个数为A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：在x=一1，0，1处没定义．则x=0和x=1为可去间断点，故应选C．19、设且a≠0，则当n充分大时有A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：直接法：由则当n充分大时有故应选A．20、设p(x)=a+bx+cx+dx2当x→0时，若p(x)一tanx是比x3高阶的无穷小，则下列结论中错误的是A、a=0B、b=1C、c=0D、标准答案：D知识点解析：则a=0，b=1，c=0，，故应选D．21、设{xn}是数列．下列命题中不正确的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)22、=_________.标准答案：知识点解析：23、设常数=___________.标准答案：知识点解析：由于24、若，则a=___________，b=__________．标准答案：a=1，b=一4．知识点解析：当a=1时，又1一b=5，则b=一4．25、极限=__________.标准答案：2知识点解析：由于当x→∞时，．则26、=_____________.标准答案：1知识点解析：27、=_______________.标准答案：0知识点解析：由于28、设函数，在(一∞，+∞)内连续，则c=____________．标准答案：1知识点解析：显然f(x)是偶函数，可能的阀断点是x=±c，只要在x=c处连续则处处连续，令解得c=1则c=1时f(x)在(一∞，+∞)上处处连续．29、=____________.标准答案：知识点解析：这是“1∞”型极限，由于30、=______________.标准答案：知识点解析：31、=__________.标准答案：知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)，则=____________。标准答案：271知识点解析：暂无解析33、已知当x→0时，与cosx一1是等价无穷小，则常数a=__________．标准答案：知识点解析：暂无解析34、已知在x=0处连续，则a=________．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)35、标准答案：非知识点解析：由于所以应填非．36、求标准答案：知识点解析：暂无解析37、若均存在，则存在．标准答案：非知识点解析：取x0=0，f(x)=x，但不存在．38、求标准答案：知识点解析：暂无解析39、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析40、极限标准答案：2知识点解析：41、求极限其中n为给定的自然数．标准答案：知识点解析：暂无解析42、计算标准答案：知识点解析：暂无解析43、标准答案：知识点解析：44、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析45、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析46、当x→0时，1一cosx.eos2x.eos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值．标准答案：由题设知故a=7．当n≠2时，显然不合题意．所以a=7，n=2．知识点解析：暂无解析47、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析48、设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3．若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值．标准答案：知识点解析：暂无解析49、设，f[φ(x)]=1一x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域．标准答案：知识点解析：暂无解析50、标准答案：知识点解析：暂无解析51、标准答案：2知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第6套一、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设函数在(一∞，+∞)内连续，且，则常数a，b满足()A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．标准答案：D知识点解析：因f(x)连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可．再由可知x→一∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b＜0，故选D．2、设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“”表示“M的充分必要条件是N”，则必有()A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数．B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数．C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数．D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数．标准答案：A知识点解析：原函数可表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C，且F’(x)=f(x)．当F(x)为偶函数时，有F(一x)=F(x)，于是F’(一x).(一1)=F’(x)，即一f(一x)=f(x)，也即f(一x)=一f(x)，可见f(x)为奇函数；若f(x)为奇函数，则∫0xf(t)dt为偶函数，从而F(x)=∫0xf(t)dt+C为偶函数，可见A为正确选项．本题也可以选取一些特殊的函数对其他选项进行排除．3、设函数f(x)=，则()A、x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点．B、x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点．C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点．D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点．标准答案：D知识点解析：由于函数f(x)在x=0，x=1点处无定义，因此是间断点．且，所以x=0为第二类间断点；所以x=1为第一类间断点．故应选D．4、设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是()A、连续的奇函数．B、连续的偶函数．C、在x=0处间断的奇函数．D、在x=0处间断的偶函数．标准答案：B知识点解析：用赋值法求解，取符合题意条件的特殊函数计算，如∫0xf(t)dt=|x|=它是连续的偶函数，故选B．5、当x→0+时，与等价的无穷小量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可．故用排除法可得正确选项为B．所以应选B．6、函数f(x)=在[一π，π]上的第一类间断点是x=()A、0．B、1．C、D、标准答案：A知识点解析：先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型．函数在x=0，x=1，均无意义．而且所以x=0为函数f(x)的第一类间断点，故应选A．7、设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系．由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去判断，然后选出正确选项．如取f(x)=|x|，但f(x)在x=0不可导，故选D．8、判断函数则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点．B、1个可去间断点，1个无穷间断点．C、2个跳跃间断点．D、2个无穷间断点．标准答案：A知识点解析：当x=0，x=1时,f(x)无定义，故x=0，x=1是函数的间断点．且所以x=0是可去间断点，x=1是跳跃间断点．9、设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是()A、若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛．B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛．C、若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛．D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛．标准答案：B知识点解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，且{xn}单调．所以{f(xn)}单调且有界．故{f(xn)}一定存在极限，即{f(xn)}一定收敛．10、设f(x)=则f(f(f(x)))等于()A、0．B、1．C、D、标准答案：B知识点解析：因为可知|f(x)|≤1，因此f(f(f(x)))=1．故选B．11、下列各题计算过程中正确无误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则．B项错误，是定式，不能用洛必达法则．C项错误，用洛必达法则求不存在，也不为∞，法则失效，不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的．故选D．12、设数列xn与yn满足．则下列断言正确的是()A、若xn发散，则yn必发散．B、若xn无界，则yn必无界．C、若xn有界，则yn必为无穷小．D、若为无穷小，则yn必为无穷小．标准答案：D知识点解析：取xn=n，yn=0，显然满足，由此可排除A、B．若取xn=0，yn=n，也满足，又排除C，故选D．13、设x→a时f(x)与g(x)分别是x一a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()①f(x)g(x)是x一a的n+m阶无穷小．③若n≤m，则f(x)+g(x)是x一a的n阶无穷小．A、1．B、2．C、3．D、0．标准答案：B知识点解析：此类问题要逐一分析，按无穷小阶的定义：对于①：故f(x)g(x)是(x一a)的n+m阶无穷小；对于②：若n＞m，故f(x)/g(x)是(x一a)的n—m阶无穷小；对于③：例如，x→0时，sinx与一x均是x的一阶无穷小，但即sinx+(一x)是x的三阶无穷小．因此①，②正确，③错误．故选B．14、以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：D知识点解析：逐一分析，证明三项均成立．对于①：对于③：可直接证明,f1(x)一g1(x)～f2(x)一g2(x)(x→a)．故选D．15、设数列极限函数f(x)=，则f(x)的定义域I和f(x)的连续区间J分别是()A、I=(一∞，+∞)，J=(一∞，+∞)．B、I=(一1，+∞)，J=(一1，1)∪(1，+∞)．C、I=(一1，+∞)，J=(一1，+∞)．D、I=(一1，1)，J=(一1，1)．标准答案：B知识点解析：因此f(x)的定义域为I=(一1，+∞)．故f(x)的连续区间是J=(一1，1)∪(1，+∞)．16、把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()A、α，β，γ．B、α，γ，β．C、β，α，γ．D、β，γ，α．标准答案：B知识点解析：因为所以当x→0+时，α是x的一阶无穷小，β是x的三阶无穷小，γ是x的二阶无穷小，故选B．17、函数f(x)=的间断点及类型是()A、x=1为第一类间断点，x=一1为第二类间断点．B、x=±1均为第一类间断点．C、x=1为第二类间断点，x=一1为第一类间断点．D、x=±1均为第二类间断点．标准答案：B知识点解析：分别就当|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时，求极限得出f(x)的分段表达式所以，x=±1为f(x)的第一类间断点，故选B．18、设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是()①φ[f(x))]必有间断点．②[φ(x)]2必有间断点．③f[φ(x)]没有间断点．A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：B知识点解析：①错误．举例：设f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续．②错误．举例：则[φ(x)]2=9在R上处处连续．③正确．因为f(x)在R上连续，而φ(x)的取值必定在R上．因此选B．19、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，则A、存在且等于零．B、存在但不一定为零．C、一定不存在．D、不一定存在．标准答案：D知识点解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，显然满足φ(x)≤f(x)≤g(x)，且不存在，故A、B排除．再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同样满足φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，可见C不正确，故选D．20、设其中a2+c2≠0，则必有()A、b=4d．B、b=一4d．C、a=4c．D、a=一4c．标准答案：D知识点解析：当x→0时，由皮亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均为x的一阶无穷小；而1—cosx．均为x的二阶无穷小，因此有二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、标准答案：知识点解析：22、标准答案：知识点解析：23、标准答案：知识点解析：运用洛必达法则，则有24、标准答案：知识点解析：因为25、设a＞0，a≠1，且则p=______标准答案：2知识点解析：26、标准答案：知识点解析：27、标准答案：知识点解析：28、标准答案：知识点解析：29、标准答案：1知识点解析：三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)30、已知求a,b的值．标准答案：原式可改写成．由于该式成立，所以必有．即a=9．将a=9代入原式，并有理化得因此，b=一12，即a=9，b=一12．知识点解析：暂无解析31、求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．标准答案：因为r’(θ)=一asinθ，ds=，利用对称性可知，所求的心形线的全长为知识点解析：暂无解析32、设f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且(A为常数)，求φ’(x)并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．标准答案：已知(A为常数)，则f(0)=0,f’’(0)=A，并且由已知得φ(0)=0．又因根据导数的定义，有因此，φ’(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析33、设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)．标准答案：(1)因为0＜x1＜π，则0＜x2=sinx1≤1＜π．可推得0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，则数列{xn}有界．并且，(因当x＞0时sinx＜x)，则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限存在．令t=xn，则n→∞，t→0而知识点解析：暂无解析34、证明：(1)对任意正整数n，都有成立；(2)设an=(n=1，2，…)，证明{an}收敛．标准答案：先证明ln(1+x)＜x，x＞0．令f(x)=x—ln(1+x)．由于可知f(x)在[0，+∞]上单调递增．又由于f(0)=0，因此当x＞0时,f(x)＞f(0)=0．也即ln(1+x)＞x，x＞0．可知g(x)在(0，+∞)上单调递增．由于g(0)=0，因此当x＞0时，g(x)＞g(0)=0．即因此数列{an}是有界的．由单调有界收敛定理可知，数列{an}收敛．知识点解析：暂无解析35、设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有标准答案：由条件知于是有f(1)=0．又因为在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小代换：当x→0时，ln[1+f(x+1)+3sin2x]一f(x+1)+3sin2x，知识点解析：暂无解析36、标准答案：知识点解析：暂无解析37、标准答案：知识点解析：暂无解析38、标准答案：知识点解析：暂无解析39、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第7套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、函数f(x)=|xsinx|ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设f(x)=，g(x)=∫0xsin2(x一t)dt，则当x→0时，g(x)是f(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价的无穷小D、等价无穷小标准答案：A知识点解析：暂无解析3、设y=f(x)由cos(xy)+lny一x=1确定，则=()A、2B、1C、一1D、一2标准答案：A知识点解析：暂无解析4、f(x)在[一1，1]上连续，则x=0是函数g(x)=的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、连续点D、第二类间断点标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、设f(x)=slnx，f[φ(x)]=1一x2，则φ(x)=________，定义域为________。标准答案：arcsin(1一x2)，知识点解析：φ(x)=arcsin(1一x2)，6、=________．标准答案：1．知识点解析：7、=________．标准答案：知识点解析：8、=________．标准答案：知识点解析：9、=________．标准答案：知识点解析：10、若(cosx一b)=5，则a=________，b=________。标准答案：1；一4．知识点解析：11、设f(x)连续可导，f(0)=0且f’(0)=b，若在x=0处连续，则A=________。标准答案：a+b．知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、若标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)=∫0tanxarcta．t2dt，g(x)=x一sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．标准答案：因为g(x)=x一sinx=x一所以当x→0时，f(x)=∫0tanxarctant2dt与g(x)=x一sinx是同阶非等价的无穷小．知识点解析：暂无解析求下列极限：20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、设曲线y=xn在点(1，1)处的切线交x轴于点(ξn，0)，求标准答案：y=xn在点(1，1)处的切线方程为y一1=n(x一1)，令y=0得ξ=1一=e一2．知识点解析：暂无解析28、设求a，b的值．标准答案：由ln(1一2x+3x2)=(一2x+3x2)一+o(x3)=一2x+x2+o(x2)得则a=2，b+1=2，即a=2，b=1．知识点解析：暂无解析29、设an=，证明：(an)收敛，并求标准答案：显然{an}单调增加，现证明：an≤3，当n=1时，a1=≤3，设n=k时，ak≤3，当n=k+1时，ak+1==3．由归纳法原理，对一切的自然数n，有an≤3，所以存在．令知识点解析：暂无解析30、讨论函数的连续性．标准答案：当x≠0时，函数f(x)连续，f(0一0)==1，f(0)=1，x=0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析31、设f(x)=求f(x)的间断点并判断其类型．标准答案：当x=0及x=±1时f(x)间断．由f(0一0)=0，f(0+0)=一∞得x=0为f(x)的第二类间断点，由f(1一0)=得x=1为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点，同理x=一1也为f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第8套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、在中，无穷大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．标准答案：D知识点解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选择该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即选(D)．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)2、设K，L，δ为正的常数，则=_____标准答案：KδL1-δ知识点解析：3、设f(x)=在x=0连续，则常数a与b满足的关系是_______．标准答案：a=b知识点解析：对任何常数a和b，f(x)分别在(-∞，0]，(0，+∞)连续，且f(0)=0，f+(0)=b.故f(x)在x=0连续a=b．4、1+x2-当x→0时是石的_____阶无穷小(填数字)．标准答案：4知识点解析：故当x→0时1+x2-是x的4阶无穷小．或用可知其为x的4阶无穷小．5、已知=_____．标准答案：知识点解析：因6、=_______．标准答案：知识点解析：注意，当a＞1时7、=_______．标准答案：3知识点解析：本题属“∞0”型未定式．数列极限不能直接用洛必达法则．如用，得先转化成连续变量的极限，利用求得，但比较麻烦．事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即8、若=______．标准答案：5知识点解析：9、=_____标准答案：知识点解析：x-lnx.sinx=x-lnx.sinx→+∞，于是10、=______标准答案：1知识点解析：本题属“00”型未定式，利用基本极限11、=_____标准答案：0知识点解析：当x＞0时，＜1，于是有12、设f(x)连续，且=______标准答案：6知识点解析：由积分中值定理知存在ξ∈[x，x+2]，可得13、设，则a=______，b=_________标准答案：知识点解析：利用洛必达法则可得又当a≠0时14、函数f(x)=的连续区间是______．标准答案：(-∞，1)∪(1，+∞)．知识点解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、求下列极限：标准答案：(9)属1∞型极限．原极限=eJ，而(13)本题是∞-∞型未定式，提出无穷大因子x2后作变量替换x=，可得知识点解析：暂无解析16、设f(x)具有连续导数，且f(0)=0，f’(0)=6，求标准答案：由f(0)=0，f’(0)=6可得=f’(0)=6，从而知识点解析：暂无解析17、设f(x)=求常数A与k使得当x→0时f(x)与Axk是等价无穷小量．标准答案：因为故当x→0时f(x)的等价无穷小量是知识点解析：暂无解析18、讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：标准答案：(Ⅰ)y=(1+x)arctan的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，由初等函数连续性知y分别在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)内连续．因从而x=-1与x=1都是函数的第一类间断点，其中x=-1是函数的可去间断点，x=1是函数的跳跃间断点．(Ⅱ)因显然x=-1与x=1都是函数的第一类(跳跃)间断点．(Ⅲ)由初等函数的连续性及y的定义可知，y分别在[-1，0)与(0，+∞)连续．又因故)，仅有x=0为第一类(可去)间断点．(Ⅳ)先写出f[g(x)]的表达式．考察g(x)的值域：当x≠1，2，5时f[g(x)]分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续．当x=2，5时，分别由左、右连续得连续．当x=1时，从而x=1是f[g(x)]的第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析19、已知，求常数a＞0和b的值．标准答案：题目中的极限式可改写为知识点解析：暂无解析20、设，试确定常数a，b的值．标准答案：由题设知利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有将a=-3代入(*)式，即得知识点解析：暂无解析21、设，求n及a的值．标准答案：由此可知n=2，a=-2e2．知识点解析：暂无解析22、证明：方程x=asinx+b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a+b．标准答案：引入函数f(x)=x-asinx-b，则f(x)=0的根即方程x=asinx+b的根．因f(0)=-b＜0，而f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，则x=a+b＞0便是f(x)=0的一个正根，若f(a+b)＞0，则由f(x)在[0，a+b]上的连续性可知，∈(0，a+b)，使f(ξ)=0．总之函数f(x)在(0，a+b]上至少有一个零点，即原方程至少有一个正根不超过a+b．知识点解析：暂无解析23、求证：ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．标准答案：引入函数f(x)=ex+e-x+2cosx-5，则f(x)是(-∞，+∞)上的连续偶函数，且f(0)=-1＜0，f’(x)=ex-e-x-2sinx，从而f’(0)=0．又f’’(x)=ex+e-x-2cosx=+2(1-cosx)＞0(＞0)成立，由此可见f’(x)当x≥0时单调增加，于是f’(x)＞f’(0)=0当x＞0时成立．这表明f(x)在x≥0是单调增加的．注意f(π)=eπ+e-π-7＞23-7=1＞0，故根据闭区间上连续函数的性质可知f(x)=0在(0，π)内至少有一个根，结合f(x)在x≥0严格单调增加可知f(x)=0有且仅有一个正根．由f(x)为(-∞，+∞)上偶函数，f(x)=0还有且仅有一个负根．故方程ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．知识点解析：暂无解析24、设常数a＜b＜c，求证：方程在区间(a，b)与(b，c)内各有且仅有一个实根．标准答案：设函数=0的根．因函数f(x)分别在区间(a，b)与(b，c)内可导，且这表明在区间(a，b)内f(x)的函数值从+∞单调减少到一∞，在区间(b，c)内f(x)的函数值也从+∞单调减少到-∞，故f(x)分别在(a，b)与(b，c)内有且仅有一个零点．即方程分别在(a，b)与(b，c)内有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，b]上连续，且a＜c＜d＜b．求证：存在ξ∈(a，b)，使pf(c)+qf(d)=(p+g)f(ξ)，其中p＞0，q＞0为任意常数．标准答案：利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题．令由f(x)在[a，b]上连续，而[c，d][a，b]，可知f(x)在[c，d]上连续，于是存在即η是f(x)在[c，d]上的值域[m，M]上的一个值．由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知，必存在ξ∈[c，d](a，b)使f(ξ)=η，即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)成立．知识点解析：暂无解析26、已知数列{xn}满足：x0=25，xn=arctanxn-1(n=1，2,3，…)，证明{xn}的极限存在，并求其极限．标准答案：设f(x)=arctanx-x，则f(0)=0，所以f(x)单调减少，当x＞0时f(x)＜f(0)=0，即arctanx＜x，于是有xn=arctanxn-1＜xn-1由此可知，数列{xn}单调递减．又x0=25，x1=arctan25＞0，…，且对每个n，都有xn＞0，根据极限存在准则即知存在．设=a，在xn+1=arctanxn两边取极限得a=arctana，所以a=0，即知识点解析：暂无解析27、设数列{xn}由递推公式(n=1，2，…)确定，其中a＞0为常数，x0是任意正数，试证存在，并求此极限．标准答案：因a＞0，x0＞0，由xn的递推式知xn＞0．又由算术平均值不小于几何平均值知再由存在，设为l．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第9套一、选择题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)1、函数f(x)=的有界区间()A、(一1，0)．B、(0，1)．C、(1，2)．D、(2，3)．标准答案：A知识点解析：当x≠0，1，2时,f(x)连续，而所以，函数f(x)在(一1，0)内有界，故选A．2、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且A、x=0必是g(x)的第一类间断点．B、x=0必是g(x)的第二类间断点．C、x=0必是g(x)的连续点．D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．标准答案：D知识点解析：因为又g(0)=0，故当a=0时，即g(x)在点x=0处连续；当a≠0时，即x=0是g(x)的第一类间断点．因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选D．3、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论可立即排除B、D．对于A、C选项，只要验算其中之一即可．对于C选项，因，故C不正确，选A．4、设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是()A、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)．B、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)．C、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f’(x0)=0．D、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0．标准答案：D知识点