考研数学二（矩阵）模拟试卷2（共131题）

考研数学二（矩阵）模拟试卷2（共4套）（共131题）考研数学二（矩阵）模拟试卷第1套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m＞n时，必有｜AB｜≠0B、当m＞n时，必有｜AB｜=0C、当n＞m时，必有｜AB｜≠0D、当n＞m时，必有｜AB｜=0标准答案：B知识点解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤rain{m，n}，且r(AB)≤rain(r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，选(B)．2、设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于()．A、A+BB、A-1+B-1C、A(A+B)-1BD、(A+B)-1标准答案：C知识点解析：A(A+B)-1B(A1+B1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以选(C)．3、设A，B都是n阶可逆矩阵，则()．A、(A+B)*=A*+B*B、(AB)*=B*A*C、(A-B)*=A*-B*D、(A+B)*一定可逆标准答案：B知识点解析：因为(AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A-1=B*A*，所以选(B)．4、设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于()．A、kA*B、knA*C、kn-1A*D、kn(n-1)A*标准答案：C知识点解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n-1阶子式，所以(kA)*=kn-1A*，选(C)．5、设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是()．A、A=OB、A=EC、若A不可逆，则A=OD、若A可逆，则A=E标准答案：D知识点解析：因为A2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D)．6、设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m＜n，则()．A、A的任意m个列向量都线性无关B、A的任意m阶子式都不等于零C、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D、矩阵A通过初等行变换一定可以化为(En：O)标准答案：C知识点解析：显然由r(A)=m＜n，得r(A)==m＜n，所以方程组AX=b易有无穷多个解．选(C)．7、设P1=则m，n可取()．A、m=3，n=2B、m=3，n=5C、m=2，n=3D、m=2，n=2标准答案：B知识点解析：经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．8、设A=则B-1为()．A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1标准答案：C知识点解析：B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以B-1=，于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，选(C)．9、设P=，Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则()．A、当t=6时，r(Q)=1B、当t=6时，r(Q)=2C、当t≠6时，r(Q)=1D、当t≠6时，r(Q)=2标准答案：C知识点解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)=1，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则B=________标准答案：知识点解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A=-3A-1，则(A*)-1B=ABA+2A2化为AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，则B=-6A(E+3A)-1，E+3A=11、设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，且A=，则B=_______标准答案：知识点解析：由A*BA=2BA-8E，得AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)-1=12、=_____标准答案：知识点解析：13、设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=_______标准答案：6知识点解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．14、设A=，B≠O为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=_________标准答案：1知识点解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)设A=E=ααT，其中α为n维非零列向量．证明：15、A2=A的充分必要条件是α为单位向量；标准答案：令αTα=k，则A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要条件是k=1，而αTα=｜α｜2，所以A2=A的充要条件是α为单位向量．知识点解析：暂无解析16、当α是单位向量时A为不可逆矩阵．标准答案：当α是单位向量时，由A2=A得r(A)+r(E-A)=n，因为E-A=ααT≠O，所以r(E-A)≥1，于是r(A)≤n-1＜n，故A是不可逆矩阵．知识点解析：暂无解析设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，P=17、计算PQ；标准答案：PQ=知识点解析：暂无解析18、证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．标准答案：｜PQ｜=｜A｜2(b-αTA-1α)，PQ可逆的充分必要条件是｜PQ｜≠0，即αTA-1α≠b．知识点解析：暂无解析19、设矩阵A满足(2E-C-1B)AT=C-1，且B=，求矩阵A．标准答案：由(2E-C-1B)AT=C-1，得AT=(2E-C-1B)-1C-1=[C(2E-C-1B)]-11=(2C-B)-12C-B得AT=(2C-B)-1=知识点解析：暂无解析20、设α，β是n维非零列向量，A=αβT+βαT．证明：r(A)≤2．标准答案：r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)，而r(αβT)≤r(α)=1，r(βαT)≤r(B)=1，所以r(A)≤r(αβT)+r(βαT)≤2．知识点解析：暂无解析21、设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n．标准答案：A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+ααT.ααT，因为α为单位列向量，所以αTα=1，于是A2=A．由A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n，又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E-A)=n．因为E-A=ααT≠0，所以r(E-A)=r(ααT)=r(α)=1，故r(A)=n-1＜n．知识点解析：暂无解析22、设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2．标准答案：AA*=A*A=｜A｜E．当r(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜=｜A｜n-1，所以｜A*｜≠0，从而r(A*)=n；当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因为｜A｜=0，所以AA*=｜A｜E=O，根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n，而r(A)=n-1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)=1；当r(A)＜n-1时，由于A的所有n-1阶子式都为零，所以A*=O，故r(A*)=0．知识点解析：暂无解析23、设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT标准答案：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令A=故A=αβT，显然α，β为非零向量．设A=αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵．于是r(A)≥1．又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1．知识点解析：暂无解析24、设A为n阶矩阵且r(A)=n-1．证明：存在常数k，使得(A*)2=kA*．标准答案：因为r(A)=n-1，所以r(A*)=1，于是A*=知识点解析：暂无解析25、设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n-2A．标准答案：(A*)*A*=｜A*｜E=｜A｜n-1E，当r(A)=n时，r(A*)=n，A*=｜A｜A-1，则(A*)*A*=(A*)*｜A｜A-1=｜A｜n-1E，故(A*)*=｜A｜n-2A．当r(A)=n-1时，｜A｜=0,r(A*)=1，r[(A*)*]=0，即(A*)*=O，原式显然成立．当r(A)＜n-1时，｜A｜=0，r(A*)=0，(A*)*=O，原式也成立．知识点解析：暂无解析26、设A，B分别为m×n及n×5阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n．标准答案：令B=(β1，β2，…，βs)，因为AB=O，所以B的列向量组β1，β2，…，βs为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r(A)，所以向量组β1，β2，…，βs的秩不超过n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n．知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则()．A、r＞mB、r=mC、r＜mD、r≥m标准答案：C知识点解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以选(C)．2、设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则()．A、r(A)=1B、r(A)=2C、r(A)=3D、r(A)=4标准答案：C知识点解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C)．3、设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则()．A、r(B)=nB、r(B)＜nC、A2-B2=(A+B)(A-B)D、｜A｜=0标准答案：D知识点解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．4、设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A，B都是可逆矩阵，因为，选(D)．5、设A=则A，B的关系为()．A、B=P1P2AB、B=P2P1AC、B=P2AP1D、B=AP2P1标准答案：D知识点解析：P1=E12，P=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．6、设A=，则()．A、B=P1AP2B、B=P2AP1C、D、标准答案：D知识点解析：显然B=，所以应选(D)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、设A=，则A-1=_______标准答案：知识点解析：设8、设A=，则(A*)-1=__________标准答案：知识点解析：｜A｜=10，因为A*=｜A｜A-1，所以A*=10A-1，故(A*)-1=9、设A=，则(A-2E)-1=________标准答案：知识点解析：A-2E=而(A-2E：E)则(A-2E)-1=10、设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=_______标准答案：知识点解析：由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)11、设A==_____标准答案：知识点解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜E=2｜E｜，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=12、设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，B=E+ααT，且B为A的逆矩阵，则a=_______标准答案：-1知识点解析：由AB=(E-ααT)ααT-ααT-2aααT=E且ααT≠0，得-1-2a=0，解得a=-1．13、设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=_________标准答案：知识点解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，B=6(A-1-E)-1=614、设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=______标准答案：2知识点解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．15、设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则r(A)=________标准答案：2知识点解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．16、P1==_________标准答案：知识点解析：P1=三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)设n阶矩阵A满足A2+2A-3E=O．求：17、(A+2E)-1；标准答案：由A2+2A-3E=O得A(A+2E)=3E，A．(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E)-1=知识点解析：暂无解析18、(A+4E)-1．标准答案：由A2+2A-3E=O得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则(A+4E)-1=(A-2E)．知识点解析：暂无解析19、设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E-A)-1标准答案：Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek-Ak=E，所以(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．知识点解析：暂无解析设A，B为n阶矩阵，P=20、求P.Q；标准答案：PQ==｜A｜｜B｜E知识点解析：暂无解析21、证明：当P可逆时，Q也可逆．标准答案：因为｜P｜=｜A｜｜B｜，所以当P可逆时，｜A｜｜B｜≠0，而PQ=｜A｜｜B｜E，即PQ=E，于是Q可逆且Q-1=知识点解析：暂无解析22、设A为n阶可逆矩阵，A2=｜A｜E．证明：A=A*．标准答案：因为AA*=｜A｜E，又已知A2=｜A｜E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．知识点解析：暂无解析23、设A为n阶矩阵，且A2-2A-8E=0．证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．标准答案：由A2-2A-8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4E-A)+r(2E+A)≤n．又r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E-A)+r(2E+A)=n．知识点解析：暂无解析24、证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．标准答案：设存在可逆阵B，C，使得AB=AC=E，于是A(B-C)=O，故r(A)+r(B-C)≤n，因为A可逆，所以r(A)=n，从而r(B-C)=0，B-C=O，于是B=C，即A的逆矩阵是唯一的．知识点解析：暂无解析25、设A是m×n阶矩阵，若ATA=O，证明：A=O．标准答案：因为r(A)=r(ATA)，而ATA=O，所以r(A)=0，于是A=O．知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B，将B的第1列的一1倍加到第2列上得C．P＝，则C＝()．A、P-1Ap．B、PAP-1．C、pTAP．D、PAPT．标准答案：B知识点解析：暂无解析2、设A为3阶矩阵，P＝(α1，α2，α3)为3阶可逆矩阵，Q＝(α1＋α2，α2，α3)．已知pTAP＝，则QTAQ＝()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析3、设A是3阶可逆矩阵，交换A的1，2行得B，则A、交换A*的1，2行得到B*．B、交换A*的1，2列得到B*．C、交换A*的1，2行得到－B*．D、交换A*的1，2列得到－B*．标准答案：D知识点解析：暂无解析4、设A，B，C都是n阶矩阵，满足B＝E＋AB，C＝A＋CA，则B－C为A、E．B、－E．C、A．D、－A．标准答案：A知识点解析：暂无解析5、A和B都是n阶矩阵．给出下列条件①A是数量矩阵．②A和B都可逆．③(A＋B)2＝A2＋2AB＋B2．④AB＝cE．⑤(AB)2＝A2B2．则其中可推出AB＝BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．标准答案：D知识点解析：①和③的成立是明星的，②是不对的．④AB＝cE，在c≠0时可推出AB＝BA，但是c＝0时则推不出AB＝BA．如⑤(AB)2＝A2B2推不出AB＝BA．对于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩阵，但是AB≠BA．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、若A-1＝，则(3A)*＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析7、设A＝不可逆，则χ＝_______．标准答案：－5．知识点解析：A不可逆｜A｜＝0．而故χ＝4或χ＝－5．8、设A，B均为3阶矩阵，且满足AB＝2A＋B，其中A＝，则｜B－2E｜＝_______．标准答案：－2．知识点解析：由AB－2A－B＋2E＝2E，有A(B－2E)－(B－2E)＝2E，则(A－E)(B－2E)＝2E．于是｜A－E｜.｜B－2E｜＝8，而｜A－E｜＝＝－4，所以｜B－2E｜＝－2．9、设A2－BA＝E，其中A＝，则B＝_______．标准答案：知识点解析：由于BA＝A2－E，又A可逆，则有B＝(A2－E)A-1＝A－A-1．故10、设XA＝AT＋X，其中A＝，则X＝_______．标准答案：知识点解析：由XA－X＝AT有X(A－E)＝AT，因为A可逆，知X与A－E均可逆．故X＝AT(A－E)-1＝11、已知A＝，矩阵X满足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)12、设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的逆矩阵．标准答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．(1)的逆矩阵可用初等变换法计算：(2)的逆矩阵也可用初等变换法计算：(3)的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为，求Dij由则BD21＝0，得D21＝0(因为B可逆)．BD22＝E，得D22＝B-1．AD11＋CD21＝E，即AD11＝E，得D11＝A-1．AD12＋CD22＝0，得D12＝－A-1CB-1．(4)用(3)的方法，得知识点解析：暂无解析13、设3阶矩阵A＝，A-1XA＝XA＋2A，求X．标准答案：A-1XA＝XA＋2AA-1X＝X＋2EX＝AX＋2A(E－A)X＝2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：知识点解析：暂无解析14、矩阵A＝，求解矩阵方程2A＝XA－4X．标准答案：化2A＝XA－4X得X(A－4E)＝2A．用初等变换法解此矩阵方程：知识点解析：暂无解析15、4阶矩阵A，B满足ABA-1＝BA-1＋3E，已知A*＝，求B．标准答案：用A右乘ABA-1＝BA-1＋3E的两边，得AB＋B＋3A；再用A*从左乘两边，得｜A｜B＝A*B＋3｜A｜E，由｜A*｜＝8，得｜A｜＝2，代入上式：(2E－A*)B＝6E．用初等变换法求B：知识点解析：暂无解析16、已知，XA＋2B＝AB＋2X，求X2017．标准答案：由XA＋2B＝AB＋2X化得：X(A－2E)＝(A－2E)B，即X＝(A－2E)B(A－2E)-1，则X2017＝(A－2E)B2017(A－2E)-1＝(A－2E)B(A－2E)-1＝X．再从关于X的矩阵方程X(A－2E)＝(A－2E)B用初等变换法求解X：((A－2E)T｜B(A－2E)T)＝(AT－2E｜β(AT－2E))知识点解析：暂无解析17、已知，XA＝2X＋B，求Xβ．标准答案：先由XA＝2X＋B求出X，再求Xβ．XA＝2X＋BX(A－2E)＝B，Xβ＝(－1，6，－2)T．知识点解析：暂无解析18、设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝=(2，－1，1)T都是齐次线性方程组AX＝0的解．求A．标准答案：令α3＝(1，1，1)T，则Aα3＝(2，2，2)T，建立矩阵方程：A(α1，α2，α3)＝(0，0，2α3)，用初等变换法解得A＝知识点解析：暂无解析19、设A是3阶矩阵，交换A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q，使得C＝AQ．标准答案：利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系．得知识点解析：暂无解析20、设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的伴随矩阵．标准答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．于是可利用公式A*＝｜A｜A-1来求伴随矩阵．知识点解析：暂无解析21、设A是n阶非零实矩阵，满足A*＝AT．证明｜A｜＞0．标准答案：把条件A*＝AT写出．则aij＝Aij，i，j．于是｜A｜＝由于A是实矩阵，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知识点解析：暂无解析22、设A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)都是3阶矩阵．规定3阶矩阵C＝证明C可逆的充分必要条件是A，B都可逆．标准答案：由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则)C＝＝ATB．于是｜C｜＝｜A｜｜B｜＝｜A｜｜B｜．则｜C｜≠0｜A｜≠0并且｜B｜≠0即C可逆A，B都可逆．知识点解析：暂无解析23、设A是n阶实反对称矩阵，证明E＋A可逆．标准答案：设n是一个n维实向量，满足(E＋A)η＝0，要证明η＝0．用ηT左乘上式，得ηT(E＋A)η＝0，即ηTη＝－ηTAη由于A是反对称矩阵，ηTAη是一个数，ηTAη＝(ηTAη)T＝－ηTAη，因此ηTAη＝0于是ηTη＝0η是实向量，(η，η)＝ηTη＝0，从而η＝0．知识点解析：暂无解析24、设A，B都是n阶矩阵，E－AB可逆．证明E－BA也可逆，并且(E－BA)-1＝E＋B(E－AB)-1A．标准答案：(E－BA)[E＋B(E－AB)-1A]＝(E－BA)＋(E－BA)B(E－AB)-1A＝(E－BA)＋(B－BAB)(E－AB)-1A＝(E－BA)＋B(E－AB)(E－AB)-1A＝E－BA＋BA＝E．知识点解析：暂无解析25、设A，B都是n阶矩阵，证明E－AB可逆E－BA可逆．标准答案：证明一个更加强的事实：｜E－AB｜＝｜E－BA｜．记则｜HG｜＝｜E－BA｜，｜GH｜＝｜E－AB｜．又因为｜G｜＝1，所以｜HG｜＝｜H｜｜G｜＝｜H｜：｜GH｜＝｜G｜｜H｜＝｜H｜．得｜E－AB｜＝｜E－BA｜．知识点解析：暂无解析26、设A，B是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A-1B＝B－4E．证明A－2E可逆．标准答案：用A左乘2A-1B＝B－4E两侧得2B＝AB－4A．即(A－2E)B＝4A．由A可逆，得A－2E可逆．知识点解析：暂无解析27、设n阶矩阵A，B满足AB＝aA＋bB．其中ab≠0，证明(1)A－bE和B－aE都可逆．(2)AB＝BA．标准答案：(1)A－bE和B－aE都可逆(A－bE)(B－aE)可逆．直接计算(A－bE)(B－AE)．(A－bE)(B－aE)＝AB－aA－bB＋abE＝abE．因为ab≠0，得(A－bE)(B－aE)可逆．(2)利用等式(A－bE)(B－aE)＝abE，两边除以ab，得再两边乘ab，得(B－aE)(A－bE)＝abE，即BA－aA－bB＋abE＝abE．BA＝aA＋bB＝AB．知识点解析：暂无解析28、A，B都是n阶矩阵，并且B和E＋AB都可逆，证明：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1A．标准答案：对此等式进行恒等变形：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1AB(E＋AB)＝B－B(E＋AB)-1AB(用B右乘等式两边)B(E＋AB)-1＋B(E＋AB)-1AB＝BB(E＋AB)-1(E＋AB)＝B．最后的等式显然成立．知识点解析：暂无解析29、设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)-1A是对称矩阵．标准答案：(E＋AB)-1A对称，就是[(E＋AB)-1A]T＝(E＋AB)-1A．[(E＋AB)-1A]T＝A[(E＋AB)-1]T＝A[(E＋AB)T]-1＝A(E＋BA)-1．于是要证明的是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1．对此式作恒等变形：(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1A＝(E＋AB)A(E＋BA)-1(用E＋AB左乘等式两边)A(E＋BA)＝(E＋AB)A(用E＋BA右乘等式两边)．等式A(E＋BA)＝(E＋AB)A．显然成立，于是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1成立．知识点解析：暂无解析30、设A，B都是n阶矩阵，使得A＋B可逆，证明B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．标准答案：两边都加A(A＋B)-1A后，都等于A：B(A＋B)-1A＋A(A＋B)-1A＝(B＋A)(A＋B)-1A＝A．A(A＋B)-1B＋A(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1(B＋A)＝A．因此B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．知识点解析：暂无解析31、设A，B都是n阶矩阵，并且A是可逆矩阵．证明：矩阵方程AX＝B和XA＝B的解相同AB＝BA．标准答案：AX＝B的解为A-1B，XA＝B的解为BA-1．AX＝B和XA＝B的解相同即A-1B＝BA-1．作恒等变形：A-1B＝BA-1B＝ABA-1BA＝AB．知识点解析：暂无解析32、设A＝，求与A乘积可交换的所有矩阵．标准答案：与A乘积可交换的矩阵一定是2阶矩阵．AX＝XA即：aχ1＋χ3＝aχ1＋χ2．aχ2＋χ4＝χ1，χ1＝aχ3＋χ4，χ2＝χ3，整理得χ1，χ2，χ3，χ4的齐次线性方程组解得通解为c1(0，1，1，0)T＋c2(1，0，O，1)T，c1，c2任意．则与A乘积可交换的矩阵的一般形式为c1A＋c2E，c1，c2任意．知识点解析：暂无解析33、(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．标准答案：(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素bij(i≠j)都为0．设A的对角线元素为λ1，λ2，…，λn．则AB的(i，j)位元素为λibij，而BA的(i，j)位元素为λibij因为AB＝BA，得aibij＝λjbij，因为λi≠λj，所以bij＝0．(2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵．再说明C的对角线元素c11，c22，…，cnn都相等．构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j，则CA的(i，j)位元素为cij，AC的(i，j)位元素为cjj．于是cii＝cjj．这里的i，j是任意的，从而．c11＝c22＝…＝cnn．知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A、B、A＋B、A-1＋B-1均为n阶可逆方阵，则(A-1＋B-1)-1等于【】A、A-1＋B-1B、A＋BC、A(A＋B)-1BD、(A＋B)-1标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设n维行向量α＝，矩阵A＝I－αTα，B＝I＋2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则AB＝【】A、0B、－IC、ID、I＋αTα标准答案：C知识点解析：暂无解析3、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，则成立【】A、ACB＝EB、CBA＝EC、RAC＝ED、BCA＝E标准答案：D知识点解析：暂无解析4、设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，且｜A｜＝a≠0，则｜A*｜＝【】A、aB、C、an-1D、an标准答案：C知识点解析：暂无解析5、设则成立【】A、AP1P2＝BB、AP2P1＝BC、P1P2A＝BD、P2P1A＝B标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设三阶矩阵A＝若A的伴随矩阵的秩为1，则必有【】A、a＝b或a＋2b＝0．B、a＝b或a＋2b≠0．C、a≠b且a＋2b＝0．D、a≠b且a＋2b≠0．标准答案：C知识点解析：暂无解析7、已知矩阵A相似于矩阵B＝则秩(A－2E)与秩(A－E)之和等于【】A、2B、3C、4D、5标准答案：C知识点解析：暂无解析8、设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11等于【】A、B、3C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、设，则铁(AB)＝______．标准答案：2．知识点解析：因B为满足秩方阵，故秩(AB)＝秩(A)＝2．10、设A＝，B≠O，满足BA＝O,则t＝_______．标准答案：－3．知识点解析：由BA＝O及B≠O，｜A｜＝0，t＝－3．11、设A＝矩阵B满足A2－AB＝2B＋4E，则B＝_______．标准答案：知识点解析：B＝(A＋2E)-1(A2－4E)＝(A＋2E)-1(A＋2E)(A－2E)＝A－2E＝12、设n(n≥3)阶方阵A＝的秩为n－1，则a＝________．标准答案：知识点解析：r(A)＝n－1，｜A｜＝[1＋(n－1)a](1－a)n-1＝0，或a＝1，而当a＝1时有r(A)＝1≠n－1，故必有a＝13、设A＝的伴随矩阵为A*，且A*BA＝2BA－8E，则矩阵B＝_______．标准答案：知识点解析：两端右乘A-1，得A*B＝2B－8A-1，两端左乘A并利用AA*＝｜A｜E＝－2E，得－2B＝2AB－8E，14、设A＝，n≥2为正整数，则An－2An-1＝_______．标准答案：O．知识点解析：A2＝2A，故An－2An-1＝An-2(A2－2A)＝O．15、设4阶方阵A的秩为2，则A的伴随矩阵A*的秩为________．标准答案：r(A*)＝0．知识点解析：r(A4×4)＝2A中3阶子式、即每个元素的余子式均为零A*＝O，故r(A*)＝0．16、设n阶方阵A、B的行列式分别为｜A｜＝2，｜B｜＝－3，A*为A的伴随矩阵，则行列式｜2A*B-1｜＝_______．标准答案：知识点解析：｜2A*B-1｜＝2｜A*｜｜B-1｜＝2n｜A｜n-1｜B｜-1＝．17、设A＝，则(A－2E)-1＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析18、＝_______．标准答案：知识点解析：可利用分块对角阵求逆法，得19、设A＝其中ai≠0，bi≠0(i＝1，2，…，n)，则秩(A)＝_______．标准答案：1．知识点解析：将A的第1行的倍加到第i行(i＝2，3，…，n)所得矩阵仅有第1行非零，秩(A)＝1．或由A＝αβ，其中α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)，及A≠O，得1≤r(A)＝r(αβ)≤r(α)＝1，r(A)20、设A、B为3阶方阵且A-1BA＝6A＋BA，则矩阵B＝_______．标准答案：知识点解析：用A-1右乘题给等式两端，再用A左乘两端，得21、设矩阵A满足A2＋A－4E＝O，其中E为单位矩阵，则(A－E)-1＝_______．标准答案：(A＋2E)知识点解析：O＝A2＋A－4E＝(A－E)(A＋2E)＋2E－4E＝(A－E)(A＋2E)－2E，22、设n维向量α＝(a，0，…，0，a)T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－ααT，B＝E＋ααT，其中A的逆矩阵为B，则a＝_______．标准答案：－1．知识点解析：aTα＝2a2，23、设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB＝2A＋B，B＝，则(A－E)-1＝_______．标准答案：知识点解析：AB－B－2A＝O，(A—E)B－2(A－E)－2E＝O，(A－E)(B－2E)＝2E，24、设3阶方阵A按列分块为A＝[α1α2α3]，已知秩(A)＝3，则3阶方阵B＝[α1＋2α2＋α32α1＋(2－a)α2＋3α33α1＋3α2]的秩＝_______．标准答案：知识点解析：25、设矩阵则B的伴随矩阵B*＝_______．标准答案：知识点解析：26、设A＝，B＝P-1AP其中P为3阶可逆矩阵，则B2004－2A2＝_______．标准答案：知识点解析：由于A2＝，A3＝(A2)2＝E，A2004)＝(A4)501＝E501＝E，故B2004－2A2＝P-1A2004P－2A227、设A＝(aij)3×3是实正交矩阵，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，则线性方程组Aχ＝b的解是_______．标准答案：知识点解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故A＝，又A-1＝AT，故方程组Aχ＝b的解为χ＝A-1b＝ATb＝28、已知α1，α2均为2维向量，矩阵A＝[2α1＋α2，α1－α2]，β＝[α1，α2]，若行列式｜A｜＝6，则｜B｜＝_______，标准答案：－2．知识点解析：A＝[2α1＋α2，α1－α2]＝[α1，α2]，两端取行列式，得｜A｜＝｜B｜(－3)，因｜A｜＝6，得｜B｜＝－2．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)29、设B是元素全为1的，n阶方阵(n≥2)，证明：(E－B)-1＝E－B标准答案：其中B＝2＝nB知识点解析：暂无解析30、设A、B都是n阶方阵，且A2＝E，B2－E，｜A｜＋｜B｜＝0，证明：｜A＋B｜＝0．标准答案：由条件得｜A｜2＝1，｜B｜2＝1｜A｜＝±1，｜B｜＝±1，又｜A｜＝－｜B｜｜A｜｜B｜＝－1，故｜A＋B｜＝｜AE＋EB｜＝｜AB2＋A2B｜＝｜A(B＋A)B｜＝｜A｜｜B＋A｜｜B｜＝－｜A＋B｜｜A＋B｜＝0知识点解析：暂无解析31、设A为n阶方阵且AAT＝E，｜A｜＜0，求｜A＋E｜．标准答案：｜A＋E｜＝｜A＋AAT｜＝｜A(E＋AT)｜＝｜A｜｜(E＋AT)T｜＝｜A｜｜E＋A｜＝｜A｜｜E＋A｜(1－｜A｜)｜A＋E｜＝0，又1－｜A｜＞0｜A＋E｜＝0．知识点解析：暂无解析32、设A＝矩阵B满足AB＝A＋2B，求B．标准答案：B＝(A－2E)-1A＝知识点解析：暂无解析33、设AP＝PB，其中求A及A5．标准答案：A5＝(PBP-1)(PBP-1)…(PBP-1)＝PB5P-1＝PBP-1＝A知识点解析：暂无解析34、设4阶方阵A满足A(E－C-1)TCT＝E，化简上述关系式并求A．标准答案：A(C－B)T＝E，A＝[(C－B)T]-1＝知识点解析：暂无解析35、设n阶非零实方阵A的伴随矩阵为A*，且A*＝AT．证明｜A｜≠0．标准答案：AAT＝AA*＝｜A｜E，若｜A｜＝0，则得AAT＝O，其(i，i)元素为aik＝0(i，k＝1，2，…，n)A＝O，这与A≠O矛盾．知识点解析：暂无解析36