考研数学二（高等数学）模拟试卷4（共231题）

考研数学二（高等数学）模拟试卷4（共9套）（共231题）考研数学二（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设a～β(x→a)，则等于()．A、eB、e2C、1D、标准答案：D知识点解析：因为α～β，所以，选(D)2、函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(a)不对，如存在，但f(x)在x=1处不连续，所以也不可导；存在，所以f(x)在x=1处可导．所以选(D)．3、设，其中D：x2+y2≤a2，则a为()．A、1B、2C、D、标准答案：B知识点解析：令(0≤θ≤2π，0≤r≤a)解得a=2，选(B)．4、二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．A、(ax+b)e-xB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x标准答案：D知识点解析：方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，故方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则=_______标准答案：1知识点解析：6、设f(x)二阶连续可导，且=_______标准答案：e2知识点解析：7、设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=_______．标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)3+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．8、设u=u(x，y)二阶连续可偏导，且，若u(x，3x)=x，u’x(x，3x)=x3，则u"xy(x，3x)=_______标准答案：知识点解析：u(x，3x)=x两边对x求导，得u’x(x，3x)+3u’y(x，3x)=1，再对x求导，得u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)+9u"yy(x，3x)=0．由，得10u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)=0，u’x(x，3x)=x3两边对x求导，得u"xx(x，3x)+3u"xy(x，3x)=3x2，解得u"xy(x，3x)=三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)9、设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)<0且=a>0，令an=∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．标准答案：因为f’(x)<0，所以f(x)单调减少．又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{an}单调减少．因为an=[f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1)且，所以存在X>0，当x>X时，f(x)>0．由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)>0，所以存在．知识点解析：暂无解析10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、x=φ(y)是y=f(x)的反函数，f(x)可导，且，f(0)=3，求φ"(3)．标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：12、对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；标准答案：对任意X∈(-1，1)，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0<θ(x)<1．因为f"(x)∈C(-1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(-1，1)内保号，不妨设f"(x)>0，则f(x)在(-1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知识点解析：暂无解析13、标准答案：由泰勒公式，得，其中ξ介于0与x之间，而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得知识点解析：暂无解析设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．14、确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；标准答案：当a=g’(0)时，f(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析15、求f’(x)；标准答案：知识点解析：暂无解析16、讨论f’(x)在x=0处的连续性．标准答案：因为，所以f’(0)在x=0处连续。知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a<1．21、确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；标准答案：直线y=ax与抛物线y=xv的交点为(0，0)，(a，a2)．当01+S2=∫0a(ax-x2)dx+∫a1(x2-ax)dx=令，S1+S2取到最小值，此时最小值为当a≤0时，S=∫a0(ax-x2)dx+∫01(x2-ax)dx=因为，所以S(a)单调减少，故a=0时S1+S2取最小值，而，S1+S2最小．知识点解析：暂无解析22、求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：旋转体的体积为知识点解析：暂无解析23、设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且标准答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得三个方程两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，知识点解析：暂无解析25、在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t>0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．标准答案：设在任意时刻t>0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，m2(t)，在时间[t，t+dt]内有，且满足初始条件m1(0)=150，解得；在时间[t，t+dt]内有，且满足初始条件m2(0)=150．知识点解析：暂无解析26、某人的食量是2500卡／天(1卡=4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．标准答案：输入率为2500卡／天，输出率为(1200+16w)，其中叫为体重，知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是()．A、f(x)，g(x)在x0处都可导B、f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C、f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D、f(x)，g(x)在x0处都可能不可导标准答案：D知识点解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡-1在任何一点都可导，选(D)．2、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令不存在，所以(a)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、标准答案：知识点解析：4、设在x=0处连续，则a=_______．标准答案：-2知识点解析：f(0)=f(0-0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以a=-2．5、设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f’≠1，则=_______标准答案：知识点解析：方程xef(y)=ey两边对x求导，得ef(y)+xef(y)f’(y)解得6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、标准答案：知识点解析：9、∫max{x+2，x2}dx=_______．标准答案：知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、设=_______标准答案：2知识点解析：12、设y=y(x)满足，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、设f"(0)=6，且标准答案：由得f(0)=0，f’(0)=0，知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)<0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．标准答案：令=k>0，取ε0=＞0，因为=k＞0，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有｜f(x)-k｜≤，从而f(x)≥>0，特别地，f(X0)>0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析15、确定a，b，使得x-(a+bcosx)sinx当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y=x-(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x-(a+bcosx)cosx，y"=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y"’=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y"(0)=0，知识点解析：暂无解析16、f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f"’(ξ)=3．标准答案：由泰勒公式得两式相减得f"’(ξ1)+f"’(ξ2)=6．因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f"’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f"’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"’(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](-1，1)，使得f"’(ξ)=3．知识点解析：暂无解析17、证明：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．标准答案：令φ(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，φ(1)=0．故x=1，为φ”(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为φ”(x)>0(x>0)故x=1为φ’(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为φ"(1)=2>0，故φ"(x)>0(x>0)．故x=1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)=0，所以x>0时，φ(x)≥0，即(x2-1)lnx≥(x-1)2．知识点解析：暂无解析18、当x>0时，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：标准答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)-m≥0，f(x)-M≤0，从而知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)．证明：标准答案：因为∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[ta+(1-tb)]dt≤(b-a)[f(a)∫01tdt+f(b)∫01(1-t)dt]=知识点解析：暂无解析22、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．标准答案：(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L1：y=0(0≤z≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L3：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2．由=6x2-24x=0得x=4，因为f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L3上最小值为-64，最大值为0．(2)在区域D内，由得驻点为(2，1)，因为AC-B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)-64，最大值为M=f(2，1)=4．知识点解析：暂无解析23、计算，其中D={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤x2)，D2={(x，y)｜-1≤x≤1，x2≤y≤2}，知识点解析：暂无解析设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a>1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为求：24、f(x)；标准答案：由题设知，π∫1af2(x)dx=[a2f(a)-f(1)]，两边对a求导，得知识点解析：暂无解析25、f(x)的极值．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、f(x)在[-1，1]上连续，则x=0是函数g(x)=的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、连续点D、第二类间断点标准答案：A知识点解析：显然x=0为g(x)的间断点，因为，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(A)2、设f(x)二阶连续可导，f’(0)=0，且=-1，则()．A、x=0为f(x)的极大点B、x=0为f(x)的极小点C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：由极限保号，存在δ>0，当0<｜x｜<δ时，<0，当x→0时，｜x｜+x3>0，则当0<｜x｜<δ时，f"(x)>0，从而0<｜x｜<δ在0<｜x｜<δ内单调增加，则x=0为f(x)的极小点，应选(B)3、设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=()．A、f’2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B、xf"12+xzf"22C、f’2+xf"12+xzf"22D、xzf"22标准答案：C知识点解析：=f’1+zf’2，=xf"12+f’2+xzf"22，选(C)4、设D：x2+y2≤16，则｜x2+y2-4｜dxdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π标准答案：B知识点解析：｜x2+y2-4｜dxdy=∫02πdθ∫04｜r2-4｜rdr=2π∫04｜r2-4｜rdr=2π[∫02(4-r2)rdr+∫24(r2-4)rdr]=80π，选(B)二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、设a>0，且，则a=_______，b=_______．标准答案：1，4知识点解析：由得b=1，则，故a=4．6、若，则a=_______，b=_______．标准答案：1，-4知识点解析：7、设f(x)二阶连续可导，且=1，f"(0)=e，则=_______标准答案：e／2知识点解析：由=1得f(0)=0，f’(0)=1，于是8、=_______标准答案：知识点解析：9、设f(x)连续，则=_______。标准答案：∫0xf(u)du+xf(x)知识点解析：10、设z=，则dz=_______．标准答案：知识点解析：11、设y"-3y’+ay=-5e-x的特解形式为Axe-x，则其通解为_______．标准答案：C1e-x+C2e4x+xe-x知识点解析：因为方程有特解Axe-x，所以-1为特征值，即(-1)2-3×(-1)+a=0a=-4，所以特征方程为λ2-3λ-4=0λ1=-1，λ2=4，齐次方程y"-3y’+ay=0的通解为y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e-x+C2e4x+xe-x．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、设a1=1，a2=2，3an+2-4an+1=0，n=1，2，…，求标准答案：由3an+2-4an+1+an=0，得3(an+2-an+1)=an+1-an(n=1，2，…)．令bn=an+1-an，则bn+1／bn=1／3(n=1，2，…)，由b1=1，得bn=(n=1，2，…)，即解得an=1+，所以=5／2知识点解析：暂无解析15、设f(x)=｜x-a｜g(x)，其中g(x)连续，讨论f’(a)的存在性．标准答案：由=-g(a)f’-(a)=-g(a)；由=g(a)得f’+(a)=g(a)，当g(a)=0时，由f’-(a)=f’+(a)=0得f(x)在x=a处可导且f’(a)=0；当g(a)≠0时，由f’-(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a处不可导．知识点解析：暂无解析16、设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f"(x)>g"(x)(x>a)．证明：当x>a时，f(x)>g(x)．标准答案：令φ(x)=f(x)-g(x)，显然φ(a)=φ’(a)=0，φ"(x)>0(x>a)．由得φ’(x)>0(x>a)；再由得φ(x)>0(x>a)，即f(x)>g(x)．知识点解析：暂无解析17、证明不等式：xarctanx≥标准答案：令f(x)=xarctanx-，f(0)=0．令f’(x)=+arctanx-=arctanx=0，得x=0，因为f"(x)->0，所以x=0为f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥知识点解析：暂无解析18、证明：当x>0时，标准答案：令φ(t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、求∫013x2arcsinxdx．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)标准答案：令F(x)=∫xf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=，由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+(a-x0)2+(a-x0)3，ξ1∈(a，x0)，F(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+(b-x0)2+(b-x0)3，ξ2∈(x0，b)，两式相减得F(b)-F(a)=F’(x0)(b-a)+F"’(ξ1)+F"’(ξ2)]，即∫abf(x)dx=(b-a)[f"(ξ1)+f"(ξ2)]，因为f"(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f"(ξ)=[f"(ξ1)+f"(ξ2)]，从而∫abf(x)dx=(b-a)知识点解析：暂无解析24、设xy=xf(z)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：标准答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得知识点解析：暂无解析25、计算(3xy+y2)dσ，其中D由y=x2，y=4x2及y=1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求满足初始条件y"+2x(y’)2=0，y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：令y’=p，则y"=，代入方程得+2xp2=0，解得=x2+C1，由y’(0)=1得C1=1，于是y’=，y=arctanx+C2，再由y(0)=1得C2=1，所以y=arctanx+1．知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处()．A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：C知识点解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选(C)．2、设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)<0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k>0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k>0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+，其中ξ介于a与x之间．而，再由f(a)<0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k>0)，所以f’(x)>0(x>a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、标准答案：1／2知识点解析：4、设在x=0处连续，则a=_______，b=_______标准答案：-1，1知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=-1，b=1．5、设y=y(x)由yexy+xcosx-1=0确定，求dy｜x=0=_______．标准答案：-2dx知识点解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx-1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得=-2，故dy｜x=0=-2dx．6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：ln3知识点解析：8、标准答案：知识点解析：9、标准答案：4-π知识点解析：10、设f(x)满足等式xf’(x)-f(x)=，且f(1)=4，则∫01f(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：11、设f(x)连续，则=_______标准答案：知识点解析：12、微分方程y’-xe-y+=0的通解为_______．标准答案：知识点解析：所以原方程的通解为三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、设，求f(x)的间断点并判断其类型．标准答案：f(x)的间断点为x=kπ(k=0，±1，…)及x=kπ+(k=0，±1，…)．因为，所以x=0为f(x)的可去间断点；因为，所以x=kπ(k=±1，±2，…)为f(x)的第二类间断点；因为(k=0，±1，…)为f(x)的可去间断点．知识点解析：暂无解析15、设f(x)连续可导，标准答案：由∫0xf(x-t)dt∫x0f(u)(-du)=∫0xf(u)du知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0．标准答案：由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析17、设0＜a＜b，证明：标准答案：令f(x)=lnx，则存在ξ∈(a，b)，使得，其中0＜a＜ξ＜b，则知识点解析：暂无解析18、求由方程x2+y2-xy=0确定的函数在x>0内的极值，并指出是极大值还是极小值．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：标准答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n-1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是≤f(1)+∫1nf(x)dx．知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当00kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．标准答案：∫0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx-k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1-k)∫0kf(x)dx-k∫k1f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为00kf(x)dx-k∫01f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析21、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．标准答案：因为f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]，上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知识点解析：暂无解析22、设证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但在点(0，0)处不连续．标准答案：因为所以f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导，且f’x(0，0)=f’y(0，0)=0．f(x，y)-f(0，0)-f’x(0，0)x-f’y(0，0)y=因为，所以f(x，y)在(0，0)处可微．当(x，y)≠(0，0)时，知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析设函数f(x)满足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕z轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：24、曲线y=f(x)；标准答案：由xf’(x)-2f(x)==x+cx2．设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则知识点解析：暂无解析25、曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．标准答案：在原点处的切线方程为y=x，则知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设y=y(x)由确定，则y"(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2-1D、e-2-1标准答案：A知识点解析：当x=0时，由得y=1，应选(A)2、函数z=f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z=f(x，y)在点(x0，y0)连续的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：D知识点解析：如f(x，y)=，在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如f(x，y)=在(0，0)处连续，但对x不可偏导．选(D)3、设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dσ等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：令A(1，1)，B(0，1)，C(-1，-1)，D(-1，0)，E(-1，-1)，记△OAB、△OBC、△OCD、△ODE所在的区域分别记为D1，D2，D3，D4，选(A)二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、当x→0时，～ax2，则a=_______．标准答案：3／4知识点解析：5、设当x→0时，ksin2x～，则k=_______．标准答案：1／2知识点解析：而当x→0时，所以当x→0时，，又ksin2x～kx2，所以k=1／2．6、设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=_______．标准答案：知识点解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)=7、∫sin3xcosxdx=_______．标准答案：cos4x-cos2x+C知识点解析：因为sin3xcosx=(sin4x+sin2x)，所以∫sin3xcosxdx=(∫sin4xdx+∫fsin2xdx)=cos4x-cos2x+C8、曲线y=x4(x≥0)与x轴围成的区域面积为_______．标准答案：知识点解析：9、设z==_______标准答案：1／2知识点解析：10、设f(x)连续，且[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=_______．标准答案：e-x知识点解析：由∫01[f(x)+xf(x)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(u)du=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、求标准答案：当x∈[0，1]时，由0≤≤sinnx≤xn，积分得0≤∫01dx≤∫01x2dx=而=0，由夹逼定理得知识点解析：暂无解析15、设y=，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析16、证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．标准答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0；f"(x)=>0(x＞0)，由得f’(x)＞0(x＞0)；由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln(1+x)(x＞0)．知识点解析：暂无解析17、求y=∫0x(1-t)arctantdt的极值．标准答案：令y’=(1-x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=-arctanx+，因为y"(0)=1>0，y"(1)=<0，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=1为极大值点，极大值为y(1)=∫01(1-t)arctantdt=∫01arctantdt-∫01tarctantdt知识点解析：暂无解析18、设0标准答案：令f(x)=arctanx-ax，由f’(x)=-a=0得x=由f"(x)=<0得x=为f(x)的最大点，由=-∞，f(0)=0得方程arctanxx=ax在(0，+∞)内有且仅有唯一实根，位于内．知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：∫-10｜t｜．etdt=-∫01td(et)=-tet｜-10+∫-10etdt=-e-1+1-e-1=1-2e-1．知识点解析：暂无解析23、求曲线y=cosx(-)与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．标准答案：Vy=取[x，x+dx]，则dVy=2π｜x｜．cosxdx，知识点解析：暂无解析24、设z=f(x，y)由方程z-y-x+xez-y-x=0确定，求dz．标准答案：对z-y-x+xez-y-x=0两边求微分，得dz-dy-dx+ez-y-xdx+zez-y-x(dz-dy-dx)=0，解得dz=知识点解析：暂无解析25、设f(x，y)=其中D={(x，y)｜a≤x+y≤b}(0标准答案：令D1={(x，y)｜0≤x≤a，a-x≤y≤b-x}，D2={(x，y)｜a≤x≤b，0≤y≤b-x)，则f(x，y)dxdy=∫0ae-xdx∫a-xb-xdy+∫abe-xdx∫0b-xe-ydy=∫0ae-x(ex-a-ex-b)dx+∫abe-x(1-ex-b)dx=(a+1)(e-a-e-b)-(b-a)e-b．知识点解析：暂无解析26、求微分方程yy"=y’2满足初始条件y(0)=y’(0)=1的特解．标准答案：令y’=P，则y"=，代入原方程得当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是，解得=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex．知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在x=12处二阶可导，则等于()．A、-f"(a)B、f’(a)C、2f"D、标准答案：D知识点解析：，选(D)2、设f(x)二阶连续可导，，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由，则存在δ>0，当0<｜x-2｜<δ时，有，即当x∈(2-δ，2)时，f’(x)<0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)>0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．3、对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B、若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续C、若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微D、若z=f(x，y)的偏导数不连续，则z=f(x，y)一定不可微标准答案：C知识点解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)4、标准答案：1／4知识点解析：5、设f(x)可导且f(x)≠0，则=_______标准答案：知识点解析：6、若f(x)=2nx(1-x)n，记Mn==_______标准答案：2／e知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)7、确定常数a，b，C，使得标准答案：知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识点解析：暂无解析9、标准答案：知识点解析：暂无解析10、标准答案：当｜x｜<1时，当x>1时，y’=1；当x<-1时，y’=-1；由得y在x=-1处不连续，故y’(-1)不存在；因为y’-(1)≠y’+(1)．所以y在x=1处不可导，知识点解析：暂无解析11、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且f｜f(4)(x)｜≤M(M>0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’+(a)f’-(b)>0，且g(x)≠0(xE∈[a，b])，g"(x)≠0(a标准答案：设f’+(a)>0，f’-(b)>0，由f’+(a)>0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)>f(a)=0；由f’-(b)>0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)1)f(x2)<0，所以由零点定理，存在C∈(a，b)，使得f(c)=0．令，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ1)=0，令φ(x)=f(x)g(x)-f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在eξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，所以知识点解析：暂无解析13、设f(x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0<θ<1)．证明：标准答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+，其中ξ介于x与x+h之间．由已知条件得知识点解析：暂无解析设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，称P，Q关于L对称．设，P点的坐标为14、求点M，使得L在M点处的法线经过点P，并写出法线的参数方程；标准答案：知识点解析：暂无解析15、求点P关于L的对称点Q的坐标．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．标准答案：因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m．对f(x)-f(0)=f’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析17、求的最大项．标准答案：当x∈(0，e)时，f’(x)>0；当x∈(e，+∞)时，f’(x)<0，则x=e为f(x)的最大点，于是的最大项为因为，所以最大项为知识点解析：暂无解析设s(x)=∫0x｜cost｜dt18、证明：当nx≤x<(n+1)π时，2n≤S(x)<2(n+1)；标准答案：当nπ≤x＜(n+1)π时，∫0nπ≤｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt＜∫0(n+1)π｜cost｜dt∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cost｜dt==2n．∫0(n+1)π｜cost｜dt=2(n+1)，则2n≤S(x)＜2(n+1)．知识点解析：暂无解析19、求标准答案：由nπ≤x＜(n+1)π，得，从而，根据夹逼定理得知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、某f家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为P1，P2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24-0．2p1，q2=10-0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问f家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?标准答案：p1=120-5q1，P2=200-20q2，收入函数为R=p1q1+p2q2，总利润函数为L=R-C=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-[85+40(q1+q2)]，得q1=8，q2=4，从而P1=80，p2=120，L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当p1=80，p2=120时，f家获得的利润最大，最大利润为605．知识点解析：暂无解析22、计算二重积分标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)为连续函数，计算，其中D是由y=x3，y=1，x=-1围成的区域．标准答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则知识点解析：暂无解析24、利用变换x=arctant将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：的特征方程为λ2+2λ+1=0，特征值为λ1=λ2=-1，的通解为y=(C1+C2t)e-t+t-2，故原方程通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．知识点解析：暂无解析25、设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-3∫0x(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．标准答案：∫0xf(t-x)dt=-∫0xf(t-x)d(x-t)=-∫x0f(-u)du=∫0xf(u)du则有f’(x)+2f(x)-3∫0x(u)du=-3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)-3∫0xf(u)du=-3x+2两边对x求导数得f"(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．知识点解析：暂无解析26、高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0．9，问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是cm，时间单位为h)?标准答案：得t=100，即经过100小时全部融化．知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(x)=∫01-cosxsint2dt，g(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：当x→0时，g(x)～所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选(B)2、设f(x)=x3+ax2+bx．在x=1处有极小值-2，则()．A、a=1，b=2B、a=-1，b=-2C、a=0，b=-3D、a=0，b=3标准答案：C知识点解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值-2，所以解得a=0，b=-3，选(C)二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、=_______标准答案：π／4知识点解析：4、设函数y=f(x)由方程xy+21nx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为_______．标准答案：y=-x+2知识点解析：xy+2lnx=y4两边对x求导得y+将x=1，y=1代入得故曲线yf(x)在点(1，1)处的法线为y-1=-(x-1)，即y=-x+2．5、y=ex在x=0处的曲率半径为R=_______．标准答案：2知识点解析：y’(0)=1，y"(0)=1，则曲线y=ex在x=0处的曲率为，则曲率半径为R=26、=_______标准答案：ln｜2x+3｜+5ln｜x-3｜+C知识点解析：7、设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分．∫1+∞f(x)dx收敛，且满足f(x)=，则f(x)=_______．标准答案：知识点解析：令∫1+∞f(x)dx=A，则由f(x)=，得8、设z=xy+，其中f可导，则=_______标准答案：z+xy知识点解析：9、(｜x｜+x2y)dxdy=_______．标准答案：2／3知识点解析：其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1-x}，10、设连续函数f(x)满足f(x)=，则f(x)=_______．标准答案：2e2x-ex知识点解析：=2∫0xf(t)dt，则f(x)=+ex可化为f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，两边求导数得f’(x)-2f(x)=ex，解得f(x)=f[∫ex．e∫-2dxdx+C]e-∫-2dx=(-e-x+C)e2x=Ce2x-ex，因为f(0)=1，所以f(0)=C-1=1，C=2，于是f(x)=2e2x-ex．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)=∫0tanrarctant2dt，g(x)=x-sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．标准答案：因为当x→0时，g(x)=x-sinx=所以当X→0时，f(x)=∫0tanrarctant2dt与g(x)=x-sinx是同阶非等价的无穷小．知识点解析：暂无解析13、设，求a，b的值．标准答案：解得a=1b=-3知识点解析：暂无解析14、设f(x)=讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：因为0≤｜f(x)｜=｜x｜．≤｜x｜得=0=f(0)，故f(x)在x=0处连续．由得f’-(0)=1，再由得f’+(0)=0，因为f’-0(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析15、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)-f’(x)g(x)-f(x)g’(x)，所以知识点解析：这是含端点和含ξ的项的问题，且端点与含ξ的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的ξ换成x得，整理得f’(x)g(b)+f(a)g’(x)-f’(x)g(x)-f(x)g’(x)=0，还原得[f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)]’=0，辅助函数为F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)．16、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得标准答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得ln2-ln1=，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(t)=，求∫01t2f(t)dt．标准答案：∫01t2f(t)dt=因为f(1)=0，所以知识点解析：暂无解析设f(x)为连续函数，证明：21、∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=πf(sinx)dx；标准答案：令I=∫0πxf(sinx)dx，则I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt=∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I，则I=∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=πf(sinx)dx．知识点解析：暂无解析22、∫02πf(｜sinx｜)dx=4f(sinx)dx．标准答案：∫02πf(｜sinx｜)dx=∫-ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(sinx)dx=4f(sinx)dx．知识点解析：暂无解析23、求摆线L：(a>0)的第一拱绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：V=π∫02πaf2(x)dx=π∫02πay2dx=π∫02πa3(1-cost)3dt=8π∫02πa3dt=32πa3∫0πsin6=32πa3I6=32πa3×=5π2a3知识点解析：暂无解析24、设z=f(t，et)dt，f有一阶连续的偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算I=ydxdy，其中D由曲线=1及x轴和y轴围成，其中a>0，b>0．标准答案：令t=1-，则x=a(1-t)2，dx=-2a(1-t)dt。于是知识点解析：暂无解析26、求微分方程cosy-cosxsin2y=siny通解．标准答案：由cosy-cosxsin2y=siny得-cosxsin2y=siny．令u=siny，则-u=cosx．u2，令u-1=z，则+z=-cosx，解得z=[∫(-cos)e∫dxdx+C]e-∫dx=[-∫excosxdx+C]e-x知识点解析：暂无解析27、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k>0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的1／8，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有，于是有=-kt+C0，由r(0)=r0，r(3)=，得C0=r0，k=，于是，令r=0得t=6，即6小时雪堆可以全部融化．知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)=，则f(x)()．A、无间断点B、有间断点x=1C、有间断点x=-1D、有间断点x=0标准答案：B知识点解析：当｜x｜<1时，f(x)=1+x；当｜x｜>1时，f(x)=0；当x=-1时，f(x)=0；当x=1时，f(x)=1．于是f(x)=显然x=1为函数f(x)的间断点，选(B)2、设f(x)连续，且=-2，则()．A、f(x)在x=0处不可导B、f(x)在x=0处可导且f’(0)≠0C、f(x)在x=0处取极小值D、f(x)在x=0处取极大值标准答案：D知识点解析：由=-2得f(0)=1，由极限的保号性，存在δ>0，当0<｜x｜<δ时，<0，即f(x)<1=f(0)，故x=0为f(x)的极大点，应选(D)3、设f(x)连续，且f’(0)>0，则存在δ>0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(-δ，0)内单调减少C、对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)>f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)标准答案：D知识点解析：因为f’(0)=>0，所以由极限的保号性，存在δ>0，当0<｜x｜<δ时，>0，当x∈(-δ，0)时，f(x)f(0)，应选(D)4、设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足，则函数f(x，y)在点(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案：A知识点解析：因为，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有＜0，而x2+1-xsiny>x2-x+1=＞0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、=_______标准答案：知识点解析：6、设f(x)=，且f’(0)存在，则a=_______，b=_______，c=_______标准答案：2，-2，2知识点解析：f(0+0)==a，f(0)=2，f(0-0)=c，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，从而a=2，c=2，即f(x)=因为f(x)在x=0处可导，即f’+(0)=f’-(0)，故b=-2．7、=_______标准答案：知识点解析：8、=_______标准答案：1知识点解析：9、=_______标准答案：知识点解析：10、计算=_______标准答案：知识点解析：改变积分次序得11、设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4+x2+3x+2，则Q(x)=_______，该微分方程的通解为_______．标准答案：-12x2-34x-19，C1e-2x+C2ex+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)知识点解析：显然λ=-4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2+λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x2+3x+2为特征方程y"+y’-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19，且通解为y=C1e-2x+C2ex+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、设a1=1，an+1+=0，证明：数列{an}收敛，并求标准答案：先证明{an}单调减少．a2=0，a2＜a1；设ak+1＜ak，ak+2=，由ak+1＜ak得1-ak+1＞1-ak，从而，即ak+2＜ak+1，由归纳法得数列{an}单调减少．现证明an≥a1=1≥，设ak≥，则1-ak≤1+，从而，即ak+1≥，由归纳法，对一切n，有an≥由极限存在准则，数列{an}收敛，设=A，对an+1+=0两边求极限得A+=0，解得知识点解析：暂无解析15、举例说明函数可导不一定连续可导．标准答案：因为不存在，而f’(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，但f’(x)在x=0处不连续．知识点解析：暂无解析16、设b>a>0，证明：标准答案：令f(t)=lnt，由微分中值定理得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)=其中Sξ∈(a，b)．因为0，从而知识点解析：暂无解析17、求曲线y=的斜渐近线．标准答案：由得曲线y=的斜渐近线y=2x-11．知识点解析：暂无解析18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、∫arcsincarccosxdx标准答案：知识点解析：暂无解析20、设φ(x)=∫abln(x2+t)dt，求φ’(x)，其中a>0，b>0．标准答案：φ(x)=∫abln(x2+t)d(x2+t)=φ’(x)=2xln(x2+b)-2xln(x2+a)=知识点解析：暂无解析21、设f(x)=求∫02πf(x-π)dx．标准答案：∫02πf(x-π)dx=∫02πf(x-π)=∫-ππf(x)dx知识点解析：暂无解析22、设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析23、设z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求标准答案：等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析24、计算(x+y)2dxdy，其中D：ay≤x2+y2≤2ay(a>0)．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求微分方程xy"+3y’=0的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x2+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案选(B)．2、设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2