考研数学（数学三）模拟试卷7（共216题）

考研数学（数学三）模拟试卷7（共9套）（共216题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(x)在x=a处可导，则()A、3a2fˊ(a)+2f(a)B、C、3a2fˊ(a)－f(a)D、标准答案：D知识点解析：2、设fˊˊ(x)在x=0处连续，且，则()A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：3、设f(x，y)=．则f(x，y)在点(0，0)处()A、不存在B、连续C、可微D、不连续标准答案：C知识点解析：4、以下命题正确的个数为()①若收敛，则收敛②若收敛，则收敛③若收敛，则收敛④若发散，则存在非零常数λ，使A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：B知识点解析：①②为正项级数时，此命题正确③｜an3｜≤an2④比较判别法为充分，非必要条件故①③正确，②④错误．5、设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B，则下面命题中正确的个数是()①｜A+B｜=｜A｜｜B｜②（AB）－1=B－1A－1③(A－E)x=0只有零解④B－E不可逆A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：A，B可逆，A+B=AB①｜A+B｜=｜AB｜=｜A｜｜B｜；②（AB）－1=B－1A－1；③A+B=ABA=AB－B=(A－E)BA－E可逆(A－E)x=0只有零解；④A+B=ABB=AB－A=A(B－E)B－E可逆．6、设，B是三阶非零矩阵，且AB=0，则()A、当k=1时，r(B)=1B、当K=－3时，r(B)=1C、当k=1时，r(B)=2D、当K=－2时，r(B)=2标准答案：B知识点解析：，AB=0r(A)+r(B)≤3；B≠0r(B)＞0，从而r(A)＜3｜A｜=0k=1或k=－3．当k=1时，r(A)=1，r(B)≤2；当k=－3时，r(A)=2，r(B)=1．从而选(B)7、设P(A｜B)=P(B｜A)=，，则()A、事件A，B独立且P(A+B)=B、事件A，B独立且P(A+B)=C、事件A，B不独立且P(A+B)=D、事件A，B不独立且P(A+B)=标准答案：C知识点解析：考察(C)，P(A)=，P(B｜A)=，P(A｜B)=．从而P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=．8、设连续型随机变量X的概率密度F(x)为偶函数，且F(x)=，则对任意常数a＞0，P{｜X｜＞a)为()A、2－2F(a)B、1－F(a)C、2F(a)D、2F(a)－1标准答案：A知识点解析：因为概率密度f(x)为偶函数及对称性可得P(｜X｜＞a)=P(X＞a或X＜－a)=2P(X＞a)=2[1－P(X≤a)]=2=2F(a)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、由方程sin(xy)－=1所确定的曲线y=y(x)在x=0处的切线方程为________．标准答案：y=e+e(1－e)x．知识点解析：当x=0时，y=e，在方程两边对x求导，得cos(xy)(y+xyˊ)－=0，因此yˊ｜x=0=e(1－e)，故切线方程为y=e+e(1－e)x．10、________．标准答案：0知识点解析：11、当x→0时，微分方程(3x2+2)yˊˊ=6xyˊ的某个解与ex－1是等价无穷小，则该解为________．标准答案：y=x3+x．知识点解析：12、设f(r)在[0，1]上连续，则________．标准答案：0知识点解析：13、设，则（E+A）*=________．标准答案：知识点解析：14、设总体X在[a，b]上服从均匀分布，X1，X2，…，Xn为其样本，样本均值，样本方差S2，则a，b的矩估计________，________．标准答案：知识点解析：由均匀分布的数字特征结论令E(X)=，D(X)=S2，解得a,b的矩估计为三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)15、设f(x)三阶可导，且fˊˊˊ(a)≠0，f(x)=f(a)+fˊ(a)(x－a)+(x－a)2(0＜θ＜1)求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设函数f(x)连续，求Fˊ(x)并讨论Fˊ(x)的连续性．标准答案：所以Fˊ(x)在x=0处连续．当x≠0时，因为f(x)连续，所以变上限积分也是连续的，于是Fˊ(x)是连续的．综上：Fˊ(x)在(－∞，+∞)上是连续的．知识点解析：暂无解析17、设二元函数u=u(x，y)有二阶连续偏导数，并满足方程，且u(x，2x)=x，uˊx=(x，2x)=x2，求uˊˊxx(x，2x)，uˊˊxy(x，2x)，uˊˊyy(x，2x)．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设有微分方程yˊ+p(x)y=x2，其中求在(－∞，+∞)内的连续函数y=f(x)，使其满足所给的微分方程，且满足条件y(0)=2．标准答案：当x≤1时，微分方程为yˊ+y=x2，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为当x＞1时，微分方程为，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为由于方程的解在点x=1处连续，所以从而，所以原方程通解为由于y(0)=2，所以c=0，所以满足条件的函数为知识点解析：暂无解析19、求二元函数f(x，y)=e－xy在区域D={(x，y)｜x2+4y2≤1}上的最大值和最小值．标准答案：首先由于fˊx(x，y)=－ye－xy，fˊy(x，y)=－xe－xy，所以在D的内部f(x，y)有唯一的驻点(0，0)，且f(0，0)=1．其次在D的边界x2+4y2=1上，作Lagrange函数L(x，y，λ)=e－xy+λ(x2+4y2－1)，比较函数值可得f(x，y)在D上的最大值为最小值为知识点解析：暂无解析设f(u)具有连续的一阶导数，且当x＞0，y＞0时，z=满足．求z的表达式．20、设f(u)具有连续的一阶导数，且当x＞0，y＞0时，z=满足．求z的表达式．标准答案：知识点解析：暂无解析21、证明考ξ1，ξ2，…，ξn线性无关；标准答案：设k1ξ1+k2ξ2+…+knξn=0，依次在等式两边左乘以A，A2，…，An－2，An－1，分别得k1ξ2+k2ξ3+…+kn－1ξn=0，k1ξ3+k2ξ4+…+kn－2ξn=0，……k1ξn－1+k2ξn=0，k1ξn=0，因为ξn≠0，并依次回代得k2=…=kn－1=kn=0，所以ξ1，ξ2，…，ξn.知识点解析：暂无解析22、求Ax=0的通解；标准答案：由题意知又因为ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，故r(A)=n－1，所以Ax=0的基础解系中只有一个解向量，而Aξn=0，ξn≠0，因此ξn为Ax=0的一个基础解系，所以Ax=0的通解为kξn，k为任意常数．知识点解析：暂无解析23、求出A的全部特征值和特征向量，并证明A不可对角化．标准答案：记P=(ξ1，ξ2，…，ξn)，则P可逆，且由此可得A的特征值λ1=λ2=…=λn=0，其特征向量为kξn(k≠0)，从而A的属于特征值0的线性无关特征向量仅有一个，故A不可对角化．知识点解析：暂无解析24、设I1=，其中a是正常数，试证明：I1＞I2标准答案：知识点解析：暂无解析(Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解；(Ⅱ)问参数a，b，c满足什么条件时，方程组(*)和(**)是同解方程组．25、(Ⅰ)求方程组(*)的基础解系和通解；(Ⅱ)问参数a，b，c满足什么条件时，方程组(*)和(**)是同解方程组．标准答案：(Ⅰ)方程组(*)的系数矩阵已是阶梯形．求得基础解系ξ1=(一1，2，一1，1，0)T，ξ2=(一1，一2，1，0，1)T，方程组通解为k1ξ1+k1ξ1=，其中k1、k1为任意常数。(Ⅱ)方程组(*)和(**)是同解方程组，将ξ1=代入方程组(**)的第1、2个方程，由显然ξ1也满足方程组(**)的第3个方程．将ξ2=代入方程组(**)的第3个方程，由3×(一1)+(一2)+1+c=0，得c=4．显然，ξ2也满足方程组(**)的第1、2个方程．故知当a=一1，b=2，c=4时，由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(**)的解．反之，当a=一1，b=一2，c=4时，方程组(**)的系数矩阵方程组(**)的未知量个数n=5，方程组(**)的基础解系由两个线性无关解组成，已验算方程组(*)的解全部是方程组(**)的解．故方程组(**)的解也全部是方程组(*)的解，方程组(*)、(**)是同解方程组．知识点解析：暂无解析26、(X，Y)的分布函数；标准答案：本题主要考查二维连续型随机变量的分布函数、边缘概率密度、条件密度及其概率，是一道有一定难度的综合题．由F(x，y)=(u，v)dudv，得当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，从而F(x，y)=0．当0＜x≤1，0＜y≤2时，当0＜x≤1，y＞2时，当x＞1，0＜y≤2时，当x＞1，y＞2时，F(x，y)=1综上所述，(X，Y)的分布函数为知识点解析：暂无解析27、(X，Y)的两个边缘概率密度；标准答案：当0≤x≤1时，从而X的边缘概率密度为当0≤y≤2时，从而Y的边缘概率密度为知识点解析：暂无解析28、P(X+Y＞1)及．标准答案：当0≤y≤2时，X关于Y=y的条件密度为当0≤x≤1时，y关于X=x的条件密度为由概率密度的性质，得知识点解析：暂无解析29、设总体X的概率密度为其中＞θ0，θ，μ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的简单随机样本．试求θ，μ的最大似然估计量．标准答案：本题考查总体概率密度含有两个未知参数的最大似然估计量，是一道有难度的综合题．似然函数为由(2)知lnL关于μ单调增加，即L(x1，…，xn；θ，μ)关于μ单调增加又，所以μ的最大似然估计量为由(1)式，令，得θ的最大似然估计量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设[x]表示不超过x的最大整数，则x=0是的()A、跳跃间断点。B、可去间断点。C、无穷间断点。D、振荡间断点。标准答案：A知识点解析：由于所以x=0是的跳跃间断点。故选A。2、f(x，y)在点(x0，y0)处连续，则f(x，y)在点(x0，y0)处可偏导是函数在该点可微的()A、充分必要条件。B、必要但非充分条件。C、充分但非必要条件。D、既非充分又非必要条件。标准答案：B知识点解析：举例证明选项B是正确的。设函数容易验证f(x，y)在点(0，0)处既连续又存在偏导，由fx’(0，0)=fy’(0，0)=0，因此不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处不可微。故选B。3、将二重积分改写成直角坐标形式为()A、∫02dx∫02xf(x2+y2)dyB、∫02dx∫02f(x2+y2)dyC、D、标准答案：C知识点解析：极坐标系中的2secθ对应直角坐标系中的直线x=2，极坐标系中的2cscθ对应直角坐标系中的直线y=2，因此根据极坐标系下的表达式可画出积分区域如下图：根据极坐标系与直角坐标系间的关系x=rcosθ，y=rsinθ，可得二重积分化为直角坐标形式为，故选C。4、下列选项中正确的是()A、若有相同敛散性。B、若正项级数C、若正项级数D、正项级数的敛散性与α，β有关。标准答案：D知识点解析：比较判别法极限形式仅适合正项级数，故选项A不正确。由反例收敛，但有，故选项B和C均不正确。在选项D中，当β≠1时，收敛性取决于β，β=1时，收敛性取决于α，故选D。5、设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是()A、AB为对称矩阵。B、设A，B可逆，则A一1+B一1为对称矩阵。C、A+B为对称矩阵。D、kA为对称矩阵。标准答案：A知识点解析：根据(A+B)T=AT+BT=A+B，可得A+B为对称矩阵；根据(A一1+B一1)T=(A一1)T+(B一1)T=A一1+B一1，得A一1+B一1为对称矩阵；由(kA)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵。故选A。6、已知α1，是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，那么矩阵P不能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。标准答案：D知识点解析：若P=(α1,α2,α3)，则有AP=PA，即亦即(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1α1，α2α2，α3α3)。可见αi是矩阵A属于特征值αi的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α，β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2一2α3，仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确即选项C正确。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩阵A的特征向量，故选D。7、设F1(x)，F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，概率密度分别为f1(x)，f2(x)(两个函数均连续)，则必为概率密度的是()A、f1(x)f2(x)。B、2f2(x)F1(x)。C、f1(x)F2(x)。D、f1(x)F1(x)+f2(x)F1(x)。标准答案：D知识点解析：设X1～U(0，1)，X2～U(1，2)，则即可排除选项A，B，C。对于选项D，满足f2(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0，且因此选项D可作为概率密度。故选D。8、设随机变量X与Y独立同分布，方差存在且不为零，记U=X—Y，V=X+Y，则U与V必然()A、不独立。B、独立。C、相关系数不为零。D、相关系数为零。标准答案：D知识点解析：根据独立同分布随机变量的性质，有E(UV)=E(X2—Y2)=E(X2)一E(Y2)=0，E(U)E(V)=[E(X)]2一[E(Y)]2=0。所以由Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=0可得相关系数ρUV=0。故选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=____________.标准答案：知识点解析：10、f(x)=sinxsin3xsin5x，则f(4)(0)=__________。标准答案：0知识点解析：11、曲线的弧长为_________。标准答案：知识点解析：12、差分方程yx+1一2yx=3x的通解为___________。标准答案：y(x)=C2x+3x，其中C为任意常数知识点解析：由已知方程知对应的齐次差分方程的特征值λ=2，通解为y(x)=C2x。因为λ=2≠3，所以令特解y*=A.3x，代入原方程得A=1，故原方程的通解为y(x)=C2x+3x，其中C为任意常数。13、行列式=__________。标准答案：n+1知识点解析：将各列加到第一列14、随机变量X的概率密度随机变量Y=aX+b～N(0，1)，则ab=__________。标准答案：1知识点解析：根据服从正态分布的随机变量的概率密度表达式可知三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、计算反常积分标准答案：先对原积分进行变量替换和等价变形所以知识点解析：暂无解析16、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(A)=f(B)=0。证明：(I)存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)；(Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)=一3f(η)g’(η)。标准答案：(I)令φ(x)=e-2f(x)，因为f(A)=f(B)=0，所以φ(A)=φ(B)=0，根据罗尔定理，存在一点ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-2x[f’(x)一2f(x)]且e-2x≠0，所以f’(ξ)=2f(ξ)。(Ⅱ)令h(x)=f9x)e3g(x)，因为f(A)=f(B)=0，所以h(A)=h(B)=0，根据罗尔定理，存在一点η∈(a，b)，使得h’(η)=0，而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0，所以f’(η)=一3f(n)g’(η)。知识点解析：暂无解析17、求幂级数的收敛域及和函数。标准答案：知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0。将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为，求：(I)f(x)的表达式；(Ⅱ)f(x)的极值。标准答案：(I)由已知，根据旋转体体积公式可知知识点解析：暂无解析19、某企业在两个不同市场上销售同一产品，市场价格分别为p1=18—2Q1，p2=12一Q2，其中Q1，Q2分别表示产品在两个市场上的需求量，该企业的总成本为C=2Q+5，其中Q=Q1+Q2。(I)若企业实行价格不同战略，试确定两个市场上产品的产量及价格，使得企业利润最大；(Ⅱ)若企业在两个市场上价格相同，求企业最大利润，比较两种战略优劣。标准答案：(I)总收入函数为r=p1Q1+p2Q2=18Q1一2Q12+12Q2一Q22，则总利润函数为L=R—C=一5+16Q1+10Q2—2Q12一Q22，由解得Q1=4，Q2=5，两市场的价格分别为p1=10，p2=7，此时企业利润最大为L=52。(Ⅱ)令p1=p2=p，由18—2Q1=12一Q2，可得2Q1一Q2—6=0。即求函数L=一5+16Q1+10Q2一2Q12一Q22在条件2Q1一Q2一6=0下的最大值。构造拉格朗日乘数方程L(Q1，Q2，λ)=一5+16Q1+10Q2一2Q12—Q22+λ(2Q1一Q2—6)，解方程组得Q1=5，Q2=4，价格为p=8，最大利润为L=49。(I)和(Ⅱ)的结果比较可见，实行价格差别战略，企业的利润比较大。知识点解析：暂无解析20、线性方程组有公共的非零解，求a，b的值和全部公共解。标准答案：因为线性方程组(I)、(Ⅱ)有公共的非零解，所以它们的联立方程组(Ⅲ)有非零解，即(Ⅲ)系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得所以a=一2，b=3。且r(A)=3。此时可解方程组得ε=(0，2，一3，1)T，即为(Ⅲ)的一个非零解。又r(A)=3，所以ε构成(Ⅲ)的基础解系。因此，(I)和(Ⅱ)的全部公共解为k(0，2，一3，1)T(其中k为任意常数)。知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+2ax1x24x1x3+8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y12+6y22+6y32，求：(I)参数a，b的值；(Ⅱ)正交变换矩阵Q。标准答案：(I)二次型矩阵为，由二次型的标准形f=y12+6y22+6y32，可知该二次型矩阵的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组知识点解析：暂无解析22、设连续型随机变量X的概率密度为求：(I)a，b，c的值；(Ⅱ)随机变量Y=eX的数学期望与方差。标准答案：(I)由概率密度的性质，即，可得知识点解析：暂无解析23、已知总体X的概率密度是来自总体X的简单随机样本。求λ的矩估计量和最大似然估计量。标准答案：由已知知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、若≠0，则()．A、k=2，a=一2B、k=一2，a=一2C、k=2，a=2D、k=一2，a=2标准答案：A知识点解析：当x→0时，，cos2x－=(1－)－(1－cos2x)，因为1一=x2，1－cos2x～(2x)2=2x2所以cos2x一=(1－)－(1－cos2x)～－x2，故k=2，a=一2，选(A)．2、y=坐的渐近线的条数为()．A、2B、3C、4D、5标准答案：C知识点解析：由为两条水平渐近线；由为铅直渐近线；由=0得曲线没有斜渐近线，故曲线共有4条渐近线，选(C)．3、设D为xOy平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在D上连续，在D内可偏导且满足+=一z，若f(x，y)在D内没有零点，则f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在边界上取到B、最大值和最小值只能在区域内部取到C、有最小值无最大值D、有最大值无最小值标准答案：A知识点解析：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上一定取到最大值与最小值，不妨设f(x，y)在D上的最大值M在D内的点(x0，y0)处取到，即f(x0，y0)=M≠0，此时==0，这与≠0矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D内取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D内取到，选(A)．4、设常数a＞0，正项级数收敛，则().A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、级数敛散性与a有关标准答案：C知识点解析：因为0≤又因为都收敛，所以收敛，根据比较审敛法得收敛，即(一1)n绝对收敛，选(C)．5、A=，其中a1，a2，a3，a4两两不等，下列命题正确的是()．A、方程组AX=0只有零解B、方程组ATX=0有非零解C、方程组ATAX=0只有零解D、方程组AATX=0只有零解标准答案：D知识点解析：由=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0，得r(A)=3．由r(A)=3＜4，得方程组Ax=0有非零解，不选(A)；由r(AT)=r(A)=3，得方程组ATX=0只有零解，不选(B)；由r(A)=r(ATA)=3＜4，得方程组ATAX=0有非零解，不选(C)；由R(A)=r(AAT)=3，得方程组AATX=0只有零解，选(D)．6、对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一2倍加到第三列得一E，且｜A｜＞0，则A等于()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由一E=E13A*E23(一2)，得A*=一(一2)=一E13E23(2)，因为｜A*｜=｜A｜2=1且｜A｜＞0，所以｜A｜=1，于是A*=A－1故A=(A*)－1=－(2)=－E23(－2)E13=－，选(A)7、设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格递增，Y～U(0，1)，则Z=F1(Y)的分布函数().A、可导B、连续但不一定可导且与X分布相同C、只有一个间断点D、有两个以上的间断点标准答案：B知识点解析：因为Y～U(0，1)，所以Y的分布函数为FY(y)=，则Z=F－1(Y)的分布函数为FZ(Z)=P{Z≤z}=P{F－1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)]，因为0≤F(z)≤1，所以Fz(z)=F(z)，即Z与X分布相同，选(B).8、设X1，X2，X3，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机变量，是样本均值，记=．则___________.A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：令S2=．～N(0，1)，由～χ2(n－1)，且与相互独立，由t分布的定义，～t(n－1)，选(B).二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、曲线在t=0对应点处的法线方程为__________．标准答案：知识点解析：当t=0时，x=3，y=1，，而=2t一2,eycost+eysint一=0，将t=0。代入得，于是切线的斜率为，于是法线为y一1=(x一3)，即法线方程为y=+1一．10、差分方程yx+1—3yx=2.3x的通解为___________．标准答案：知识点解析：齐次差分方程yx+1一3yx=0的通解为y=A3x，设差分方程yx+1—3yx=2.3x的特解为y0(x)=Cx3x，将y0(x)=Cx3x代入方程yx+1一3y=2.3x得C=，故原差分方程的通解为y(x)=A3x+2x3x－1．11、设z=f(t，et)dt，f有一阶连续的偏导数，则=____________．标准答案：知识点解析：=2xyf(x2y，)，=2xf+2xf()=2xf+2x3y(f’1+).12、微分方程一3y’+2y=2ex满足=1的特解为_____________．标准答案：y=－3ex+3e2x－2xex知识点解析：特征方程为λ2一3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，一3y’+2y=0的通解为令原方程的特解为y0(x)=Axex，代入原方程为A=一2，原方程的通解为y=C1ex+C2e2x一2xex由=1得y(0)=0，y’(0)=1，代入通解得C1=一3，C2=3，特解为y=一3ex+3e2x一2xex．13、已知三阶方阵A，B满足关系式E+B=AB，A的三个特征值分别为3，一3，0，则｜B－1+2E｜=___________．标准答案：-8知识点解析：因为A的特征值为3，一3，0，所以A—E的特征值为2，一4，一1，从而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B=E，即B与A—E互为逆阵，则B的特征值为，一，一1，B－1的特征值为2，一4，一1，从而B－1+2E的特征值为4，－2，1，于是｜B－1+2E｜=一8．14、设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，其中E(X)=μ,D(X)=σ2，令U=—Xi，V==Xi(i≠j)，则ρuv=___________．标准答案：知识点解析：由U=一Xi=+…+得D(U)=D(V)=Cov(U，V)=Cov(—Xi，一Xi)=Cov()－Cov(Xi，)一Cov(，Xi)+Cov(Xi，Xj)=D()一2Cov(Xi，)=，则．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、令x=cost(02)一xy’+y=0化为y关于，的微分方程，并求满足=2的解．标准答案：，代入原方程得+y=0，该方程的通解为y=C1cost+C2sint，原方程的通解为y=C1x+C2，将初始条件=2代入得C1=2，C2=1，故特解为y=2x+．知识点解析：暂无解析16、设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值为一1．证明：存在ξ∈(0，1)．使得(ξ)≥8．标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，所以f(x)在[0，1]上取到最小值和最大值．又因为f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值为一1，所以存在c∈(0，1)，使得f(c)=一1．(c)=0，由泰勒公式得整理得当c∈(0，]时，因为c2≤，所以(ξ1)=≥8，此时取ξ=ξ1；当c∈[，1)时，因为(1一c)2≤，所以(ξ2)=≥8，此时取ξ=ξ2．知识点解析：暂无解析17、计算(a>0)．标准答案：令，(－≤θ≤0，0≤r≤一2asinθ)，则知识点解析：暂无解析18、某企业生产某种商品的成本函数为C=a+bQ+cQ2，收入函数为R=ιQ一sQ2，其中常数a，b，c，ι，s都是正常数，Q为产量，求：(Ⅰ)当税率为t时，该企业获得最大利润时的销售量；(Ⅱ)当企业利润最大时，t为何值时征税收益最大．标准答案：(Ⅰ)利润函数为L=R－C一tQ=ιQ－sQ2一a一bQ一cQ2一tQ，令=ι一2sQ一b—2cQ一t=0得Q=.因为=一2s一2c=一2(c+s)<0，所以Q=为企业获得最大利润时的销售量．(Ⅱ)税收函数T=tQ=，令=0得t=．因为<0，所以税率t=时，征税收益最大．知识点解析：暂无解析19、求幂级数的收敛区域与和函数．标准答案：由=1得级数的收敛半径为R=1.当x=1时，因为分散，所以当x=1时，级数发散；当x=一1时，，因为与都收敛，所以当x=一1时，级数收敛，故级数的收敛域为[一1，1)．令S(x)==(5—8x)ln(1一x)+5x(一1≤X<1)．知识点解析：暂无解析20、设A为m×n矩阵，且r(A)=r()=r=(Ab)．(I)证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解；(Ⅱ)有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．标准答案：(I)令ξ1，ξ2，…，为Ax=0的基础解系，η0为Ax=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，为Ax=b的一组解，令=0，即+(k0+k1+…+)η0=0．上式左乘A得(k0+k1+…+)=0，因为b≠0时，k0+k1+…+=0，于是k1β1+k2ξ2+…+kn－rξn－r，因为ξ1，ξ2，…，ξn－r为Ax=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn－r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn－r线性无关．若γ0，γ1，…，γn－r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1一γ0，…一γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+=0，则k1γ1+k2γ2+…+kn－r+1γn－r＋1－(k1+k2+…+kn－r+1)γ0=0因为γ0，γ1，…，γn－r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0,即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n－r+1个线性无关解(Ⅱ)令A=则化为AX=β因为Ax=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)=r()=2则a=－3，b=－1由得原撇的通解为其中k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=－2x1x2+6x1x3－6x2x3的矩阵合同于．(Ⅰ)求常数a；(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形.标准答案：(Ⅰ)令A=则f(x1，x2,x3)=XTAX.因为A与合同，所以r(A)=2<3，故｜A｜=0．由｜A｜=(Ⅱ)由｜λE一A｜==λ(λ－4)(λ－9)=0得λ1=0，λ1=0，λ2=4，λ3=9．由(0E—A)X=0得；由(4E－A)X=0得；由(9E—A)X=0得令Q=(γ1，γ2，γ3)=，则f(x1，x2,x3)=XTAXYT(QTAQ)Y=知识点解析：暂无解析22、设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数fz(z)．标准答案：X，Y的边缘密度分别为因为X，Y独立，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=fx(x)fY(y)=FZ(z)=P{z≤z}=P{X+Y≤z}=f(x，y)dxdy，当z＜0时，FZ(z)=0；当0≤z<1时，FZ(z)=dxe-ydy=(1一ex－z)dx=z－e－z(ez－1)=z+e－z－1；当z≥1时，FZ(z)=[*167]dxe－ydy=(1一ex－z)dx即FZ(z)=故fZ(z)=知识点解析：暂无解析23、设总体x的密度函数为f(x)=其中θ>一1是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本．(I)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量．标准答案：(I)E(x)=，令，得参数的矩估计量为．(Ⅱ)记样本观察值为x1，x2，…，xn，似然函数为则lnL=nln(θ+1)+θlnxi(0＜xi＜1)，令，得参数的最大似然估计值为，则最大似然估计量为．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设正数列{an}满足，则极限=A、eB、1C、0D、标准答案：B知识点解析：2、设函数则x=0是f(x)的A、可去间断点．B、跳跃间断点．C、第二类间断点．D、连续点．标准答案：B知识点解析：3、设有函数f1(x)=｜1nx｜，f2(x)=，f3(x)=x3—3x2+x+1，f4(x)=｜x一1+1nx｜，则以(1，0)为曲线拐点的函数有A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：D知识点解析：首先fi(1)=0，i=1，2，3，4，说明点(1，0)都在曲线上．由｜lnx｜的图形容易判断(1，0)是f1(x)的拐点令f2"(x)=0，x=1(x=一1不在定义域内)，由于f2"(x)在x=1的左、右异号，故(1，0)是f2(x)的拐点．f3’(x)=3x2—6x+1，f3"(x)=6(x一1)，f3"(1)=0，又f3"(x)在x=1左右异号，故(1，0)是f3(x)的拐点．对f4(x)求导比较麻烦，我们可以由g(x)=x一1+lnx来讨论．可知g(x)↑，又，故g(x)的图形上凸，当x∈(0，1)时g(x)＜0，当x∈(1，+∞)时g(x)＞0，所以f4(x)=｜g(x)｜的图形以(1，0)为拐点．综上所述，应选(D)．4、设=x2一xy+y2，则fx’(1，1)=A、1．B、0．C、一1．D、标准答案：D知识点解析：5、设A是m×n矩阵，且方程组Ax=b有解，则A、当Ax=b有唯一解时，必有m=n．B、当Ax=b有唯一解时，必有r(A)=n．C、当Ax=b有无穷多解时，必有m＜n．D、当Ax=b有无穷多解时，必有r(A)＜m标准答案：B知识点解析：6、下列矩阵中不能相似对角化的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：7、设事件A，B，C是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为Ω，则下列结论中一定成立的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：8、设是取自同一正态总体N(μ，σ2)的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足的最小样本容量n=__________A、4．B、8．C、12．D、24．标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知级数与反常积分均收敛，则常数p的取值范围是__________·标准答案：0＜p＜2．知识点解析：由于是交错级数，只要p＞0就符合莱布尼兹判别法的要求，因而收敛，而当p≤0时，该级数的通项不趋于零，所以一定发散．又对于来说，直接计算即可知：p＜2时收敛，p≥2时发散．两者结合即得上述答案．10、若由曲线及曲线某点处的切线方程与两条直线x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线方程为____________．标准答案：知识点解析：11、若一条二次曲线把(一∞，0)内的曲线段y=ex和(1，+∞)内的曲线段连接成一条一阶可导的曲线，则定义在[0，1]上的这条二次曲线为____________．标准答案：y=一x2+x+1．知识点解析：设二次曲线为y=ax2+bx+c由f(x)的连续性，在点x=0处有e0=c，则c=1；在点x=1处有a+b+c=1，可知a+b=0．由可导性f+’(0)=b，f-’(0)=e0=1，故由f+’(0)=f-’(0)得b=1，a=一1，所以二次曲线为y=一x2+x+1．12、由于折旧等因素，某机器转售价格P(t)是时间t(周)的减函数，其中A是机器的最初价格，在任何时间t，机器开动就能产生的利润，则使转售出去总利润最大时机器使用的时间t=__________周．(1n2≈0．693)标准答案：333．知识点解析：假设机器使用了t周后出售，在时间[t，t+dt]内机器开动产生的利润为令f’(t)=0，得t=961n32≈333．当t＜96In32时，f’(t)＞0；当t＞96In32时，f’(t)＜0，故机器使用了333周后转售出去总利润最大．13、已知，那么矩阵A=_____________·标准答案：知识点解析：14、设随机变量X的密度函数为则Y=-2X+3服从的分布是___________.标准答案：N(5，2)知识点解析：Y=一2X+3仍服从正态分布，且EY=一2EX+3=5DY=4DX=2，所以Y～N(5，2)．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设F(x)=，求F’(x)(x＞一1，x≠0)并讨论F’(x)在(一1，+∞)上的连续性．标准答案：先将F(x)转化为变限积分，令s=xt，则知识点解析：暂无解析16、抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直．(I)求L1与L2交点的横坐标x1；(Ⅱ)求L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)；(Ⅲ)问a＞0取何值时S(a)取最小值．标准答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)知识点解析：暂无解析17、设函数计算二重积分．其中D={(x，y)｜x2+(y一1)2≤1}．标准答案：如图所示，设在直线y=1下方的部分记为D1，在y=l上方的部分记为D2，且D2在y轴右侧的部分记为D2’，于是知识点解析：暂无解析18、作自变量替换，把方程变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解．标准答案：(I)(Ⅱ)求解二阶常系数线性方程④．相应的特征方程λ2+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y*=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即Acost—Bsint=sint，比较系数得A=0，B=-1．即y*(t)=一cost，因此④的通解为y=(C1+C1t)e-t一cost．(Ⅲ)原方程的通解为知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0．标准答案：用反证法来证明本题．由题设f(x)在[0，4]上连续即知f(4一x)在[0，4]上连续，从而其和f(x)+f(4一x)也在[0，4]上连续．若不存在ξ∈(0，4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0，则f(x)+f(4一x)或在(0，4)内恒正，或在(0，4)内恒负，于是必有知识点解析：暂无解析20、设A是n阶反对称矩阵，(I)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．标准答案：(I)按反对称矩阵定义：AT=一A，那么｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)n｜A｜，即[1一(一1)n]｜A｜=0．若n=2k+l，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数．因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(一A)*．又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有(A*)T=(一1)2kA*=A*，即A*是对称矩阵．(Ⅱ)例如，是4阶反对称矩阵，且不可逆．(Ⅲ)若λ是A的特征值，有｜λE—A｜=0，那么｜-λE-A｜=｜(一λE-A)T｜=｜-λE—AT｜=｜-λE+A｜=｜一(λE-A)｜=(一1)n｜λE-A｜=0，所以一λ是A的特征值．知识点解析：暂无解析21、已知，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．标准答案：由矩阵A的特征多项式知识点解析：暂无解析22、设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2｜=，P{y=y1｜X=x2}=，p{X=x1｜Y=y1}=，试求：(I)二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；(II)条件概率P{Y=yj｜X=x1}，j=1，2．标准答案：(Ⅰ)因X与Y独立，所以有(Ⅱ)知识点解析：依题意，随机变量X与Y的可能取值分别为x1，x2与y1，y2，且又题设于是有P{X=x1｜Y=y1}=P{X=x1}，即事件{X=x1}与事件{Y=y1}相互独立，因而{X=x1}的对立事件{X=x2}与{Y=y1}独立，且{X=x1}与{Y=y1}的对立事件{Y=y2}独立；{X=x2}与{Y=y2}独立，即X与Y相互独立．23、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为是未知参数．(I)求λ的矩估计量；(Ⅱ)求λ的最大似然估计量，并求．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)＝，则f(x)的可去间断点的个数为()．A、1B、2C、3D、0标准答案：C知识点解析：先找出f(x)的间断点，再用可去间断点的下述定义判别其个数．若f(x0＋0)＝f(x0－0)即f(x)在x＝x0处极限存在，但其极限值不等于在该点的函数值，则该点为可去间断点．显然，x＝0，1，一1为．f(x)的间断点．因即f(x)在x＝0，一1，1处的极限均存在，且f(x)在这些点处又无定义，故x＝0，一1，1均为f(x)的可去间断点．仅(C)入选．2、设f(x)在x＝0处3阶可导，且f′(0)＝0，f″(0)＝0，＞0，则()．A、x＝0是f(x)的极小值点B、x＝0是f(x)的极大值点--C、在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y＝f(x)分别为凹与凸D、在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y＝f(x)分别为凸与凹标准答案：D知识点解析：利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之．解一由泰勒公式及题设得到f(x)＝f(0)＋f′(0)＋(0)x3＋o(x3)，f(x)－f(0)＝(0)x3z＋o(x3)．故当｜x｜充分小且x＜0时，f(x)一f(0)＜0；当x＞0时，f(x)一f(0)＞0．因而f(0)不是极值，排除(A)、(B)．又将f″(x)按皮亚诺余项展开，有f″(x)＝f″(0)＋(0)x＋o(x)．当｜x｜充分小且x＜0时，f″(x)＜0(因(0)＞0)，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域为凸．当x＞0时，因(0)＞0，故f″(x)＞0，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的右侧邻域为凹仅(D)入选．解二利用可得到上述结论．事实上，由x＜0得到在点(0，f(0))的左侧邻域f″(x)＜0，曲线y＝f(x)为凸；当x＞0时，f″(x)＞0，故在点(0，f(0))的右侧邻域为凹．3、函数f(x)＝｜x3＋x2－2x｜arctanx的不可导点的个数是()．A、3B、2C、1D、0标准答案：C知识点解析：利用下述判别法判别．设f(x)＝｜x－a｜φ(x)，其中φ(x)在x＝a处连续．若φ(a)＝0，则f(x)在x＝a处可导且f′(a)＝φ(a)＝0；若φ(a)≠0，则f(x)在x＝a处不可导．为此，常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因式｜x—a｜的乘积．因f(x)可分解成f(x)＝｜x(x2＋x一2)｜arctanx＝｜x(x＋2)(x一1)｜arctanx＝｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx．显然arctanx在x＝0，一2，1处连续．因｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x｜φ1(x)，其中φ1(x)｜x＝0＝｜x＋2｜｜x－1｜arctanx｜x＝0＝0，故f(x)在x＝0处可导．又｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x－1｜(｜x｜｜x＋2｜arctanx)＝｜x－1｜φ2(x)，而当x＝1时，φ2(x)｜x＝1＝｜x｜｜x＋2｜arctanx｜x＝1≠0，故f(x)在x＝1处不可导．又｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x＋2｜(｜x｜｜x－1｜arctanx)＝｜x＋2｜φ3(x)，φ3(x)｜x＝－2＝｜x｜｜x－1｜arctanx｜x＝－2≠0，故f(x)在x＝一2处不可导．仅(C)入选．4、设I＝xydxdy，其中D由曲线y＝，y＝－x和y＝所围成，则I的值为()．A、1／6B、1／12C、1／24D、1／48标准答案：D知识点解析：D的示意图如下图所示，需分段求出I．将区域D分为两部分，在第一象限的部分记为D1，在第二象限的部分记为D2(见上图)．求出y＝一x与y＝的交点为()．xydxdy仅(D)入选．5、设α为四维列向量，αT为α的转置，若则αTα＝()．A、3B、6C、9D、4标准答案：D知识点解析：由所给的矩阵等式观察出α的元素，从而易求出αT．因则α＝[1，一1，1，1]T，αT＝[1，一1，1，1]，故αTα＝[1，一1，1，1][1，一1，1，1]T＝1.1＋(－1)(－1)＋1.1＋1.1＝4．仅(D)入选．6、设向量组α1，α2，α3，β1线性相关，向量组α1，α2，α3，β2线性无关，则对于任意常数k，必有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关标准答案：A知识点解析：可用线性无关的定义证明．由于k为任意常数，令k取某些特殊值也可用排错法判别．解一对于任意常数k，证明(A)成立．设l1α1＋l2α2＋l3α3＋l4(kβ1＋β2)＝0下证l4＝0．若l4≠0，则kβ1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，由题设知β1能由α1，α2，α3线性表示，因而β2能由α1，α2，α3线性表示．这与α1，α2，α3，β2线性无关相矛盾，所以l4＝0，则上述等式可化为l1α1＋l2α2＋l3α3＝0．而α1，α2，α3线性无关，故l1＝0，l2＝0，l3＝0，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．故(A)正确．解二当k＝0时，显然(B)、(C)不成立．当k＝1时，(D)不成立．事实上，由题设α1，α2，α3，β2线性无关，如果α1，α2，α3，β1＋β2线性相关，而α1，α2，α3线性无关，β1，α1，α2，α3线性相关，则β1能由α1，α2，α3线性表示，而β2不能，于是β1＋β2不能由α1，α2，α3线性表示，所以(D)不成立．仅(A)入选．7、设随机变量X1和X2相互独立同分布(方差大于零)，令X＝X1＋aX2，Y＝X1＋bX1(a，b均不为零)．如果X与Y不相关，则()．A、a与b可以是任意实数B、a和b一定相等C、a和b互为负倒数D、a和b互为倒数标准答案：C知识点解析：利用X和Y不相关的充要条件判别之．X与Y不相关的充分必要条件是pXY＝0，即cov(X，Y)＝0．cov(X，Y)＝cov(X1＋aX2，X1＋bX2)＝D(X1)＋(a＋b)cov(X1，X2)＋abD(X2)．由于X1与X2独立同分布，有cov(X1，X2)＝0，且D(X1)＝D(X2)．于是cov(X，Y)＝0(1＋ab)D(X1)＝01＋ab＝0ab＝一1，因而a与b互为负倒数．仅(C)入选．8、设随机变量xi～(i＝1,2)，且p(X1X2＝0)＝1，,则P(X1＝X2)等于()．A、0B、1／4C、1／2D、1标准答案：A知识点解析：利用边缘分布与联合分布的关系及题设P(X1X2＝0)＝1求之．由题设有P(X1X2≠0)＝1一P(X1X2＝0)＝1—1＝0．设X1的取值为x1，x2，x3，X2的取值为y1，y2，y3，则由X1的边缘分布得到p11＋p12＋p13＝0＋p12＋0＝p(X1＝－1)＝p31＋p32＋p33＝0＋p32＋0＝p(X1＝1)＝又由X2的边缘分布得到p11＋p21＋p31＝0＋p21＋0＝p(X2＝－1)＝p13＋p23＋p33＝0＋p23＋0＝p(X2＝1)＝由X2的边缘分布得到p12＋p22＋p32＝1／4＋p22＋1／4＝p(X2＝0)＝1／2，则p22＝0故所以P(x1＝y1)＝0，P(x2＝y2)＝0，P(x3＝y3)＝0，即P(X1＝X2)＝0．仅(A)入选．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、若f(x)＝φ(x)＝则f[φ(x)]＝__________．标准答案：知识点解析：两分段函数的分段点相同，且仅有一个分段点．常用分段代入法求其复合函数，且常将内层函数的表达式代入，然后将外层函数的表达式代入，常简称“先内后外法”．当0＜x＜1时，1＜φ(x)＝2x＜2，故f[φ(x)]＝f(2x)＝ln2x＝xln2．当x＝1时，φ(x)＝1，f[φ(x)]＝1．当1＜x＜2时，0＜φ(x)＝x一1＜1，则f[φ(x)]＝f(x－1)＝1－(x－1)＝2－x．综上，可得10、设a，b是某两个常数，且e－t2dt＋a]＝b，则a，b分别等于__________．标准答案：，0知识点解析：由所给极限与ex＝＋∞，得到e－t2dt＋a]＝0．事实上，如e－t2dt＋a的极限不等于0，那么所给极限必不等于常数，与题设e－t2dt＋a]＝b(b为常数)矛盾．由即可求得a的值，再用洛比达法则还可求得b．利用二重积分可算出此结果：下同解一．11、设＝___________．标准答案：10ln3知识点解析：由所给极限及(3x一1)＝0得到从而ln(1＋(x→0)．故12、求极限＝___________．标准答案：知识点解析：利用定积分定义求之，为此先将其化为积和式．解一解二13、已知二次型f(x1，x2，x3)＝＋2ax1x2＋2bx2x3＋2x1x3经正交变换化为标准形f(x1，x2，x3)＝，则a，b取值为__________．标准答案：0知识点解析：由标准形即知二次型矩阵A的特征值，将其代入特征多项式可得a，b满足的两个方程，解之即得a，b．对应二次型矩阵A＝，其特征值为0，1，2，将λ＝0，1代入特征方程｜λE－A｜＝0，得｜0.E－A｜＝一(a－b)2＝0，及｜E－A｜＝一2ab＝0，解得a＝b＝0．14、设A，B，C是三个随机事件，，P(A∪B)＝0．72，P(AC∪BC)＝0．32，则P(C)＝__________．标准答案：0．6知识点解析：利用和事件概率的计算公式求之．因未给出P(AC)与P(BC)，仅给出P(AC∪BC)，需将三事件之和A∪B∪C看成两事件A∪B与C之和，利用两事件之和的概率公式计算．因为，所以A∪B∪C＝Ω，P(A∪B∪C)＝1．又P(A∪B∪C)＝P[(A∪B)∪C]＝P(A∪B)＋P(C)一P((A∪B)C)，故P(C)＝P(A∪B∪C)一P(A∪B)＋P(AC∪BC)＝1—0．72＋0．32＝0．6．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、讨论函数y＝的渐近线、升降区间、极值、凹凸性，并画出它的大致图形．标准答案：(1)因y＝∞，故直线x＝1是函数的铅直渐近线．又故直线y＝x＋1是斜渐近线．(2)由得其驻点为x1＝3，x2＝一1．虽然在x＝1处附近一阶、二阶导数存在，且二阶导数变号，但f(x)在x＝1处没有定义，因而不连续，故y没有拐点．以y的不连续点x＝1，驻点x＝一1及x＝3将其定义区间分为部分区间，函数在这些部分区间的变化列成下表：当x＝一1时，y＝x＋1＝0，而y＝＝一2，且x＝0时，y＝x＋1＝1，y＝＝一3．因此在((－∞，1)内函数图形在渐近线y＝x＋1的下面．又当x＝3时，y＝x＋1＝4，而因而在(1，＋∞)内渐近线在函数图形的下面．因此描绘函数y的大致图形如下图所示．知识点解析：确定函数的定义域、曲线的渐近线，然后利用导数讨论函数的单调性和极值、凹向与拐点，由曲线的方程求出曲线与坐标轴交点的坐标，最后画出函数的图形．16、如图由y＝0，x＝8，y＝x2围成一曲边三角形OAB，在曲边上求一点，使得过此点所作y＝x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大．标准答案：设切点为(x，y)．过曲线上点(x，y)的切线方程为Y－y＝y′(X－x)．将y＝x2，y′＝2x代入得Y＝y—x2＝2x(X—x)．此切线与X＝8及Y＝0的交点的纵坐标与横坐标分别为Y＝2x(8一x)＋x2，X＝，则切线与OA，AB所围成的三角形面积为S(x)＝[2x(8一x)＋x2]．令S′(x)＝及x＝16(舍去)．易验证，当x＝＜0，因而S(x)取最大值，则所求的点为()．知识点解析：设切点(x，y)，求出切线方程Y—x2＝y′(X—x)，求出切线与直线X＝8及与Y＝0(横轴)的交点．写出用x，y表示的面积表达式，最后求出x，y为何值时此面积最大．17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，其中0＜a＜b，试证至少存在一点ξ∈(a，b)，使得alnb－blna＝(ab2－ba2)．标准答案：等式可改写成作辅助函数f(x)＝，则f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得亦即alnb－blna＝(ab2一ba2)．知识点解析：待证的中值等式中含有af(b)一bf(a)这样的项，为找出辅助函数，常先用ab去除等式两端，从而找出两函数值的差．该函数就是要找的辅助函数．本例用ab去除等式两端即得于是辅助函数F(x)＝就出现了．18、试求心形线x＝acos3θ，y＝asin3θ(0≤θ≤)与两坐标轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：解一解二选x为积分变量．dV＝y.2πxdx＝2πyxdx，知识点解析：求坐标轴上的曲边梯形绕坐标轴旋转生成的旋转体体积，一般有两种计算方法，计算公式为Vy＝πx2dy，或Vy＝2πxydx．19、设f(x，y)连续，且f(x，y)＝ex2＋y2＋xyf(x，y)dxdy，①其中D＝｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)．求标准答案：设f(x，y)dxdy＝A(常数)．在等式①两端乘以xy，然后在区域D上二重积分得到于是A＝(e一1)2，从而f(x，y)＝ex2＋y2＋(e一1)2xy，因此＝2xex2＋y2＋(e一1)2y，＝4xyex2＋y2＋(e一1)2．知识点解析：因D为一固定区域，故xyf(x，y)dxdy为一常数，利用这一点可先求出f(x，y)的表示式，再求偏导．20、设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明：(1)E－A和(E＋A)－1相乘可交换；(2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)－1是正交矩阵．标准答案：(1)因(E－A)(E＋A)＝E－A2＝(E＋A)(E－A)，两边分别左乘、右乘(E＋A)－1得到(E＋A)－1(E－A)(E＋A)(E＋A)－1＝(E＋A)－1(E＋A)(E－A)(E＋A)－1，故(E＋A)－1(E—A)＝(E－A)(E＋A)－1，即E－A与(E＋A)－1相乘可交换．(2)为证(E－A)(E＋A)－1为正交矩阵，只需证[(E—A)(E＋A)－1]T＝[(E—A)(E＋A)－1]－1．事实上，由(1)的结果得到[(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E＋A)－1(E－A)]T＝(E－A)T[(E＋A)－1]T＝(E—AT)[(E＋A)T]－1＝(E－AT)(E＋AT)－1＝(E＋A)(E—A)－1(A为反对称矩阵，AT＝－A)，而[(E—A)(E＋A)－1]－1＝[(E＋A)－1]－1(E—A)－1＝(E＋A)(E－A)－1，故[(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E－A)(E＋A)－1]－1，所以(E—A)(E＋A)－1为正交矩阵．知识点解析：(1)利用(E－A)(E＋A)＝(E＋A)(E－A)及矩阵乘法运算证之；(2)利用正交矩阵的定义(AAT＝E，即A－1＝AT)证之．21、已知α＝[1，1，1]T是二次型＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3矩阵的特征向量．判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解：标准答案：二次型矩阵是设α是属于特征值λ0的特征向量，即A1α＝λ0α，或由此可得易解出λ0＝3，b＝0，a＝2．对于，由于｜A1｜＝0，所以f不是正定二次型．将a＝2，b＝0代入方程组，对系数矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵：当c＝6时，对B进一步用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到则A2X＝0的一个基础解系含2个解向量：α1＝[一9，19，一7，1，0]T，α2＝[2，一7，2，0，1]T，其通解为X＝k1α1＋k2α2，k1，k2为任意常数．当c≠6即c－6≠0时，矩阵B用初等行变换进一步可化为含最高阶单位矩阵的矩阵：这时方程组A2X＝0的基础解系只含一个解向量：[一(3c一10)／14，一(23－2c)／7，0，一(c一8)／7，7]T．为方便计，取α3＝[一(3c一10)／2，一(23—2c)，0，一(c一8)，49]T＝[5—3c／2，2c一23，0，(8一c)，49]T．故当c≠6时，方程组A2X＝0的通解为k3α3，其中k3为任意常数．知识点解析：写出二次型矩阵A，由题设条件列出方程易求得a、b和α的特征值λ0．然后再将所给齐次方程组的系数矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，用基础解系的简便求法即可写出其基础解系及通解．22、证明P[A∩∩B)]＝P(A)＋P(B)一2P(A∩B)，并说明此结果的概率含义．标准答案：由上边的维尼图易看出，下面事件的关系成立：(A∩∩B)＝A∪B—A∩B．又因A∩BBA∪B，由减法公式得到P(A∪B—A∩B)＝P(A∪B)一P(A∩B)，故P[(A∩∩B)]＝p[(A∪B)一(A∩B)]＝P(A∪B)一P(A∩B)＝P(A)＋P(B)一P(A∩B)一P(A∩B)＝P(A)＋P(B)一2P(A∩B)．上式结果的概率含义是：事件A，B中仅有一个发生的概率等于它们每个的概率之和减去它们相交的概率的两倍．知识点解析：利用事件和、差、积的运算法则证之．23、假设总体X是连续型随机变量，其概率密度X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，统计量Yn＝n[1一max｛X1，X2，…，Xn｝]的分布函数为Fn(x)．求证Fn(x)＝F(x)(一∞＜x＜＋∞)，其中F(x)是参数为2的指数分布函数．标准答案：由题设知，总体X的分布函数为所以Yn的分布函数Fn(x)＝P(Yn≤x)＝P(n[1－max｛X1，X2，…，Xn｝]≤x)故即Yn的分布函数Fn(x)的极限分布是以参数为2的指数分布函数．知识点解析：首先要明确简单随机样本是一组相互独立且与总体同分布的随机变量，其次要会求max｛X1，X2，…，Xn｝的分布函数，最后还要熟悉极限公式：＝[e－x－(－0)]2＝e－2x．考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下述命题：①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界；③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数；④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的有界函数，其中正确的个数为()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：B知识点解析：①与③是正确的，②与④是不正确的，正确的个数为2．①是正确的．理由如下：设x0∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中．由题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x0处连续，所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的．在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续．②是不正确的．函数f(x)在[a，b]上有界的“界”是与区间有关的．例如f(x)=x在区间[a，b]上，｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜b｜}M，这个“界”与区间[a，b]有关．容易看出，在区间(一∞，+∞)上，f(x)=x就无界了．③是正确的．理由如下：设x0∈(一∞，+∞)，f(x0)＞0且f(x)在x0处连续，由连续函数的四则运算法则知，在(一∞，+∞)上连续．④是不正确的．例如函数f(x)=，在区间(一∞，+∞)上，0＜f(x)≤1．所以在(一∞，+∞)上f(x)有界。而=+∞．2、设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设则φ(x)在区间(一∞，+∞)上()A、严格单调减少．B、严格单调增加．C、存在极大值点．D、存在极小值点．标准答案：B知识点解析：令上式分子为(x)=(x一a)f(x)一If(t)dt=(x—a)f(x)一(x一a)f(ξ)=(x一a)[f(x)一f(ξ)]，其中，当a＜x时，a＜ξ＜x，从而f(ξ)＜f(x)；当a＞x时，a＞ξ＞x，从而f(ξ)＞f(x)．所以不论a＜x还是a＞x，总有(x)＞0．因此当x≠a时，φ’(x)＞0．故可知在区间(一∞，a)与(a，+∞)上φ(x)均严格单调增加．以下证明在区间(一∞，+∞)上φ(x)也是严格单调增加．事实上，设x∈(a，+∞)，则φ(x2)一φ(a)=一f(a)=f(ξ2)一f(a)＞0，其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在开区间(a，x2)内．同理，设x1∈(一∞，a)，则有φ(a)一φ(x1)=f(a)一f(ξ2)＞0，其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上两个不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．3、下列反常积分发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：两个积分中只要有一个发散，就说该积分发散．故应选(A)．4、设f(x，y)=，则在点0(0，0)处()A、偏导数存在，但函数不连续．B、偏导数不存在，但函数连续．C、偏导数存在，函数也连续．D、偏导数不存在，函数也不连续．标准答案：A知识点解析：由偏导数定义，得即两个偏导数都存在．考虑连续性，取y=kx2让点(x，y)→(0，0)．则更谈不上连续性．故应选(A)．5、设齐次线性方程组Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2=k1(1，2，0，一2)T+k2(4，一1，一1，一1)T，其中k1，k2是任意常数，则下列向量中不是Ax=0的解向量的是()A、α1=(1，2，0，一2)T．B、α2=(6，1，一2，一2)T．C、α3=(一5，8，2，一4)T．D、α4=(5，1，一1，一3)T．标准答案：B知识点解析：若αi可由ξ1，ξ2线性表示，则是Ax=0的解，不能由ξ1，ξ2线性表示，则不是Ax=0的解．将ξ1，ξ2，α1，α2，α3，α4合并成矩阵，并一起作初等行变换．故知，α2不能由ξ1，ξ2线性表示，不是Ax=0的解向量(α1，α3，α4是解向量)，故应选(B)．6、设A，B，C均是3阶方阵，满足AB=C，其中则必有()A、a=一1时，r(A)=1．B、a=一1时，r(A)=2．C、a≠一1时，r(A)一1．D、a≠一1时，r(A)=2．标准答案：C知识点解析：显然r(C)=1，又当a≠一1时，有r(B)=3，B可逆，因AB=C，故r(A)=r(AB)=r(C)=1．故应选(C)．因(C)成立，显然(D)不能成立．故(A)、(B)均不成立．7、将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则()A、n=2时，A与B相互独立．B、n=2时，AB．C、n=2时，A与B互不相容．D、n=3时，A与B相互独立．标准答案：D知识点解析：当n=2时，由P(AB)≠P(A)P(B)知A与B不独立．又P(A)＞P(B)，故AB，则P(A)≤P(B)，矛盾)．当n=3时，由上知P(AB)=P(A)P(B)，因此A与B相互独立．故应选(D)．8、设随机变量X1，…，Xn(n＞1)独立同分布，其方差σ2＞0，记(1≤s，t≤n)的值等于()A、．B、．C、σ2．max{s，t)．D、σ2．min{s，t)．标准答案：A知识点解析：因为3=max{2，3)，所以应选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、直角坐标中的累次积分I=化为极坐标先r后θ次序的累次积分I=_________．标准答案：知识点解析：按题目上、下限，积分区域D如图阴影所示，对y的上限方程为y=，化为极坐标为r=2acosθ对y的下限方程为y=2a一，化为极坐标为r=4asinθOA的倾角记为θ0，tanθ0=．于是，由极坐标，直线段OA将D分成两块，在极坐标系中，积分如答案所示．10、设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt，则f(x)=_________．标准答案：知识点解析：f(x)=∫0xf(x一t)dt+∫01f2(t)dt=一∫x0f(u)du+∫0xf(t)dt=∫0xd(u)du+∫01f(t)dt．令∫01f2(t)dt=a，于是f(x)=∫0xf(u)du+a，f’(x)=f(x)，f(0)=a，解得f(x)=cex．由f(0)=a，得f(x)=aex，代入∫01f2(t)dt=a中，得11、设常数a＞0，双纽线(x2+y2)2=a2(x2—y2)围成的平面区域记为D，则二重积分(x2+y2)dσ=_________．标准答案：a4