考研数学（数学二）模拟试卷7（共187题）

考研数学（数学二）模拟试卷7（共8套）（共187题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、A、1．B、．C、．D、一1．标准答案：B知识点解析：这是一个型未定式，使用洛必达法则，有故选B．2、设f(x)是(—∞，+∞)上的连续奇函数，且满足｜f(x)｜≤M，其中常数M＞0，则函数F(x)=是(—∞，+∞)上的A、有界奇函数．B、有界偶函数．C、无界偶函数．D、无界奇函数．标准答案：A知识点解析：首先，由于被积函数是(一∞，+∞)上的偶函数，故F(x)是(一∞，+∞)上的奇函数．其次，对任何x≥0，有利用F(x)的对称性，当x≤0时上面的不等式也成立．从而，函数F(x)还是(一∞，+∞)上的有界函数．故应选A．3、设f(x)是以3为周期的可导函数，且f’(—1)=1，则I==A、—4．B、4．C、．D、．标准答案：C知识点解析：注意f’(x)也以3为周期，f’(一1)=f’(2)，利用导数可求得极限故应选C．4、已知函数f(x)在区间[0，2]上可积，且满足f(x)=6x2—2x∫02f(x)dx+3∫01f(x)dx，则函数f(x)的解析式是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由题设可令∫02f(x)dx=A，∫0af(x)dx=B，代入即知f(x)满足关系式f(x)=6x2—2Ax+3B，于是又有A=∫02f(x)dx=∫02(6x2—2Ax+3B)dx=16—4A+6B，B=∫01f(x)dx=∫01(6x2—2Ax+3B)dx=2一A+3B．从而A，B满足方程组解之可得A=5，B=．从而函数f(x)的解析式是f(x)=6x2—10x+．故应选B．5、设f(x)=+a(a为常数)，则A、当a＜—3或a＞0时，f(x)不可能无零点．B、当a=0时，f(x)不可能仅有一个零点．C、当a=一3时，f(x)不可能仅有一个零点．D、当—3＜a＜0时，f(x)不可能仅有两个零点．标准答案：A知识点解析：f(x)=+a有零点等价于曲线y=一与直线y=a有交点现列表格标出y’的正负号区间，相应地得到g(x)的单调性区间：所以g(x)在(一∞，一3)和(3，+∞)内单调增加，在(一3，3)内单调减少，y=g(x)在每个单调性区间上与直线y=a是否相交取决于a值是否介于单调性区间端点的函数值或极限值之间．故还要算出：=0．g(3)=一3．并且g(x)取最小值g(3)．综上计算结果结合y=g(x)的图形(如右图所示)，可得①当a＞0时，f(x)有两个零点；②当a=0时，f(x)只有一个零点x=0；③当一3＜a＜0时，f(x)仅有两个零点；④当a=—3时，f(x)只有一个零点x=3；⑤当a＜一3时，f(x)没有零点．应选A．6、微分方程y"—4y’=2cos22x的特解可设为_________.A、Ax+B1cos4x+B2sin4x．B、A+B1cos4x+B2sin4x．C、B1cos22x+B2sin22x．D、B1cos4x+B2sin4x．标准答案：A知识点解析：方程右端的非齐次项f(x)=2cos22x=1+cos4x，相应齐次方程的特征方程是λ2—4λ=0．特征根λ1=0，λ2=4．利用解的叠加原理：相应于非齐次项f1(x)=1，有形式为y1*(x)=Ax(λ1=0为单特征根)的特解，A为待定常数；相应于非齐次项f2(x)=cos4x，有形式为y2*(x)=B1cos4x+B2sin4x的特解，B1，B2为待定常数．因此，原方程的特解可设为Ax+B1cos4x+B2sin4x．应选A．7、设A=，B是2阶矩阵，且满足AB=B，k1，k2是任意常数，则B=________。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由AB=B有(A—E)B=0，因而B的列向量是齐次方程组(A—E)x=0的解．又那么齐次方程组(A一e)x=0的基础解系是(一1，1)T，所以应选D．8、已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是A、如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．B、如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关．C、如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出．D、如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．标准答案：B知识点解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正确．应选B．关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α1，α2，α3线性表出．关于(C)：由已知条件，有(Ⅰ)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．若r(α2，α3)=1，则必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(Ⅰ)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4线性表出．关于(D)：经初等变换有(α1，α1+α2，α2+α3)_(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，从而r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．因而α4可以由α1，α2，α3线性表出．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知是f(x)当x≥1时的一个原函数，则∫1ex2f’(x)dx=_________．标准答案：一2．知识点解析：由题设知10、设函数f(x)在点x=1的某邻域内有定义，且满足3x≤f(x)≤x2+x+1，则曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为________．标准答案：y=3x．知识点解析：为求y=f(x)在x=1处的切线方程，先求f(1)与f’(1)．在3x≤f(x)≤x2+x+1中取x=1，可得f(1)=3．由此可知f’(1)=3，所以曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为y=f(1)+f’(1)(x一1)=3+3(x一1)，即y=3x．11、曲线y=xe—x(0≤x＜+∞)绕x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积=_________。标准答案：知识点解析：所求体积为12、已知当x＞0时函数f(x)一sin(sinx)与x4是等价无穷小量，则f(x)的带皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式是f(x)=_________．标准答案：知识点解析：由题设知当x→0时f(x)一sin(sinx)=x4+o(x4)．下求sin(sinx)的四阶麦克劳林公式．而sin3x=[x+o(x2)]3=x3+3x2.o(x2)+3x.o(x4)+o(x6)=x3+0(x4)，13、=__________。标准答案：知识点解析：14、与矩阵A=可以交换的矩阵是_________．标准答案：，其中t，u是任意实数．知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)设f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)≠0，且，求证：存在常数C，使得f(x)=Cg(x)(∈(a，b))；(Ⅱ)设f(x)在(—∞，+∞)二阶可导，且f(x)≤0，f"(x)≥0(x∈(—∞，+∞))．求证：f(x)为常数(x∈(—∞，+∞))．标准答案：(Ⅰ)即证f(x)／g(x)在(a，b)为常数．由知识点解析：暂无解析16、设f(x)满足∫0xf(t一x)dt=—+e—x—1(x∈(—∞，+∞))．(Ⅰ)讨论f(x)在(—∞，+∞)是否存在最大值或最小值，若存在则求出；(Ⅱ)求y=f(x)的渐近线方程．标准答案：(Ⅰ)先求出f(x)的表达式．上式中令x=0，等式显然成立．又两边求导得f(—x)=一x一e—x．因此，f(x)=x—ex，x∈(一∞，+∞)．下面讨论八z)的最值问题．由→f(0)=一1是f(x)在(一∞，+∞)的最大值．f(x)在(一∞，+∞)无最小值．→x→∞时有渐近线y=x．又f(x)无间断点，且→y=f(x)无其他渐近线．知识点解析：暂无解析17、一质量为M、长为l的均匀杆AB吸引着一质量为m的质点C，此质点C位于杆AB的中垂线上，且与AB的距离为a．试求：(Ⅰ)杆AB与质点C的相互吸引力；(Ⅱ)当质点C在杆A8的中垂线上从点C沿y轴移向无穷远处时，克服引力所做的功．标准答案：(Ⅰ)假定杆AB与质点C的位置如图所示，根据对称性，引力F是沿y轴负方向的。由于杆AB的线密度为M／l，于是，位于[x，x+dx]上微元的质量即为，它与质点C的引力在y轴方向的分力为知识点解析：暂无解析18、已知y*(x)=xe—x+e—2x，y*(x)=xe—x+xe—2x，y*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y"+py’+qy=f(x)的三个特解．(Ⅰ)求这个方程和它的通解；(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y’(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx.标准答案：(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理→y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e—2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe—2x均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根A=一2相应的特征方程为(A+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．原方程为y"+4y’+4y=f(x)．①由于y’(x)=xe—x是它的特解，求导得y*’(x)=e—x(1一x)，y*’(x)=e—x(x一2)．代入方程①得e—x(x一2)+4e—x(1一x)+4xe—x=f(x)→f(x)=(x+2)e—x→原方程为y"+4y’+4y=(x+2)e—x，其通解为y=C1e—2x+C2xe—2x+xe—x，其中C1，C2为常数．不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得知识点解析：暂无解析19、(Ⅰ)求累次积分．(Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫01f(y)f(y一x)dy，求I=∫01f(x)dx。标准答案：(Ⅰ)将J表成知识点解析：暂无解析20、设u=f(2x+3y，z)，其中f具有二阶连续偏导数，而z=z(x，y)是由方程z+lnz—=1确定并满足z(0，0)=1的函数，求．结果用f’i(0，1)，f"ij(0，1)表示(i，j=1，2)．标准答案：u与x，y的变量依赖关系如图，其中z与x，y的函数关系由以下方程确定：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f’(x)＞0．(Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求．标准答案：(Ⅰ)令φ(x)=f(b)(x一a)+f(a)(b一x)一∫abf(x)dx(0≤x≤b)，即证φ(x)在(a，b)零点．因f(x)在[a，b]→f(a)＜f(x)＜f(b)(x∈(a，b))→f(a)(b一a)＜∫abf(x)dx＜f(b)(b一a)φ(a)=f(a)(b一a)一∫abf(x)dx＜0，φ(b)=f(b)(b一a)一∫abf(x)dx＞0，故由闭区间上连续函数的性质知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)=0，即∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b一ξ)．Ⅱ由上式知∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)[(b一a)一(ξ一a)]，从而知识点解析：暂无解析22、已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，—1，—3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．(Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件；(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；(Ⅲ)把向量β分别用α1，α2，α3，α4和它的极大线性无关组线性表出．标准答案：(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4线性表出，即方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．对增广矩阵作初等行变换，有①所以向量β可以由α1，α2，α3，α4线性表出的充分必要条件是：α1—α2+α3—α4=0．(Ⅱ)向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组是：α1，α2，α3，而α4=一6α1+6α2—3α3．②(Ⅲ)方程组①的通解是：x1=a1一a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=a3—3t，x4=t，其中t为任意常数，所以β=(α1一a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3—3t)α3+ta4，其中t为任意常数．由②把α4代入，得β=((a1一a2+2a3)α1+(a2—2a3)α2+a3α3．知识点解析：暂无解析23、已知矩阵，试判断矩阵A和B是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P—1AP=B，若不相似则说明理由。标准答案：由矩阵A的特征多项式得到矩阵A的特征值是λ1=3，λ2=λ3=一1．由矩阵B的特征多项式=(λ一3)(λ+1)2，得到矩阵B的特征值也是λ1=3，λ2=λ3=一1．当λ=一1时，由秩知(一E—A)x=0有2个线性无关的解，即λ=一1时矩阵A有2个线性无关的特征向量，矩阵A可以相似对角化．而(一E一B)x=0只有1个线性无关的解，即λ=一1时矩阵B只有1个线性无关的特征向量，矩阵B不能相似对角化．因此矩阵A和B不相似．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能南α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D、α1，α2，α3，kβ1+kβ2线性相关．标准答案：A知识点解析：暂无解析2、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：5、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：6、设函数f(x)连续，则下列函数中，必为奇函数的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题设，逐一分析4个选项，由于f(x)的奇偶性未给定，所以(A)、(B)的奇偶性不确定．设则因此f3(x)为奇函数．设f4(x)=则因此f4(x)为偶函数，综上，选(C)．7、A、a＝1，b＝0B、a＝0，b＝－2C、a＝0，b＝1D、a＝1，b＝－2标准答案：A知识点解析：暂无解析8、_______.A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：π知识点解析：11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：1知识点解析：14、已知y1＝e3x－xe2x，y2＝ex－xe2x，y3＝－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝1的解为y＝________．标准答案：应填e3x－ex－xe2x．知识点解析：[详解]由已知条件有y1—y3＝e3x，y2－y3＝ex，显然y1－y3，y2－y3线性无关，所以该二阶常系数非齐次线性微分方程方程的通解为y＝C1e3x＋C2ex－xe2x，C1，C2为任意常数．由y｜x＝0＝O，有C1＋C2＝0，由y’｜x＝0＝1，有3C1＋C2—1＝1，解得C1＝1，C1＝－1，故该方程满足条件y｜x＝00，y’x＝0＝1的解为y＝e3x－ex－xe2x．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、标准答案：此题用分块积分法，如图所示知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、设(2E—C－1B)AT＝C－1，其中E是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A的转置矩阵，，求A．标准答案：由题设得C(2E—C－1B)AT＝E，即(2C—B)AT＝E．由于2C—B＝，｜2C—B｜＝1≠0，故2C—B可逆．于是A＝E(2C－B)－1]T＝[(2c－B)T]－1知识点解析：将已知矩阵化简，再利用逆矩阵的性质求A．22、求下列函数的偏导数：(1)z＝xy×yx；(2)z＝(x2＋y2)tan(xy)．标准答案：本例中的自变量x和y在表达式中呈对称性．(1)对x求偏导数时，视式中之y为常量．知识点解析：暂无解析设X～b(25，p1)，Y～b(25—X，p2)，求：23、已知X=k(k=0，1，2，…，25)时，Y的条件分布；标准答案：知识点解析：暂无解析24、(X，Y)的分布；标准答案：知识点解析：暂无解析25、E[Y|X]，E[Y2|X]；标准答案：知识点解析：暂无解析26、EY，DY.标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设，g(x)=∫01-cosxtant2dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的()A、高阶无穷小。B、低阶无穷小。C、同阶而非等价无穷小。D、等价无穷小。标准答案：B知识点解析：由洛必达法则和等价无穷小替换得其中，x→0时，ln(1+sin2x2)～x4，tan(1-cosx)2～(1-cosx)2～(x2)2，故选B。2、设f’(x0)=0，f”(x0)＞0，则必存在一个正数δ，使得()A、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)上是凹的。B、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0+δ上是凸的。C、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调减少，而在[x0，x0+δ)上单调增加。D、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调增加，而在[x0，x0+δ上单调减少。标准答案：C知识点解析：已知由极限的不等式性质可知，存在δ＞0，当x∈(x0-δ，x0+δ)且x≠x0时，。因此，当x∈(x0-δ，x0)时,f’(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时,f’(x)＞0。又f(x)在x=x0连续，所以f(x)在(x0-δ，x0]上单调减少，在[x0，x0+δ)上单调增加，故选C。3、设u(x，y)在点M0(x0，y0)处取极大值，并且均存在，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令f(x)=u(x，y0)，由已知x=x0是f(x)的极大值点，故有同理，令g(y)=u(x0，y)，且y=y0是g(y)的极大值点，故有故选C。4、以下四个命题，正确的个数为()①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0。②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=。③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，则∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散。④若∫-∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫-∞+∞f(x)dx未必发散。A、1个。B、2个。C、3个。D、4个。标准答案：A知识点解析：∫-∞+∞f(x)dx收敛存在常数a，使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛，此时∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx。设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且。但是∫-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=-∞，∫0+∞f(x)dx=∫-∞+∞xdx=+∞，故∫-∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题。设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，但∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故选A。5、设y1=ex/2+e-x+ex，y2=2e-x+ex，y3=ex/2+ex是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是()A、y=C1ex/2+C2e-x+2ex/2+e-x+ex。B、y=C1ex/2+C2e-x+2ex/2+e-x。C、y=C1e-x+C2ex+3ex/2。D、y=C1ex/2+C2e-x+2ex。标准答案：A知识点解析：由解的结构定理，知y1-y3=e-x是对应的齐次方程的解。y1-y2=ex/2-e-x也是对应的齐次方程的解，从而y=ex/2是齐次方程的解，且ex/2与e-x线性无关，即对应的齐次方程的通解为y=C1ex/2+C2e-x。比较四个选项，只有A选项符合非齐次线性微分方程的解的结构，故选A。6、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()A、充分必要条件。B、充分条件但非必要条件。C、必要条件但非充分条件。D、既非充分又非必要条件。标准答案：A知识点解析：充分性：因为f(0)=0，所以即F(x)在x=0处可导。必要性：设F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0处可导。因f(x)可导，所以f(x)｜sinx｜在x=0处可导，由此可知即f(0)=-f(0)，所以f(0)=0。故选A。7、设A，B，C是n阶矩阵，并满足ABAC=E，则下列结论中不正确的是()A、ATBTATCT=E。B、BAC=CAB。C、BA2C=E。D、ACAB=CABA。标准答案：C知识点解析：由ABAC=E知矩阵A，B，C均可逆，那么由ABAC=EABA=C-1CABA=E。从而(CABA)T=ET，即ATBTATCT=E，故选项A正确。由ABAC=E知A-1=BAC，由CABA=E知A-1=CAB，从而BAC=CAB，故选项B正确。由ABAC=ECABA=EACAB=E，故选项D正确。由排除法可知，选C。8、设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由可知，矩阵A的特征值是3，-3，0，故r(A)=2，二次型xTAx的正、负惯性指数均为1。选项A中的矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；选项B中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数为2，负惯性指数为0，与矩阵A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)；选项C中矩阵的特征值为3，-3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意；对于选项D，记其矩阵为D，则有可知D的特征值是1，-1，0，xTAx与xTDx的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同)，故选D。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、已知f(x)=∫0x(x-t)2g(t)dt，且g(t)在R上连续，g(1)=5，则f(3)(1)=＿＿＿＿＿＿。标准答案：10知识点解析：由变限求导的法则有f’(x)=2∫0x(x-t)g(t)dt，f”(x)=2∫0xg(t)dt，f(3)(x)=2g(x)，所以f(3)(1)=10。10、设方程确定y为x的函数，其中t为参变量，则=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：当t=0时，可得x=0，。在两个方程中对t求导，得：11、设函数S(x)=∫0x｜cost｜dt。则=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：对于任意的x∈(nπ，(n+1)，π)，有∫0nπ｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt≤∫0(n+1)π｜cost｜dt，而∫0nπ｜cost｜dt=2n∫0π/2costdt=2n，∫0(n+1)π｜cost｜dt=2(n+1)，所以当n→∞时，x→+∞，所以由极限的夹逼准则有。12、曲线在点(1，1，-2)处的法平面方程为＿＿＿＿＿＿。标准答案：2x-3y+z+3=0知识点解析：在所给的两个曲面方程两边对x求导得曲线在(1，1，-2)处的切向量为，因此所求的法平面方程为即2x-3y+z+3=0。13、设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则｜3E-A｜=＿＿＿＿＿＿。标准答案：22n-r知识点解析：由于A为n阶实对称正交矩阵，所以A可以相似对角化，且｜A｜=±1。由A可以相似对角化可知，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，1，…，1，-1，-1，…，-1)，其中1有r个，-1有n-r个。所以｜3E-A｜=｜P(3E-P-1AP)P-1｜=｜P｜｜3E-P-1AP｜｜P-1｜=｜3E-P-1AP｜，注意到3E-P-1AP是对角矩阵，对角线上有r个2，n-r个4，所以｜3E-A｜=2r4n-r=22n-r。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、已知，试确定常数a，b的值。标准答案：知识点解析：暂无解析15、设V(t)是曲线在x∈[0，t]的弧段绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积，求常数c使得。标准答案：曲线在x∈[0，t]的弧段绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为解得c=1。知识点解析：暂无解析16、求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。标准答案：由于所给的区域D是闭区域(包括边界)，故属于混合型的情况。先考虑函数f(x，y)在区域D内部{(x，y)｜x2+y2＜1}的极值，这属于无条件极值，解线性方程组得x=0，y=0。在(0，0)点，有f”xx=2＞0，f”xy=1，f”yy=2，因为f”xxf”yy-f”yy＞0，所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为f(0，0)=0。再考虑函数f(x，y)在区域D的边界{(x，y)｜x2+y2=1}上的极值，这是条件极值问题，作拉格朗日函数L(x，y，t)=x2+xy+y2-t(x2+y2-1)，求偏导得方程组将第一式乘以x，第二式乘以y然后相加，结合第三式得到f(x，y)=t(x2+y2)=t。由x2+y2=1可知，二元一次方程组有非零解，故系数行列式等于零，即4t2-8t+3=0，解得。由于连续函数在闭区间上必可取到最大值和最小值，故f(x，y)在边界上的最大值为，最小值为。综上所述，f(x，y)在闭区域D上的最大值为，最小值为0。知识点解析：暂无解析17、求双曲线xy=2，xy=1与直线y=2x，y=x所围图形的面积。标准答案：如图，先作出曲线所围成的平面图形，由对称性可知，图形在第一、三象限是全等的，故只需考虑第一象限即可。作变量替换，令xy=u，y=νx，则原区域中第一象限的部分被一一对应地映为D1={(u，ν)｜1≤u≤2，1≤ν≤2}，这时有，于是雅可比行列式故所求的面积为。知识点解析：暂无解析18、设函数，数列{xn}满足0＜x1＜1且xn+1=f(xn)。(Ⅰ)证明f(x)在(-1，1)上有且只有一个零点；(Ⅱ)数列{xn}是否收敛，若收敛，求出极限；若不收敛，请说明理由。标准答案：(Ⅰ)注意到函数f(x)是偶函数，故只需讨论f(x)在[0，1)上零点的情况：设0≤x＜1，因，所以函数f(x)单调递增，而f(0)=0，f(1)=1，故0≤f(x)＜1且f(x)有且只有一个零点，该零点就是x=0。由对称性可知，在(-1，0)上f(x)不存在零点，故f(x)在(-1，1)上有且只有一个零点。(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，0＜xn＜1，n=1，2，3，…。xn+1-xn=f(xn)-xn故{xn}单调递减有界，所以收敛。在xn+1=1-两边同时取极限，得(舍去，因为{xn}单调递减)。知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)是连续函数，求f(x)的表达式。标准答案：由方程f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt可知f(0)=0，且f(x)可导。方程两边对x求导，得f’(x)=cosx-∫0xf(t)dt，且f’(0)=1，由f(x)连续可知f’(x)可导，再对上式求导，得f”(x)+f(x)=-sinx，该二阶非齐次线性微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+1=0，解得λ=±i，所以齐次微分方程的通解为F(x)=C1sinx+C2cosx，由于i是特征方程的根，所以设特解为f*(x)=x(Acosx+Bsinx)，代入f”(x)+f(x)=-sinx可得A=，B=0。故通解为f(x)=C1sinx+C2cosx+xcosx，代入初值f(0)=0和f’(0)=1可得C1=，C2=0。故f(x)=(sinx+xcosx)。知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意正数a，b，总存在x1，x2∈(0，1)，使得成立。标准答案：只需证明即可。因a，b均为正数，所以有。又因为f(0)=0，f(1)=1，所以，则由连续函数的介值定理可知，必存在ξ∈(0，1)，使得成立，于是有在[0，ξ]与[ξ，1]上分别使用拉格朗日中值定理，得f(ξ)-f(0)=f’(x1)ξ，x1∈(0，ξ)，f(1)-f(ξ)=f’(x2)(1-ξ)，x2∈(ξ，1)，知识点解析：暂无解析21、设A=(aij)n×n的秩为n，求齐次线性方程组Bx=0的一个基础解系，其中B=(aij)r×n，r＜n。标准答案：因为r(A)=n，即｜A｜≠0，所以r(B)=r，则Bx=0的基础解系所含向量个数为n-r。由r(A)=n，可得A的伴随矩阵A*的r(A*)=n，令由于r(A*)=n，所以r(ηr+1，…，ηn)=n-r，而由于所以Bηi=0(i=r+1，…，n)。即ηr+1，…，ηn都是Bx=0的解，故ηr+1，…，ηn是Bx=0的一个基础解系。知识点解析：暂无解析22、已知，且A的行和相等。(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。标准答案：(Ⅰ)由于矩阵行和相等，且第三行的行和为5，所以有1+a+2=5，2+b+a=5，解得a=2，b=1。(Ⅱ)将a和b的值代入矩阵得可知A是实对称矩阵，故A一定可以相似对角化。由｜λE-A｜=0可得(λ+1)2(λ-5)=0，解得λ=-1(二重根)和5。由(-E-A)x=0可得线性方程组的基础解系为(1，0，-1)T，(0，1，-1)T，即特征值-1所对的两个线性无关的特征向量为α1=(1，0，-1)T，α2=(0，1，-1)T。又因矩阵A的行和为5，所以特征值5对应的一个特征向量为α3=(1，1，1)T。将上述三个向量正交化，得β1=(1，0，-1)T，β3=(1，1，1)T，将其单位化即得正交矩阵知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知当x→0时，函数f(x)=x2-tanx2与cxk是等价无穷小量，则()A、c=1，k=3。B、c=-1，k=3。C、c=，k=6。D、c=，k=6。标准答案：C知识点解析：由麦克劳林公式可知比较分子、分母的系数可知，c=，k=6。故选C。2、函数在(-∞，+∞)上()A、连续。B、可导。C、有可去间断点。D、有跳跃间断点。标准答案：C知识点解析：注意到当x≠0时，函数f(x)是连续的，此时也是可导的；但函数f(x)在x=0处无意义，所以在x=0处，f(x)不连续，也不可导，且只有x=0是其间断点，而故x=0是f(x)的可去间断点。故选C。3、设D是由抛物线y=x2与曲线围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：积分区域D如右图所示：可知两曲线的交点为(-1，1)和(1，1)。若先对y积分，再对x积分，则虽然积分区域关于y轴对称，但f(x，y)的奇偶性并不清楚，故选项A不对。若先对x积分，再对y积分，则故选B。4、函数在(0，0)点()A、不连续且不可偏导。B、连续但不可偏导。C、可偏导且可微。D、可偏导但不可微。标准答案：D知识点解析：由于，所以f(x，y)在(0，0)点连续。由定义可知同理可得f’y(0，0)=0，故f(x，y)在(0，0)处可偏导。因f(△x，△y)-f(0，0)-f’x(0，0)△x-f’y(0，0)△y=f(△x，△y)，但(实际上当△y→0+时，极限为1；当△y→0-时，极限为-1)，故f(x，y)在(0，0)处不可微。故选D。5、设函数，则()A、f(x)在x=0处的左、右极限均存在。B、f(x)在x=0处的左、右极限均不存在。C、∫-11f(x)dx收敛。D、∫-11f(x)dx发散。标准答案：D知识点解析：显然，x=0是被积函数的唯一瑕点(奇点)，故将积分区间分开，即∫-11f(x)dx=∫-10f(x)dx+∫01f(x)dx，注意到∫-10f(x)dx=-e1/x｜-10=e-1，但∫01f(x)dx=-e1/x｜01=+∞，所以反常积分∫-11f(x)dx发散。故选D。6、函数()A、有一个驻点。B、有两个极值点。C、有一个拐点。D、在整个定义域上凹凸性不变。标准答案：B知识点解析：函数的定义域是除了x=-1的全体实数，对其求导，可知导函数有两个零点，即x=1和x=-3，故函数有两个驻点。函数二阶导函数是可知y”只有一个无定义的点x=-1，没有零点，且y”(1)＞0，y”(-3)＜0，故x=1是极小值点，x=-3是极大值点，即函数有两个极值点。注意到x=-1不是定义域的内点，所以x=-1不是函数的拐点，故函数不存在拐点，但是y”在x=-1的左、右两侧符号相反，所以x=-1是函数凹凸性的分界点，即当x＜-1时，函数是凸的，当x＞-1时，函数是凹的。故选B。7、设三维列向量α1，α2，α3线性无关，k，l为任意实数，则向量组后kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1()A、线性相关性只与k有关。B、线性相关性只与l有关。C、线性相关性与k和l都有关。D、无论k和l取何值，总是线性相关。标准答案：C知识点解析：由于α1，α2，α3线性无关，可以把α1，α2，α3看作一组基，则(kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1)=(α1，α2，α3)且=k3-l3当且仅当k=l时行列式为零，此时kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1线性相关。故选C。8、设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+ax32+2x1x2+2x1x3+2x2x3是正定的，则()A、a＜-2。B、-2＜a＜-1。C、a＞0。D、a＞1。标准答案：D知识点解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为，因其是正定的，所以其顺序主子式全大于零，即一阶顺序主子式a＞0；二阶顺序主子式=a2-1＞0，即a＞1或a＜-1；三阶顺序主子式=(a-1)2(a+2)＞0，即a＞-2。取交集，得a＞1。故选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设函数f(x)在x=4处连续，且，则曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程是＿＿＿＿＿＿。标准答案：y=4x-12知识点解析：令5-x=4+△x，则△x=1-x，代入可得所以曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程是y=f’(4)(x-4)+f(4)，即y=4x-12。10、设f具有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则=＿＿＿＿＿＿。标准答案：xf’3+x2yf”32+x2yzf”33知识点解析：由u=f(x，xy，xyz)可知=xyf’3，则=xf’3+xy(xf”32+xzf”33)=xf’3+x2yf”32+x2yzf”33。11、设微分方程的通解为，则φ(x)=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：由方程的通解，将其代入原微分方程得。12、，则∫01xf(x)dx=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：13、曲线(0≤x≤1)绕x轴旋转一周所得的旋转曲面的面积为＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：由旋转曲面面积的计算公式可得14、设A是三阶矩阵，且特征值为λ1=1，λ2=-1，λ3=2，A*是A的伴随矩阵，E是三阶单位阵，则=＿＿＿＿＿＿。标准答案：211知识点解析：由A的特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=2，可知｜A｜==-2，｜A*｜=｜A｜3-1=4。注意到是六阶方阵，所以=-26·(-2)3｜A*｜=211。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f’(x)连续f(0)=0,f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t2-x2)dt，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f’(0)。标准答案：令u=t2-x2，则F(x)=∫0xtf(t2-x2)=∫0xf(t2-x2)d(t2-x2)由洛必达法则得因为f(0)=0，故当n=4时，由导数的定义有所以f’(0)=-4。知识点解析：暂无解析16、求函数f(x，y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}上的最值。标准答案：由得到cosx=cosy=cos(x+y)。在闭区域的内部考虑，可得x=y=2π-x-y，即是函数在闭区域内部唯一的驻点，且。在闭区域的边界上，当x=0或y=0或x+y=2π时，都有f(x，y)=0。由闭区域上连续函数必存在最值的性质，可知函数的最大值为，最小值为0。知识点解析：暂无解析17、计算，其中区域D由曲线和x轴围成。标准答案：积分区域D如图中阴影部分：单位圆x2+y2=1将区域D分成两部分，单位圆x2+y2=1内的部分记作D1，单位圆x2+y2=1外的部分记作D2，则知识点解析：暂无解析18、设f(x)=kx-arctanx(0＜k＜1)。证明：存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0。标准答案：知识点解析：暂无解析19、设函数μ=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式。试确定m，n的值，使等式在变换ξ=x+my，η=x+ny下简化为。标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2。(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)a取何值时，此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积最小?标准答案：(Ⅰ)将，这是一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程的通解公式得由y=f(x)与x=1，y=0围成的平面图形的面积为2可知，注意到在(0，1)内需f(x)＞0成立，故还需确定a的取值范围。①当a=0时，f(x)=4x，满足题意；②当a＞0时，函数f(x)开口向上，只需对称轴即可，即0＜a≤4；③当a＜0时，函数f(x)开口向下，对称轴，只需f(1)≥0，即-8≤a＜0；综上所述，f(x)=ax2+(4-a)x且-8≤a≤4。(Ⅱ)y=f(x)绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为V(a)=π∫01f2(x)dx由得a=-5∈[-8，4]，而实际问题总是存在最值，所以当a=-5时，旋转体的体积最小。知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明。标准答案：由于f(x)单调增加，所以f(ξ2)≥f(ξ1)，故I≥0，得证。因为f(x)单调增加，所以上式定积分中f(x)≥f(t)，由定积分的性质可知f’(x)≥0，即F(x)也单调增加，故F(b)≥F(a)=0，得证。知识点解析：暂无解析22、线性方程组，的系数矩阵的秩为2，求c及方程组的通解。标准答案：将增广矩阵施以初等行变换得因系数矩阵的秩为2，所以，即c=6。此时，增广矩阵可化为得到同解方程组令x2=x4=0，得特解η=(-17，0，14，0)T；分别令x2=1，x4=0和x2=0，x4=2，得到对应齐次方程的基础解系ξ1=(-9，1，7，0)T，ξ2=(-8，0，7，2)T，故原方程组的通解为x=k1(-9，1，7，0)T+k2(-8，0，7，2)T+(-17，0，14，0)T，k1，k2为任意实数。知识点解析：暂无解析23、已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。标准答案：二次型f的矩阵，特征方程为｜λE-A｜=(λ-2)(λ2-6λ+9-a2)=0，由标准形可知，A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5。将λ=1代入特征方程，得a2-4=0，由a＞0可知a=2，此时解(λiE-A)x=0，得到特征值λi(i=1，2，3)对应的特征向量分别为α1=(0，1，-1)T，α2=(1，0，0)T，α3=(0，1，1)T。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α1，α2，α3单位化，故所用的正交变换矩阵为知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数y=y(x)由方程x3一ax2y2+by3=0所确定，要使x=1是y=y(x)的驻点，且曲线y=y(x)通过点(1，1)，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：利用题设：点(1，1)在曲线上，且该点又是y=y(x)的驻点，即满足y′(1)=0，联立两个关于a和b的方程组求之．解因y=y(x)过点(1，1)，故1一a+b=0，a—b=1．①又因x=1是y=y(x)的驻点，则y′(1)=0．先求y′(x)．在x3—ax2y2+by3=0两边对x求导，得到且(1，1)是其驻点，故y′∣x=1=0，即联立式①、式②解得2、设，则在点x=a处()．A、f(x)的导数存在，且f′(a)≠0B、f(x)取得极大值C、f(x)取得极小值D、f(x)的导数不存在标准答案：B知识点解析：利用极限的保号性和极值的定义判别之．解由题设有由极限的保号性知，存在x=a的右邻域(a，a+δ1)(δ1＞0)，使f(x)一f(a)＜0，即f(x)＜f(a)，也存在x=a的左邻域(a一δ2，a)(δ＞0)，使f(x)一f(a)＜0，即f(x)＜f(a)．由极值的定义知，f(a)为f(x)的极大值．3、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，f″(x)≠0，则()．A、f′(x)在(a，b)内没有零点B、f′(x)在(a，b)内只有一个零点C、f′(x)在(a，b)内至少有一个零点D、f′(x)在(a，b)内零点个数不能确定标准答案：B知识点解析：因f(a)=f(b)，首选罗尔定理证之，再用反证法证明f′(x)只有一个零点．解因为f(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，f(a)=f(b)，由罗尔定理知，至少存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0．如果f′(x)在(a，b)内有两个零点ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)，则函数f′(x)在[ξ1，ξ2]上仍满足罗尔定理条件，则在ξ1，ξ2之间存在已，使f″(ξ3)=0，这与在[a，b]上．f″(x)≠0矛盾．4、设f(x)在[0，1]上连续，f(x)≥0．记则()．A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I2＜I3＜I1D、I1＜I3＜I2标准答案：B知识点解析：三个积分I1，I2，I3的积分区间不一样，且被积函数的中间变量不一样，需通过变量代换化成一样来比较．解在I1中，令x=sint，当x=0时，t=0；当x=1时，．且dx=costdt．因此在I1中，令x=tant，当x=0时，t=0；当x=1时，，且dx=sec2tdt，当时，sect＞1，从而有sec2t＞1．因此于是有I3＜I1＜I2．5、设函数z=f(x，y)满足，且f(x，0)=1，f′y(x，0)=x，则f(x，y)=()．A、1一xy+y2B、1+xy+y2C、1一x2y+y2D、1+x2y+y2标准答案：B知识点解析：先在方程两边对y积分，再利用f′y(x，0)=x及f(x，0)=0确定相应常数．解在方程两边对y积分得由f(x，0)=x知C(x)=x，即再积分得f(x，y)=y2+xy+C1(x)，再由f(x，0)=1知C1(x)=1．于是f(x，y)=1+xy+y2．6、设A、1B、C、D、e一1标准答案：B知识点解析：将f(x)代入得到二重积分，画出积分区域(见下图)，且调换积分次序求出二重积分．又因已知被积分函数f(x)的导数也可用分部积分法直接计算．解一积分区域如上图所示．交换积分次序，得解二因已知被积函数f(x)的导数故可使用分部积分法求之．7、设A是三阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是3个非零特征值，且满足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b．若kA+E为正定矩阵，则参数k应满足()．A、k＞一1／aB、k＞aC、k＞bD、k＜一1／b标准答案：A知识点解析：因A有特征值λ1，λ2，λ3，则kA+E有特征值kλi+1(i=1，2，3)．又kA+E正定，则参数k应满足解由题设有a≥λ1≥λ2≥λ3≥b，故当时，由上式知从而当时，kA+E为正定矩阵．8、已知λ1=2，λ2=1，λ3=一1为三阶矩阵A的3个特征值，对应特征向量为α1，α2，α3．令P=[2α2，3α3，一α1]，则P-1(A+2E)P=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍然是属于该特征值的特征向量．解一因α1，α2，α3为A的3个不同特征值的特征向量，故线性无关，且它们都是齐次方程的解．而2α2，3α3，一α1仍然分别为齐次方程的解，且它们线性无关，故它们也为A的3个不同特征值的特征向量．于是令P=[2α2，3α3，一α1]，有故P-1(A+2E)P=P-1AP+2P-1EP解二由A的特征值λ2=1，λ3=一1，λ3=2，得到A+2E的3个不同的特征值μ2=1+2=3，μ3=一1+2=1，μ1=2+2=4，因而A+2E可相似对角化，且二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：知识点解析：用凑微分及分部积分法求之．解10、设，则f(x)=_______．标准答案：知识点解析：注意到为常数，由此可先将求出．再求f(x)．解在式①两边同乘cosx，再在[0，π]上积分得到故从而11、设f(x)为可导的以4为周期的周期函数，且，则曲线y=f(x)在点(—4，0)处的法线方程为_______．标准答案：知识点解析：首先要了解导数的几何意义．在几何上，函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率，因而y=f(x)过其上一点(x0，f(x0))的切线方程和法线方程分别为解因f(x)为导数的以4为周期的周期函数，则f′(x)也是以4为周期的可导函数，即f′(一4)=f′(0)．而故f′(一4)=3，所以法线方程为12、已知标准答案：知识点解析：先求出k，将其代入所求极限，用等价无穷小代换求之．k可用公式求之．解由得到13、已知的值等于_______．标准答案：知识点解析：所求积分既是无穷限的反常积分，又是带瑕点x=0的无界函数的反常积分．使用其定义，利用已知结果及分部积分法求之．解由分部积分公式得注意．这是常用结论应记住．14、设，B为三阶非零矩阵，且满足BA=0，则当λ满足_______时，B的秩恰为1．标准答案：λ≠一2知识点解析：因B为三阶非零矩阵．故秩(B)≥1．下面只证秩(B)≤1．这就需要利用条件BA=O去证明．解由题设知秩(B)≥1，又由Ba=O知，秩(A)+秩(B)≤3，即秩(B)≤3一秩(A)．当λ≠一2时，秩(A)=2，于是有秩(B)≤3—2=1，从而秩(B)=1．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，若在(0，1)内有x12，使证明：在(0，1)内存在ξ1，ξ2，使f′(ξ1)≥f′(ξ2)．标准答案：要产生两个中值点ξ1与ξ2满足f′(ξ1)≥f′(ξ1)，一般要使用两次中值定理．如果令x0=(x1+x2)／2，则有2f(x0)≥f(x1)+f(x2)，即(x0)一f(x1)≥f(x2)一f(x0)．不等式两边的差值就是使用拉格朗日中值定理的信号．这样问题就解决了．证令，移项有f(x0)一f(x1)≥f(x2)一f(x0)．①利用拉格朗日中值定理，有f(x0)一f(x1)=f′(ξ1)(x0一x1)②f(x2)一f(x0)=f′(ξ2)(x2一x0)③将式②、式③代入式①，有f′(ξ1)(x0—x1)≥f′(ξ2)(x2—x0)，因x0—x1=x2—x0，故有f′(ξ1)≥f′(ξ2)．知识点解析：暂无解析16、设0＜a＜b，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′(x)≠0，求证：存在ε，η∈(a，b)，使得标准答案：将待证等式改写为等式右边启示我们应对f(x)及lnx在[a，b]上使用柯西中值定理．于是上式右边还表示可对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理．于是证由拉格朗日中值定理知，存在ε∈(a，b)，使又由柯西中值定理知，存在η∈(a，b)，使综合式①、式②即得知识点解析：暂无解析17、设y=y(x)由确定，求当标准答案：，因而为求，需先求出，需将x的表示式通过变量代换化为变上限t的函数．解设于是再对3ty+ysint一ey一t2=0求，于是有故知识点解析：暂无解析18、设，其中φ为可微函数，求dz．标准答案：给出确定隐函数的函数方程，要想到作一个方程F(x，y，z)=0确定该函数，然后再用其公式求出解令，则故于是知识点解析：暂无解析19、求星形线的质心．标准答案：利用曲线质心坐标的计算公式直接计算．一定要记住质心坐标的计算公式．解设该曲线的全长为z，质心为，则曲线的质心坐标计算公式为可用上述公式计算曲线的质心，其中ds为弧微分．当s∈[0，ι]时，对应于，于是因此，代入上式得同理，可求得则于是，所求曲线的质心为知识点解析：暂无解析20、设g(x)＞0为已知连续函数，在圆域D={(x，y)∣x2+y2≤a2(a＞0)}上计算积分：其中λ，μ为正常数．标准答案：所给二重积分的被积函数的形式使人易想到积分区域D是否有关于y=x的对称性．事实上，所给区域D关于y=x对称，利用此对称性可简化计算．解由于积分区域D关于直线y=x对称，故对连续函数f(x，y)，有因此故于是有知识点解析：暂无解析21、设(Ⅰ)求f(x)在(0，+∞)上的最小值点；(Ⅱ)判断f(x)在(0，+∞)上是否存在最大值?并说明理由．标准答案：为求f(x)在(0，+∞)上的最小值点，首先求出f(x)在(0，+∞)上的分段函数的形式，然后按求最小值的一般方法求出其最小值点．解(Ⅰ)由定积分的几何意义知，(这是以原点为圆心，半径为z的圆在第一象限部分的面积)．再用分段积分法求f(x)表达式中的另一积分：当0＜x＜1时，当x≥1时，于是为求f(x)在(0，+∞)上的最小值，先求f′(x)．由于故f(x)在内单调减少，而在上单调增加．所以f(x)的最小值是，则f(x)在(0，+∞)上的最小值点是(Ⅱ)由于所以f(x)在(0，+∞)上不存在最大值．知识点解析：暂无解析22、已知三阶矩阵B≠0，且B的每一个列向量都是以下方程组的解：(Ⅰ)求λ值；(Ⅱ)证明∣B∣=0．标准答案：方程组AX=0有非零解，秩(A)＜3，则其三阶子行列式必等于0，从而求出λ．可用反证法证明∣B∣=0．解(Ⅰ)因B≠0，故B中至少有一个非零列向量，于是推出所给齐次方程组AX=0有非零解，故其系数矩阵的秩(A)＜3，则其三阶子式必等于0，即(Ⅱ)因B的每一列向量都是方程组的解，故有AB=O．由A≠O，则必有∣B∣=0．事实上，若∣B∣≠0，则B可逆，在AB=O两边右乘B-1必有ABB-1=OB-1，A=0，这与A≠0的事实矛盾，故∣B∣=0．知识点解析：暂无解析23、已知a1=[1，3，5，一1]T，a2=[2，7，a，4]T，a3=[5，17，一1，7]T．(Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值；(Ⅱ)当a=3时，求与a1，a2，a3都正交的非零向量a4；(Ⅲ)当a=3时，证明a1，a2，a3，a4可表示任一个四维列向量．标准答案：(Ⅰ)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之；(Ⅱ)按齐次线性方程组求解的方法求之．(Ⅲ)归结证明对任意四维向量α，方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解．解(Ⅰ)由α1，α2，α3线性相关，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于所以a=一3．(Ⅱ)设α4=[x1，x2，x3，x4]T，则有<α1，α4>=0，<α2，α4>=0，<α3，α4>=0，即而所以X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，一6，0，1]，其中k≠0为任意常数．(Ⅲ)由于所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一四维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出．或由(Ⅰ)知α=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么如果k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用α4T左乘上式两端并利用α4Tα1=α4Tα2=α4Tα3=0，有k4α4Tα4=0，故必有k4=0．于是k1α1+k2α2+k3α3=0，从而α1，α2，α3，α4必线性无关．而5个四维向量必线性相关，因此任一个四维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设，则()．A、B、a=0，b=一2C、D、a=1，b=一2标准答案：A知识点解析：利用等价无穷小代换及分项求其极限．解(用到等价无穷小代换x—ln(1+x)～x2／2(x→0))．当a一1=0时，．2、设则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但f′(x)在x=0处不连续D、可导且f′(x)在x=0处连续标准答案：D知识点解析：先考察在x=0处f(x)是否可导，若可导，进一步讨论f′(x)在x=0处的连续性．否则，只考察连续性即可．解当x＞0时，当x＜0时，故所以f(x)在x=0处可导，且f′(x)在x=0处连续．3、有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为r，则液体对薄板的侧压力为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先写出侧压力微元(元素)，然后在[0，a]上对其积分即可．解取坐标系如下图所示．椭圆方程为在小区间[x，x+dx]上对应的小横条薄板，液体对应的压力为dP=压强×面积=r·x·2ydx=于是液体对薄板的侧压力为4、下列广义积分发散的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：四个反常积分容易使人想到用下述结论判别：若a＞0，则当p＞1时收敛，当p≤1时发散．但要注意上面的下限a＞0．而现在a等于0，故不能用上述结论判断，而只能用定义判别．解而因而(C)中积分发散．5、函数u=sinxsinysinz满足的条件极值为()．A、1B、0C、1／6D、1／8标准答案：D知识点解析：写出拉格朗日函数，分别对各个变量求出偏导数，联立解得条件极值点．解仅D入选．设则由式①与式②得到tany=tanx，由式②与式③得tanz=tany．因而tanx=tany=tanz，而，故x=y=z．因而为条件极值点．于是所求的条件极值为6、y″+2y′一3y=e2x的特解为()．A、B、C、一e2xD、e2x标准答案：A知识点解析：求出特征根确定特解形式，代入原方程即可得到正确选项．解由r2+2r一3=(r+3)(r一1)=0易求得其特征根为λ1=一3，λ2=1．由于λ=2不是特征根，可设特解为y*=Ae2x，代入原方程得，即特解为．故仅A入选．7、已知三阶矩阵A的特征值为1，2，一1，则矩阵B=(2A*)-1(其中A*为A的伴随矩阵)的特征值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先找出矩阵B与A之间的关系，然后求出其特征值之间的关系．也可利用矩阵特征值的关系求之．解一而∣A∣=1×2×(一1)=一2，即，故B的三个特征值分别为．解二∣A∣=一2，A的特征值为1，2，一1，故A*的特征值为2A*的特征值为2(一2)=一4，2·1=2，2·2=4．则(2A*)-1的特征值为．仅B入选．8、设A=[α1，α2，α3，α4]，且η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，1，0，1]T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则()．A、α1，α3线性无关B、α2，α4线性无关C、α4能被α2，α3线性表示D、α1，α2，α3线性无关标准答案：C知识点解析：将η1，η2代入Ax=0得到α1，α2，α3，α4之间的线性关系，再利用叩η1，η2为Ax=0的基础解系，得到秩(A)=2．利用这些便可判别选项的正确性．解因为η1，η2为齐次线方程组Ax=0的基础解系，可知基础解系含有n一r=2个向量，其中，n=4为齐次方程组未知量的个数，r为系数矩阵A的秩，所以r一n一2=2．因此A=[α1，α2，α3，α4]中任意3个向量都线性相关，故(D)不正确．由Aη2=0得α2+α4=0，可见α2，α4线性相关，故(B)不正确．再由α2+α4=0可知，α4可以被α2线性表示，则α4可被α2，α3线性表示，故(C)正确．由Aη1=0，得α1+α2+α3+α4=0．又由Aη2=0得α2+α4=0，所以α1+α3=0．于是α1，α3线性相关，故(A)不正确．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设u=sin(xy+3z)，其中z=z(x，y)由方程yz2一xz2=1确定，则标准答案：知识点解析：先由方程yz2一xz2=1求出，将其代入中即可求出解在方程yz2一xz2=1两边对x求偏导得2yzz′x—z3一3xz2z′x=0，整理得所以把z′x代入上式得10、质量为M，长为L的均匀杆AB吸引着质量为m的质点C，C位于AB的延长线上并与近端距离为a．已求得杆对质点C的引力其中k为引力常数，现将质点C在杆的延长线上从距离近端r0处移至无穷远处时，其引力做的功为_______．标准答案：知识点解析：只需将引力在[r0，+∞)上积分即可．解以AB为x轴，近端点为原点，正x轴指向C．C的坐标为x，则杆对C的引力于是，C从r0处移至无穷远时，引力做的功11、微分方程xy(5)一y(4)=0的通解为_______．标准答案：知识点解析：先令y(4)=p，则原方程可化为降价的微分方程xp′一p=0．求出其通解p=c1x，即y(4)=c1x，再连续积分4次即可求出所求的通解．解令y(4)=p，则原方程化为可降价的方程：xp′一p=0．分离变量，得到．两边积分易求出其通解为p=c1x，则y(4)=c1x．此又为可降价的微分方程，连续积分4次即得所求通解为12、设z=f(x+y，xy)=x2+y2一xy，则dz=_______．标准答案：2xdx一3dy知识点解析：题目所给的函数不是f(x，y)，应先求出f(x，y)，再求dz．解应由题设先求f(x，y)．因f(x+y，xy)=x2+y2一xy=(x+y)2一3xy，所以f(x，y)=x2一3y．从而f′x(x，y)=2x，f′y(x，y)=一3．于是dz=2xdx一3dy．13、设A，B均为三阶方阵，λ1=1，λ2=2，λ3=一2为A的三个特征值，∣B∣=一3，则行列式∣2A*B+B∣=_______．标准答案：—315知识点解析：利用矩阵行列式等于其特征值之积的结论求之．解由题设知∣A∣=λ1λ2λ3=4，A*的特征值分别为则μ1=一4，μ2=一2，μ3=2．而矩阵2A*+E的特征值为2μi+1，即一7，一3，5，故行列式∣2A*+E∣=(一7)×(一3)×5=105，从而行列式∣2A*B+B∣=∣(2A*+E)B∣=∣2A*+E∣∣B∣=105×(—3)=—315．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、(Ⅰ)求极限，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2；(Ⅱ)利用(1)中结果求标准答案：根据式中出现正整数n和指数函数，恒等变形，设法使用以aix一1～xlnai求之．解而(Ⅱ)利用(Ⅰ)中结果即得知识点解析：暂无解析15、设f(x)，g(z)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明存在ξ∈(a，b)，使标准答案：从待证等式出现b一a因子，使人联想到应用拉格朗日中值定理证之．但辅助函数如何找?可将待证等式右端中的ξ换为x，去掉导数符号就可得到辅助函数F(x)证令显然F(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件．因而对F(x)在[a，b]上使用该定理得到：存在ξ∈(a，b]使F(b)一F(a)=(b一a)F′(ξ)．②注意到将其代入式②，则式①成立．证毕．知识点解析：暂无解析16、设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，且证明：(Ⅰ)若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数；(Ⅱ)若f(x)为非增，则F(x)为非减．标准答案：(Ⅰ)利用偶函数的定义证之；(Ⅱ)只需证明F′(x)≥0．证(Ⅰ)由于f(一x)=f(x)，则故F(x)也是偶函数．(Ⅱ)由于f(x)非增，则所以F(x)为非减函数．知识点解析：暂无解析17、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值．标准答案：先求区域内的极值，再求边界上的极值，通过比较即得闭区域上的最值．解由方程组得x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)．点(4，0)及线段x=0在D的边界上，且f(2，1)=4．在边界x+y=6上，y=6一x，代入f(x，y)中，得z=2x2一12x2(0≤x≤6)．由z′=6x2一24x=0得x=0，x=4．当x=0时，y=6，f(0，6)=0．当x=4时，y=2，f(4，2)=一64．经比较，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．注意求连续函数z=f(x，y)在有界闭区域D上最值的步骤如下：(1)求D内的驻点(即方程组f′x=0，f′y=0的解)及不可导点(即f′x与f′y不存在的点)；(2)将D的边界线方程代入z=f(x，y)中将其化为一元函数，求出其极值可疑点(即z′=0的根及使z′不存在的点)；(3)求出上述所有点处对应的函数值，比较其大小，可得f(x，y)在D上的最大值与最小值．知识点解析：暂无解析18、设f(x)为可微函数，且f(0)=0，f′(0)=2，试求标准答案：先将二重积分化为二次积分，其中内积分为变上限t的积分，再用等价无穷小代换、洛必达法则求之．解因知识点解析：暂无解析19、设z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足(Ⅰ)作自变量与因变量变换：u=x+y，v=x—y，w=xy—z．将z所满足的方程变换为w关于u，v的偏导数满足的方程．(Ⅱ)求z=z(x，y)．标准答案：利用复合函数求导法则将分别用叫关于u，v的偏导数表示，由方程①可得到w关于u，v的偏导数所满足的微分方程，解此方程即可求得z(x，y)．解(Ⅰ)z=xy一w，由复合函数微分法则得到代入原方程，得即(Ⅱ)解上述方程②，对u积分得再对u