2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 8 第2课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数8第2课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质（教师用书）教案北师大版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是北师大版高中数学必修4第1章三角函数第8节函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质。具体内容包括：

1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质；

2.理解正弦函数的周期性、对称性和奇偶性；

3.掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间、极值以及拐点；

4.学会运用五点法作图，观察函数图像的变化规律。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生需要掌握初中阶段正弦函数的基本性质；

2.学生应具备一定的函数图像分析能力，如了解一次函数、二次函数的图像与性质；

3.学生需熟练运用计算器进行函数图像的绘制，以便观察函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养，主要包括：

1.逻辑推理：使学生能理解三角函数的图像与性质，并能运用逻辑推理解释函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质；

2.数据分析：培养学生通过观察函数图像，分析函数的单调性、周期性、对称性等性质的能力；

3.数学建模：让学生学会运用五点法作图，将实际问题转化为数学模型，并分析问题解决问题的能力；

4.数学运算：学生能够运用计算器进行函数图像的绘制，并运用数学运算方法，分析函数的极值、拐点等性质。学情分析考虑到本节课的教学内容，我们主要针对高二学生进行学情分析。高二学生已经掌握了初中阶段的相关知识，如正弦函数的基本性质，同时具备一定的高中数学知识基础，如一次函数、二次函数的图像与性质。在此基础上，他们能够理解并运用函数图像分析方法，观察和解释三角函数的图像与性质。

在能力方面，大部分学生具备一定的数学运算能力，能够熟练运用计算器进行函数图像的绘制。此外，他们还具备一定的逻辑推理和数据分析能力，能够通过观察函数图像，分析函数的单调性、周期性、对称性等性质。然而，部分学生在面对复杂的数学模型时，可能存在逻辑推理和数据分析能力的不足，需要老师在教学过程中给予关注和引导。

在素质方面，大部分学生对数学学科具有一定的兴趣和热情，学习态度端正。然而，部分学生可能对数学学习存在恐惧心理，认为数学难以理解和掌握。此外，部分学生在课堂上的参与度不高，行为习惯有待改进。

针对以上学情分析，本节课的教学设计将注重以下几个方面：

1.针对学生的知识基础，老师将通过复习相关知识点，如正弦函数的基本性质，为后续教学做好铺垫。

2.针对学生的能力水平，老师将采用循序渐进的教学方法，引导学生从一次函数、二次函数过渡到三角函数，逐步提高学生的逻辑推理和数据分析能力。

3.针对学生的素质差异，老师将注重激发学生的学习兴趣，培养他们的自信心，同时关注课堂纪律，提高学生的课堂参与度。

4.针对学生的行为习惯，老师将采用互动式教学方法，鼓励学生积极参与课堂讨论，提高他们的课堂参与度。同时，老师还将继续加强课堂管理，规范学生的学习行为。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版高中数学必修4第1章三角函数第8节的教材或学习资料，以便学生能够在课堂上跟随老师的讲解进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如正弦函数、余弦函数的图像，以及函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像等。这些资源可以帮助学生更好地理解和掌握函数的性质。

3.实验器材：如果涉及实验，需要提前准备实验器材，如计算机、计算器、作图软件等，确保实验器材的完整性和安全性。同时，还需要为学生提供适当的实验指导和操作流程，让他们能够安全、准确地进行实验操作。

4.教室布置：根据教学需要，对教室环境进行布置。例如，可以将教室分成若干个小组讨论区，为学生提供分组讨论和合作学习的机会；设置实验操作台，让学生能够进行实验操作和观察实验结果。

5.教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体投影仪等教学工具，以便老师能够清晰地展示和讲解教学内容，同时能够及时给予学生反馈和解答他们的疑问。

6.学习平台：如果使用学习平台进行教学，需要提前准备好相关平台的学习资源，如教学PPT、在线测试系统等，确保学生能够在平台上顺利进行学习和自我评估。

7.教学指导资料：准备教学指导资料，如教学计划、教学大纲、教学课件等，以便老师在课堂上进行有序的教学，同时能够及时调整教学内容和教学方法，以适应学生的学习需求。

8.学生作业和评估材料：准备学生作业和评估材料，如练习题、测试题等，以便老师能够及时了解学生的学习情况，并进行针对性的指导和辅导。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，如PPT、视频、文档等，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解函数y＝Asin（ωx＋φ）的基本性质。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主要内容，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质”课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质，掌握相关技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与本节课相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理本节课主要涉及以下知识点：

1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质：

-A、ω、φ对函数图像的影响；

-函数的周期性、对称性和奇偶性；

-函数的单调区间、极值和拐点。

2.正弦函数的性质：

-正弦函数的定义域和值域；

-正弦函数的周期性、对称性和奇偶性；

-正弦函数的单调性和特殊点。

3.余弦函数的性质：

-余弦函数的定义域和值域；

-余弦函数的周期性、对称性和奇偶性；

-余弦函数的单调性和特殊点。

4.函数图像的绘制方法：

-五点法作图；

-计算机软件作图。

5.数学建模思想：

-将实际问题转化为数学模型；

-利用数学模型分析问题、解决问题。

6.数学运算能力：

-利用计算器进行函数图像的绘制；

-利用计算器计算函数的值、导数等。

7.逻辑推理和数据分析能力：

-观察函数图像，分析函数的性质；

-运用逻辑推理，解释函数图像的变化规律。

8.数学核心素养：

-数学抽象；

-逻辑推理；

-数学建模；

-数据分析。重点题型整理1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质

（1）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像，求A、ω、φ的值。

【解题思路】：首先，根据正弦函数的周期性，ωx＋φ的周期为2π/ω。其次，根据正弦函数的对称性，可以判断出函数的奇偶性，从而确定φ的值。最后，根据正弦函数的振幅，确定A的值。

【例题】：已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像，周期为2π，且在x=0时取得最大值1，求A、ω、φ的值。

【答案】：A=1，ω=1，φ=0

（2）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像，求函数的单调区间、极值和拐点。

【解题思路】：首先，根据正弦函数的周期性，确定单调区间的个数。其次，根据正弦函数的振幅，确定极值的大小。最后，根据正弦函数的对称性，确定拐点的坐标。

【例题】：已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像，周期为2π，且在x=0时取得最大值1，求函数的单调区间、极值和拐点。

【答案】：单调区间为[0,π]和[π,2π]，极值为1，拐点为（0,1）和（π,1）。

2.正弦函数的性质

（1）已知正弦函数y=sinx的图像，求其周期、对称性和奇偶性。

【解题思路】：正弦函数的周期为2π，具有对称性和奇偶性，因此周期为2π，图像关于原点对称，并且是奇函数。

【例题】：已知正弦函数y=sinx的图像，求其周期、对称性和奇偶性。

【答案】：周期为2π，对称性为关于原点对称，奇偶性为奇函数。

（2）已知正弦函数y=sinx的图像，求其单调性和特殊点。

【解题思路】：正弦函数在[0,π]区间内是增函数，在[π,2π]区间内是减函数。特殊点包括0和π，其中在0时取得最大值1，在π时取得最小值-1。

【例题】：已知正弦函数y=sinx的图像，求其单调性和特殊点。

【答案】：单调性为在[0,π]区间内是增函数，在[π,2π]区间内是减函数。特殊点为0和π，其中在0时取得最大值1，在π时取得最小值-1。

3.余弦函数的性质

（1）已知余弦函数y=cosx的图像，求其周期、对称性和奇偶性。

【解题思路】：余弦函数的周期为2π，具有对称性和奇偶性，因此周期为2π，图像关于y轴对称，并且是偶函数。

【例题】：已知余弦函数y=cosx的图像，求其周期、对称性和奇偶性。

【答案】：周期为2π，对称性为关于y轴对称，奇偶性为偶函数。

（2）已知余弦函数y=cosx的图像，求其单调性和特殊点。

【解题思路】：余弦函数在[0,π]区间内是减函数，在[π,2π]区间内是增函数。特殊点包括0和π，其中在0时取得最大值1，在π时取得最小值-1。

【例题】：已知余弦函数y=cosx的图像，求其单调性和特殊点。

【答案】：单调性为在[0,π]区间内是减函数，在[π,2π]区间内是增函数。特殊点为0和π，其中在0时取得最大值1，在π时取得最小值-1。

4.函数图像的绘制方法

（1）已知正弦函数y=sinx，求其五点法作图。

【解题思路】：五点法作图包括选取五个点，分别为0,π/2,π,3π/2,2π。其中，0时取得最大值1，π/2时取得最大值0.707，π时取得最小值-1，3π/2时取得最小值-0.707，2π时取得最大值1。

【例题】：已知正弦函数y=sinx，求其五点法作图。

【答案】：五点分别为（0，1），（π/2，0.707），（π，-1），（3π/2，-0.707），（2π，1）。

（2）已知正弦函数y=sinx，求其计算机软件作图。

【解题思路】：利用计算机软件，如MATLAB、Python等，绘制正弦函数y=sinx的图像。首先，设置x的范围，例如从0到2π。然后，计算每个x值对应的y值。最后，绘制图像。

【例题】：已知正弦函数y=sinx，求其计算机软件作图。

【答案】：利用MATLAB或Python等软件，绘制正弦函数y=sinx的图像，图像应包括0到2π范围内的完整周期，并展示出函数的周期性、对称性和奇偶性。

5.数学建模思想

（1）将实际问题转化为数学模型，求解问题。

【解题思路】：首先，分析实际问题，确定需要解决的关键问题。然后，根据关键问题，建立相应的数学模型。最后，利用数学模型，求解问题。

【例题】：已知某物体在垂直方向上的运动，求其速度、加速度和位移。

【答案】：物体在垂直方向上的运动可以视为简谐运动，建立相应的数学模型，利用正弦函数求解速度、加速度和位移。

（2）利用数学模型分析问题、解决问题。

【解题思路】：首先，根据实际问题，建立相应的数学模型。然后，利用数学模型，分析问题，找出问题的规律。最后，根据问题的规律，解决问题。

【例题】：已知某工厂的生产量与时间的关系，求其生产量的最大值。

【答案】：工厂的生产量与时间的关系可以视为正弦函数，利用数学模型分析问题，找出生产量的最大值。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课后练习题：要求学生独立完成教材第1章三角函数第8节后的练习题，包括选择题、填空题和解答题，以巩固对函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质的理解。

2.绘制函数图像：要求学生利用计算机软件（如MATLAB、Python等）绘制函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像，并分析图像的周期性、对称性和奇偶性，以及单调区间、极值和拐点。

3.数学建模实践：要求学生选择一个实际问题，将其转化为数学模型，并利用所学的函数性质进行分析和解决。例如，可以选择