人教版高中数学必修第二册8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.棱长为3的正方体的表面积为 ()A.27 B.64 C.54 D.362.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图L8-3-1),则三棱锥B1-ABC的体积V= ()图L8-3-1A.14 B.C.36 D.3.如图L8-3-2,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V1,E为棱CC1上的点,且CE=13CC1,三棱锥E-BCD的体积为V2,则V2V1=图L8-3-2A.13 B.16 C.19 4.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为 ()A.43 B.23 C.43 D5.已知正三棱柱的高为4,体积为43,则底面三角形的边长为 ()A.1 B.2 C.3 D.46.如图L8-3-3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是 ()图L8-3-3A.22 B.33 C.3 D7.如图L8-3-4,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1∶V2= ()图L8-3-4A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶58.如图L8-3-5,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面的高为 ()图L8-3-5A.6 B.7C.2 D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.有一个正四棱台形的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别为60cm和40cm,则它的高为cm.

10.已知正四棱柱的底面边长为22,体积为32,则此四棱柱的表面积为.

11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四棱锥A1-EFGH的体积为.

12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两成60°角,点E,F,G分别为AB,AC,AA1上的点,且AE=12AB,AF=13AC,AG=23AA1,则三棱锥G-AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2,3,6.(1)求这个长方体的体对角线长;(2)求这个长方体的体积.14.(10分)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,求正四棱台的表面积.15.(5分)在《九章算术》中,堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图L8-3-6,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AB=2,则当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1的体积为.

图L8-3-616.(15分)如图L8-3-7是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2.(1)求该几何体的体积;(2)求截面ABC的面积.图L8-3-7

参考答案与解析1.C[解析]所求表面积为6×32=54.2.D[解析]V=13×34×3=3.D[解析]由题意得,V1=S长方形ABCD·CC1,V2=13S△BCD·CE=13×12S长方形ABCD×13CC1=118S长方形ABCD·CC1,则V24.D[解析]由题知该正四棱锥底面的对角线的长度为22,故该正四棱锥的高h=5−2=3,所以其体积V=13×4×3=433,5.B[解析]设正三棱柱底面三角形的边长为a,则底面三角形的面积S=34a2,由正三棱柱的体积V=34a2×4=43,得a=2,故选6.B[解析]设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正三棱锥D-A1BC1的棱长均为2,其表面积为4×12×2sin60°×2=23,∴正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是33,故选7.C[解析]∵E是PC的中点,∴P,C到平面ABE的距离相等,∴V三棱锥P-ABE=V三棱锥C-ABE,又D是PB的中点,∴D到平面ABE的距离等于P到平面ABE的距离的12,∴V三棱锥D-ABE=12V三棱锥P-ABE=14V三棱锥P-ABC,∴V1V2=V8.A[解析]根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,有水的部分为四棱柱,其底面是梯形,设△ABC的面积为S,则S梯形=34S,水的体积V水=34S×A1A=6S.当底面ABC水平放置时,有水的部分为三棱柱,设水面的高为h,则V水=Sh=6S,故h=6,故选A9.75[解析]设正四棱台的体积为VmL,上、下底面的面积分别为S'cm2,Scm2,高为hcm,则V=13(S+SS'+S')h,即h=3VS+SS'+S',则10.16+322[解析]设正四棱柱的高为h,则h=32(22)2=4,所以此四棱柱的表面积为4×4×22+2×22×22=3211.43[解析]∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴四边形EFGH是边长为2的正方形,又点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2,∴四棱锥A1-EFGH的体积V=13×d×S正方形EFGH=13×2×2×212.127[解析]设三棱柱ABC-A1B1C1的高为H,三棱锥G-AEF的高为H',则三棱锥G-AEF的体积V=13×S△AEF×H'=13×S△AEF×23H.设△AEF的边AF上的高为h',则根据点E为AB的中点得,△ABC的边AC上的高为2h',所以S△AEF=12×AF×h'=12×13AC×h'=16AC×h',S△ABC=12×AC×2h'=AC×h',则三棱锥G-AEF的体积V1=127AC×H×h',三棱柱ABC-A1B113.解:(1)设此长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则ab=2,bc=3,ac=6,解得c=3,a=2,b=1.故这个长方体的体对角线长为(2)2(2)由(1)可知这个长方体的体积V=abc=6.14.解:∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,∴侧面的高为4−(4−22)

∴一个侧面的面积为12×(2+4)×3=33∴正四棱台的表面积为4+16+33×4=20+123.15.2[解析]设AC=x,BC=y,则由题意得x>0,y>0,x2+y2=4.阳马B-A1ACC1的体积V1=13×2x×y=23xy,∵xy≤x2+y22=2,当且仅当x=y=2时取等号,∴当阳马B-A1ACC1的体积最大时,AC=BC=2,此时堑堵ABC-A1B1C1的体积V2=S△ABC·AA1=1