新高考数学一轮复习第7章 第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） 讲（学生版）

第06讲向量法求空间角（含探索性问题）(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：异面直线所成的角题型二：直线与平面所成的角角度1：求直线与平面所成角(定值问题）角度2：求直线与平面所成角(最值问题）角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）题型三：二面角角度1：求平面与平面所成角(定值问题）角度2：求平面与平面所成角(最值问题）角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：异面直线所成角设异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，其方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；则异面直线所成角向量求法：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0知识点二：直线和平面所成角设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.知识点三：平面与平面所成角（二面角）（1）如图①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的两个面内与棱SKIPIF1<0垂直的直线，则二面角的大小SKIPIF1<0．（2）如图②③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是二面角SKIPIF1<0的两个半平面SKIPIF1<0的法向量，则二面角的大小SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0若二面角为锐二面角（取正），则SKIPIF1<0；若二面角为顿二面角（取负），则SKIPIF1<0；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体SKIPIF1<0中O为面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为面SKIPIF1<0的中心.若E为SKIPIF1<0中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高二）点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面ABC的法向量为SKIPIF1<0，设二面角C—AB—O的大小为θ，则cosθ的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点M，N分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，Q为线段SKIPIF1<0上的点（不包括端点A，B），若使异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全国·高二）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上一动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角最大时，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析题型一：异面直线所成的角典型例题例题1．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，将三角形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠到SKIPIF1<0位置，使得二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·广西·高三阶段练习（文））某圆锥的正视图如图所示，SKIPIF1<0为该圆锥的顶点，SKIPIF1<0分别是圆锥底面和侧面上两定点，SKIPIF1<0为其底面上动点.SKIPIF1<0四点在其正视图中分别对应点SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角最大时，SKIPIF1<0的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））现有四棱锥SKIPIF1<0（如图），底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上.当空间四边形SKIPIF1<0的周长最小时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为___________.题型归类练1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，侧棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，SKIPIF1<0是棱长为SKIPIF1<0的正方体，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是下底面的棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是上底面的棱SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平面交上底面于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为___________．5．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值等于___________．6．（2022·山西太原·一模（理））已知在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若三棱锥的外接球体积为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为__________.题型二：直线与平面所成的角角度1：求直线与平面所成角(定值问题）典型例题例题1．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为4，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<01，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为___________．例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为___________.例题3．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知SKIPIF1<0是圆柱底面圆的一条直径，SKIPIF1<0是圆柱的一条母线，SKIPIF1<0为底面圆上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为________．例题4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正切值为___________.题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是对角线BD1上的点，且BE∶ED1=1∶3，则AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值是___________.2．（2022·全国·高二单元测试）在菱形ABCD中，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.3．（2022·海南·模拟预测）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若平面SKIPIF1<0轴，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为___________.4．（2022·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所在平面垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为___________.角度2：求直线与平面所成角(最值问题）典型例题例题1．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角最大时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥SKIPIF1<0中，所有棱的长均为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上运动，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.试确定动点SKIPIF1<0的位置，使线段SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大.例题4．（2022·湖南·模拟预测）已知，如图四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)请确定SKIPIF1<0点的位置，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角取最大值．题型归类练1．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0是底面上圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．12．（2022·安徽·高二开学考试）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为3，点E在上底面SKIPIF1<0内(不包含边界)，若SKIPIF1<0，则AE与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为3的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一动点，且满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值为_______4．（2022·江苏淮安·高二期末）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面PAD；(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．5．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0的中点．(1)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是正三角形，P为线段SKIPIF1<0上的动点，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范围．角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）典型例题例题1．（2022·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一动点.(1)求证：当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)当点SKIPIF1<0位于线段SKIPIF1<0的什么位置时，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，请说明理由.例题2．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）如图，已知三棱柱SKIPIF1<0中，侧棱与底面垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点.(1)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值；(2)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0时，求线段SKIPIF1<0的长.例题3．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底而所成的角为SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0？若存在，求出有SKIPIF1<0的值：若不存在，说明理由.题型归类练1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））已知梯形SKIPIF1<0如图甲所示，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是边长为1的正方形，沿SKIPIF1<0将四边形SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到如图乙所示的几何体．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长度.2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）如图，三棱柱SKIPIF1<0所有的棱长为2，SKIPIF1<0，M是棱BC的中点.（Ⅰ）求证：SKIPIF1<0平面ABC;（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为SKIPIF1<0?若存在，求出CP的值;若不存在，请说明理由.3．（2022·湖南·长郡中学高一期末）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面SKIPIF1<0，F为PA的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.(1)求证：SKIPIF1<0平面DEF；(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为SKIPIF1<0？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.4．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面为矩形，SKIPIF1<0底面ABCD．过AD的平面SKIPIF1<0分别与线段SKIPIF1<0相交于点E，F．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，试问是否存在平面SKIPIF1<0，使得直线PB与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．5．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求二面角SKIPIF1<0的大小；(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．题型三：二面角角度1：求平面与平面所成角(定值问题）典型例题例题1．（2022·广东·兴宁市第一中学高一阶段练习）若在正方体SKIPIF1<0中，点E是SKIPIF1<0的中点，则二面角SKIPIF1<0的平面角的正切值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体SKIPIF1<0为鳖臑，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则二面角SKIPIF1<0的正弦值为______.题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SKIPIF1<0，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．3．（2022·全国·高二单元测试）在长方体SKIPIF1<0中，AB＝2，AD＝1，SKIPIF1<0，点E为SKIPIF1<0的中点，则二面角SKIPIF1<0的余弦值为______.角度2：求平面与平面所成角(定值探索性问题）典型例题例题1．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））如图1，在等边SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点且满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置并使得平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得到图2，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值；(2)试探究：随着SKIPIF1<0值的变化，二面角SKIPIF1<0的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角SKIPIF1<0的正弦值大小．例题2．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的点．(1)若SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若存在点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的点，使得直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．题型归类练1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在平面SKIPIF1<0的上方.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为SKIPIF1<0，求四棱锥SKIPIF1<0的体积.2．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥CD；(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．3．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)若点Q在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．4．（2022·海南中学高三阶段练习）如图1，在平面四边形PDCB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0沿BA翻折到SKIPIF1<0的位置，使得平面SKIPIF1<0平面ABCD，如图2所示.(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为SKIPIF1<0，求线段BQ的长.角度3：已知二面角求其他参数（最值探索性问题）典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）长方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在长方体的侧面SKIPIF1<0上运动，SKIPIF1<0，则二面角SKIPIF1<0的平面角正切值的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，正三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长均为2，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0不包括端点SKIPIF1<0上一动点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长;(2)当SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0不包括端点SKIPIF1<0上运动时，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值的最大值.题型归类练1．（2022·重庆市长寿中学校高一阶段练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等边三角形，点A在平面SKIPIF1<0上的投影是线段BC的中点E，AB=AD=AC，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0BC=2BD，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，问：点SKIPIF1<0运动到何处时，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角最小.2．（2022·山西运城·模拟预测（理））如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0