2024-2025学年新教材高中数学课时检测23棱柱棱锥棱台的表面积和体积含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE6棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[A级基础巩固]1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96解析：选B设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq\r(5)，那么它的体积为()A．6eq\r(3) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2解析：选B由底面边长为1和侧棱长为eq\r(5)，可知高h＝2.又因为底面积S＝eq\f(3\r(3),2)，所以体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×2＝eq\r(3).3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,3) D．3解析：选B设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为eq\f(3,2)S，故二者的体积之比为eq\f(V1,V2)＝eq\f(Sh,\f(1,3)×\f(3,2)Sh)＝eq\f(2,1)＝2.4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深化的探讨，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC­A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”即四棱锥B­A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC­A1B1C1的表面积为()A.eq\r(2)＋1 B.eq\r(3)＋1C.eq\f(2\r(2)＋3,2) D.eq\f(\r(3)＋3,2)解析：选CV四棱锥B­A1ACC1＝eq\f(1,3)AC·AA1·BC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)AC·BC·AA1＝eq\f(2,3)V三棱柱ABC­A1B1C1，V三棱柱ABC­A1B1C1＝eq\f(1,2)AC·BC·AA1＝eq\f(1,2)AC·BC≤eq\f(1,4)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,4)，当且仅当AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)时取等号，即当AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)时，V三棱柱ABC­A1B1C1取得最大值，此时四棱锥B­A1ACC1的体积最大．则此时三棱柱ABC­A1B1C1的表面积为2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)＋1))×1＝eq\f(3＋2\r(2),2).故选C.5．鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．鲁班锁类玩具比较多，形态和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．图①是一个鲁班锁玩具，图②是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为()A．8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3)) B．6(8＋8eq\r(2)＋eq\r(3))C．8(6＋6eq\r(3)＋eq\r(2)) D．6(8＋8eq\r(3)＋eq\r(2))解析：选A由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1＋eq\r(2))的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq\r(2)，则该鲁班锁玩具的表面积为6×[4×(1＋eq\r(2))2－4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)]＋8×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3))．故选A.6．如图，三棱柱ABC­A′B′C′的体积为1，则四棱锥C­AA′B′B的体积是________．解析：∵VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．解析：该几何体的体积V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋eq\f(1,2)×4×3×2＋eq\r(32＋42)×3＋3×4＝138.答案：901388．有一个正四棱台形态的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，则它的深度为________cm.解析：设油槽的上、下底面积分别为S′，S.由V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h，得h＝eq\f(3V,S＋\r(SS′)＋S′)＝eq\f(3×190000,3600＋2400＋1600)＝75(cm)．答案：759.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2>V1.(1)求V1，V2以及V1∶V2；(2)求点A到平面A1BD的距离d.解：(1)截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1­ABD，其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝eq\f(1,2)×AB×AD＝eq\f(1,2)a2.底面ABD上的高为h＝AA1＝a.所以其体积V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,6)a3.正方体的体积V＝a3，所以V2＝V－V1＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.所以V1∶V2＝1∶5.(2)三棱锥A1­ABD与三棱锥A­A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，如图，取BD的中点H，连接A1H，则A1H⊥BD，BH＝HD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以A1H＝eq\r(A1B2－BH2)＝eq\r(（\r(2)a）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)a.其面积S2＝eq\f(1,2)BD·A1H＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(6),2)a＝eq\f(\r(3),2)a2.因为VA1­ABD＝VA­A1BD，即eq\f(1,6)a3＝eq\f(1,3)S2·d，所以eq\f(1,6)a3＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a2×d，解得d＝eq\f(\r(3),3)a，即点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r(3),3)a.10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．解：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE，O1E1，则OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×42＋32＝32×17，所以E1E＝3eq\r(17).所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).[B级综合运用]11．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A.eq\r(3) B．2C.eq\f(3\r(3),2) D.eq\f(9,4)解析：选D设正三棱柱的底面积为S，则VABC­A1B1C1＝3S.∵E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，∴eq\f(S△AFE,S)＝eq\f(1,4)，即S△AFE＝eq\f(1,4)S，∴S四边形BCFE＝eq\f(3,4)S，∴VBCFE­B1C1F1E1＝eq\f(3,4)S×3＝eq\f(9,4)S，∴图甲中水面的高度为eq\f(9,4).故选D.12．(多选)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列推断，正确的是()A．直三棱柱侧面积是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱体积是eq\f(1,3)C．三棱锥E­AA1O的体积为定值D．AE＋EC1的最小值为2eq\r(2)解析：选ACD在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABCAA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正确；如图，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E­AA1O的高为定值eq\f(\r(2),2)，S△AA1O＝eq\f(1,4)eq\r(2)×2＝eq\f(\r(2),2)，所以VE­AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，故C正确；将四边形BCC1B1沿BB1翻折，使四边形ABB1A1与四边形BCC1B1位于同一平面内，连接AC1与BB1相交于点E，此时AE＋EC1最小，即AE＋EC1＝AC1＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋（A1B1＋B1C1）2)＝2eq\r(2)，故D正确．13．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积为________．解析：如图所示，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，BD1＝9.故有a2＋52＝152，b2＋52＝92，所以a2＝200，b2＝56.因为底面是菱形，所以AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，即AB＝8.所以该直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160，表面积为160＋2×eq\f(1,2)×eq\r(200×56)＝160＋40eq\r(7).答案：160＋40eq\r(7)14．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上随意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E­ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱锥F­EBC＝V三棱锥C­EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C­ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E­ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E­ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC＝16＋4＝20.[C级拓展探究]15．一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？解：设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(PO1,PO)，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝eq\f(h,a)x，于是OO1＝h－PO1＝h－eq\f(h,a)x＝heq\b\lc