七年级数学尖子生培优训练

第一讲绝对值典型例题：例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b例2．已知：，，且，那么的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．方程的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个例5．已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为________________.（3）结合数轴求得的最小值为，取得最小值时x的取值范围为___.（4）满足的的取值范围为______.例7．设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。巩固提高：1、若的值等于______.2、如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（）A.B.C.0D.5、已知，求的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？7、若，求的取值范围。8、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什么位置？9、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？10、若为整数，且，试求的值。11、已知求的最小值。12、若与互为相反数，求的值。13、如果，求的值。第二讲规律—数与图形典型例题：例1观察下列算式：……用你所发现的规律写出的末位数字是__________。例2、观察下列式子：；；；……请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________。例3、图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。①③②①③②……(1)将下表填写完整图形编号12345…三角形个数159…（2）在第n个图形中有____________________个三角形（用含n的式子表示）。例4、观察算式：按规律填空：1+3+5+…+99=，1+3+5+7+…+？例5、把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是第100层的正方体的个数是第n层的正方体的个数是第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826例6、将正偶数按下表排成5列根据上面的规律，则206应在行列，2012应在行列.巩固提高：有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数=，当=2001时，=。2、观察下列几个算式，找出规律：1＋2＋1=41＋2＋3＋2＋1=91＋2＋3＋4＋3＋2＋1=161＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25……利用上面规律，请你迅速算出：①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？3、将1，，，，，，…按一定规律排成下表：试找出在第行第个数4、把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？（3）使正方形中9个数的和是2049是否办得到？简单说明理由。5、平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？最多将平面分成多少个部分？6、通过计算探索规律：152=225可写成100×1×（1+1）+25452=2025可写成100×4×（4+1）+25252=625可写成100×2×（2+1）+25…………352=1225可写成100×3×（3+1）+25752=5625可写成归纳、猜想得：（10n+5）2=根据猜想计算：19952=。第三讲代数式与方程典型例题：若多项式的值与x无关，求的值.例2．x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。例4．解方程例5．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。1172839410511612例6．解下列方程例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线____上，“2008”在射线___________上．（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．例9．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。巩固提高：1、设a※b=a(ab+7),求等式3※x=2※(-8)中的x2、当代数式的值为7时,求代数式的值.3、已知，求的值.4、A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？5、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？6、若关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。7、解方程8、三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，求的值。9、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？10、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？第四讲线段和角典型例题：例1、下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）A．B．A．B．C．D．例2、由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（）A、AP=ABB、AB＝2PBC、AP＝PBD、AP＝PB=AB例3、将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围______。例4、已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=______MN．例5、同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：

（1）三点整时时针与分针所夹的角是度．

（2）7点25分时针与分针所夹的角是度．

（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少？例6、α为锐角，β为钝角，甲、乙、丙、丁四人在计计算时结果依次为10°，23°，46°，51°，其中只有一个是正确的，你知道四人中谁的结果正确吗？例7、我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．

若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是；

若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是；

若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是．例8、如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．

（1）求∠MON的度数；

（2）如果（1）中∠AOB=α，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？

巩固提高：1、如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）不考虑瓶子的厚度.不考虑瓶子的厚度.A．B．C．D．2、已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，则∠AOC=__________度3、若点B在直线AC上，下列表达式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个4、如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（）A2（a-b）B2a-bCa+bDa-b5、已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）A.（∠1＋∠2）B.∠1C.（∠1－∠2）D.∠26、在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？7、已知∠1=71°28′36″，∠1的两边和∠2的两边互相垂直，那么∠2=。8、已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；

（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；

（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．

①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，

试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．

第五讲相交线与平行线典型例题：例1．下列说法正确的有()①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个例2．如图所示,下列说法正确的是()A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段例3.一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？例5.如图所示，∠BOD=45°，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是．例6.如图是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成10×21的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是多少？例7.如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？例8.如图，若AB//EF，∠C=90°，求x+y-z度数。巩固提高：1．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_______.2.下列说法正确的有()①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个3．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°，∠3=75°，则∠2=（）A．50°B．55° C．66° D．65°4.如图，把长方形纸片沿折叠，使，分别落在，的位置，若，则等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．第4题第5题第6题第7题5．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？6.如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.7.已知：如图，。求证：8.已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2求证：CD⊥AB9.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2=°，∠3=°.(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3=°;若∠1=40°,则∠3=°.(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3=°时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?

第六讲平面直角坐标系典型例题：例1、如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第象限，点Q（x-1，1-y）在第象限。例2、已知点P（x,），则点P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方例3、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（）A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）例4、在平面直角坐标系上点A（n,1-n）一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例5、M的坐标为（3k-2，2k-3）在第四象限，那么k的取值范围是。例６、已知点A（－３，２）AB∥ｏｘ．AB＝７，那么B点的坐标为。例７、如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是．例８、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转２０１２次，点P依次落在点P1，P2，P3…P２０１２的位置，则点的坐标为．例９、在平面直角坐标系中，点坐标为，△ABＯ、面积为６，那么点Ｂ坐标为．例１０、实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明45456-4-5-6-4-5-6567xylBE123-1-2-3-1-2-31234OAADC、的位置，并写出他们的坐标:、；结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为已知两点D(1,-3)、E(-3,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．巩固提高：１、点Ａ（２，３）到x轴的距离为；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是。２、已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限３、已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为_____。４、三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-３，-1），B（1，２），C（-1，－２），三角形ABＣ的面积为．５、点P（ｘ-1，ｘ＋３），那么点P不可能在第象限。６、在平面直角坐标系中，点P（２，２）点Ｑ在ｙ轴上，△ＰＯＱ为等腰三角形，那么符合条件的Ｑ点有（）。５个B．４个C．３个D．２个．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC平移平移后三个顶点的坐标可能是（）A．（2，2），（3，4），（1，7）B．（-2，2），（4，3），（1，7）C．（-2，2），（3，4），（1，7）D．（2，-2），（3，3），（1，7）８、如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=．９、如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．１０、点A（0，1），点B（0，-4）,点C在x轴上，如果三角形ABC的面积为15，(1)求点C的坐标.(2)若点C不在x轴上，那么点c的坐标需满足什么样的条件（画图并说明）１１、我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为；

（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…则点P3、P8的坐标分别为、．

拓展延伸：

（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．

第七讲三角形典型例题：例1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<6例2．用12根等长火柴棒拼成一个三角形，不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数有.例3．下列结论不正确的是()A、三角形的三条高都在三角形的内部。B、三角形的三条角平分线一定都在三角形的内部。

C、三角形的三条中线一定都在三角形的内部。

D、直角三角形的一条高在三角形的内部，另两条高是直角三角形的两直角边。例4．直角三角形的两个锐角平分线所夹的角是.例5．若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于.例6．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条.例7．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为.例8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有个.（8）（9）（10）（11）例9．如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．例10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。例11．如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S△EBD：S△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH-GF=HG，其中正确结论的个数有例12．已知等腰三角形的周长是16cm．

（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；

（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；

（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例13．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A的度数。巩固提高：1、三角形中最大的内角不能小于，两个外角的和必大于。2、若一个三角形三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数的比为。3、已知a，b，c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|=．4、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围__________．5、如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．6、已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为__________．7、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：

（1）若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；

（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由8、已知：如图，∠B=34°，∠D=40°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．

（1）求∠M的大小．

（2）当∠B，∠D为任意角时，探索∠M与∠B，∠D间的数量关系，并对你的结论加以证明．9、直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

第八讲方程组与不等式典型例题：例1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．例2.已知方程组的解是，则方程组的解是例3.下列判断不正确的是（）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，则例4.若不等式组的解是x>3，则m的取值范围是.例5.若方程组的解满足条件0＜x+y＜1，则k的取值范围是.例6.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是.例7.若方程组的解为x、y，且2<k<4，求x-y的取值范围。例8.a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？例9.若不等式的解集为-1＜x＜1，求（a+1）（b-1）的值。例10.某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各28