10道经典球的接切问题及详解

试题是数学的心脏，思维是数学的灵魂PAGE第14页双语题库立体几何专题球的接切问题1.若三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为A.B.C.1D.答案：D.图解如下——解决球问题时，未必将球画出来，增强我们的空间想象能力.，即.2011-12-6wht2.已知正三棱椎的体积为，外接球球心为，且满足则正三棱锥的外接球的半径为A.B.C.D.答案：B，由得出球心O为△ABC的中心，于是锥高为球半径，故图2，推出.图23.已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为．，球心必然在过且垂直于平面ABC的垂线上，如图，，圆的半径可以通过正弦定理得到=2，于是球半径为.故球体积为已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S-ABC的体积为（2011辽宁高科理科12）（A）（B）（C）（D）16.将4个半径为1的球装入正四面体型容器内，则此容器的最小高度为.（2011届马瑞瑶问题）答案：.提示：分层处理——（1）最上层的小球相当于正四面体内切球，，而r=1，从而，所以此小球球心到四面体顶点距离为；（2）中间层是上层小球球心到下面三球球心距离为以2r为棱长的正四面体的高；（3）最下层是下层球心到底面距离为r=1.故整个大正四面体容器的最小高度为3++1=4+.说明：立体几何的接切问题最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.2011-12-6wht再解析7.在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（源自2012届育才高中部五模理科11题）A.B.C.D.答案：D.方法一：还原到几何体中——依据已知条件研究各个棱长得出SB=，联想到正方体的棱间关系，容易将图形还原到原几何体——正方体中.如图——问题迎刃而解.方法二：若是不能还原到正方体，我们也可以这样考虑：计算得出SO1在面ABC内的射影到O1的距离为1，即DO1=1，刚好为小圆的半径，∴SD为球的一条弦，计算其长度为.从而可求得球的半径为，下同上.点评：利用圆的截面性质找圆心是必须掌握的能力。．如图，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为（源自2012届育才双语高三理科最后一卷）A．B．C．D．变式训练：如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为（源自2013年高一期末检测题T12）A.B.C.D.答案：A.提示：补成长方体得解.9.一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为.答案：.设外接球半径为R，在△OO1A中有解得.∴.说明：在本题的解决上学生不易判定出球心在体外这一事实.2012-9-11wht10．高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（源自2011年重庆9题） A． B． C．1 D．答案：C.提示：由正方形边长为1及球半径为1得出球心到正方形的距离为，而锥高为，∴顶点S在球心O与正方形所在截面圆圆心O连线的中垂面上【不可能在其他位置的原因是】，如图，这样问题变得非常简单——答案与半径等长.2012-12-17wht再次输入典型例题1——球的截面例1球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．解：∵，，，∴，是以为斜边的直角三角形．∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，∴，得．∴球的表面积为．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．【练习】过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．由条件可抓住是正四面体，、、、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、、的截面圆半径，所以得．典型例题2——球面距离例2过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）．A．有且只有一个B．一个或无穷多个C．无数个D．以上均不正确分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．例3球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，求这个球的半径．分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为，小圆的半径为，则，∴．如图所示，设三点、、，为球心，．又∵，∴是等边三角形，同样，、都是等边三角形，得为等边三角形，边长等于球半径．为的外接圆半径，，．说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．例4、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？分析：、是球面上两点，球面距离为，转化为球心角，从而，由关系式，越小，越大，是过、的球的截面圆的半径，所以为圆的直径，最小．解：∵球面上、两点的球面的距离为．∴，∴．当成为圆的直径时，取最小值，此时，取最大值，，即球心与过、的截面圆距离最大值为．说明：利用关系式不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径与球心到截面的距离之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角有关，而球心角又直接与长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索．典型例题3——其它问题例5．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．=．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为，正方体的棱长为，它们的体积均为，则由，，由得．．．，即．典型例题4——球与几何体的切、接问题例7一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．解：如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高∵，，则以为底面直径的圆锥容积为，球取出后水面下降到，水体积为．又，则，解得．例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体的中心为，的中心为，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设，正四面体的一个面的面积为．依题意得，又即．所以．．说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间的关系即可．解：如图2，球心和在上，过，分别作的垂线交于．图2则由得．图2，．（1）设两球体积之和为，则==当时，有最小值．当时，体积之和有最小值．作业1.正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．解：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，∴．∴可以得到．由等体积法，∴得：，∴．∴．说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆．设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；，，∴，，，∴．3在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的表面积．分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，，且若、分别为两截面圆的圆心，则，．设球的半径为．∵，∴同理，∴设，则．在中，；在中，，∴，解得，∴，∴∴．∴球的表面积为．巧解外接球问题摘要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题，给出了特殊解法。关键词：巧解外接球问题《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；……。”由此可见，长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。一、直接法1、求正方体的外接球的有关问题例1（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是所以球的半径为.故该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.B.C.D.解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.二、构造法1、构造正方体例5（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是.(如图1)图2图2图1图1例6（2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱