第09章 三年高考真题与高考等值卷( 平面解析几何 )(理科数学)（解析版）

本章三年高考真题与高考等值卷(平面解析几何)(理科数学)

1.直线与方程

(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形,确定直线位置的几何要素.

(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，

了解斜截式与一次函数的关系.

(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

2.圆与方程

(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.

(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

3.圆锥曲线

(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

(4)了解圆锥曲线的简单应用.

(5)理解数形结合的思想.

4.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

1.【2019年天津理科05】已知抛物线f=4x的焦点为F,准线为/.若/与双曲线1(a>0,b>0)的两条

渐近线分别交于点4和点B,且|AB|=4|Ofl(O为原点)，则双曲线的离心率为()

A.B.C.2D.

【解答】解：；抛物线f=4x的焦点为立准线为/.

：.F(1,0),准线/的方程为x=-l,

_2

二=

与双曲线―b2-1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|0F|(。为原点)，

2b2b

=——=4

：.\AB\a,|OF|=1,/.Q,：.b=2a,

.=+b2=赛a

••cf

双曲线的离心率为e。

故选：D.

2.【2019年新课标3理科10】双曲线C：1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若

|PO|=|PP，则△PFO的面积为()

A.B.C.2D.3

x2y2

【解答】解：双曲线C：了一爹=1的右焦点为尸(必，0),渐近线方程为：yx,不妨P在第一象限，

=立

可得tan/PO厂2,P(,),

1^33^2

—xVr6x—=-----

所以△尸尸。的面积为：2Y2-4.

故选：A.

3.【2019年全国新课标2理科08】若抛物线)2=2px(p>0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p=()

A.2B.3C.4D.8

P

【解答】解：由题意可得：3p-p=(2)2,解得p=8.

故选：D.

4.【2019年全国新课标2理科11】设尸为双曲线C：1(«>0,^>0)的右焦点，0为坐标原点，以OF为

直径的圆与圆7+丁=.2交于尸，。两点.若|PQ|=|Of],则C的离心率为()

A.B.C.2D.

【解答】解：如图,

=号—2

由题意，把X*代入/+/=/,得pQ

H」.„2

再由|PQ|=|OF|,得，即2a2=c2,

—=2=—=^2

a2-，解得e°

故选：A.

5.【2019年新课标1理科10］已知椭圆。的焦点为Q(-1,0),F2(1,0),过户2的直线与。交于A,

B两点.若依尸2|=2|尸2用，\AB\^\BFi\,则C的方程为()

A./=1B.1

C.1D.1

【解答】解：V|AF2|=2|BF2|,：.\AB\=3\BF2\,

又H8|=|8FI|,A|BFI|=3|BF2|,

-5

又石尸1|+|3尸2|=2a,：.\BF2\

3

：.\AF2\^a,\BFt\2a

_1

A

在RtZkAFzO中，COSNAF2。.

_4+(1)2-(|a)2

在中，由余弦定理可得cosNB尸2尸1

14-2a2

根据COS/AF2O+COSNBF2FI=0，可得a+2a0,解得J=3,

h2=a2-C2=3-1=2.

92

xry-

所以椭圆c的方程为：T+T=i.

故选：B.

6.【2019年北京理科04】已知椭圆1(a>6>0)的离心率为，则()

A.。2=2后B.3。2=4廿C.a=2bD.3a=4b

£_1c21a2—b21

【解答】解：由题意，a-2,得二二*则a」=』

/.4a2-4廿=/,即3a2=4户.

故选：B.

7.【2019年浙江02】渐进线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）

A.B.1C.D.2

【解答】解：根据渐进线方程为x±y=0的双曲线，可得a=b,所以

=£=^2

则该双曲线的离心率为e°,

故选：C.

8.【2018年新课标1理科08】设抛物线C：夕=4x的焦点为凡过点（-2,0）且斜率为的直线与C交于

M,N两点，则・（）

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：抛物线C：的焦点为尸（1,0）,过点（-2,0）且斜率为的直线为：3y=2计4,

联立直线与抛物线C：，=4x,消去工可得：/-6y+8=0,

FM=（0,2）FN=（3,4）

解得弘=2,”=4,不妨A/（l,2）,N（4,4）,,

,FMFN=

则•（0,2）*（3,4）=8.

故选：D.

9.【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：丁=1,o为坐标原点，尸为C的右焦点，过尸的直线与C

的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形，则幽川=（）

A.B.3C.2D.4

二一=士电

【解答】解：双曲线C：3尸=1的渐近线方程为：），-3,渐近线的夹角为：60°,不妨设过尸（2,

0）的直线为:广召（*一2）,

则：b'h於（X—2）解得何（，一下），

j=的(x-2)解得:N(3,第),

贝3.

故选：B.

10.【2018年新课标2理科05】双曲线1(a>0,h>0)的离心率为，则其渐近线方程为()

A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x

=J=事

【解答】解：•.•双曲线的离心率为e°

即双曲线的渐近线方程为y=土x=±名，

故选：A.

11.【2018年新课标2理科12】已知乃，乃是椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点

P在过A且斜率为的直线上，△PQF2为等腰三角形，/Q&P=120°,则C的离心率为()

A.B.C.D.

【解答】解：由题意可知：A(-a,0),Fi(-c,0),Fi(c,0),

=立

直线AP的方程为：y-6(x+a),

由NF1F2尸=120°,\PF2\=\F\F2\=2C,则P(2C,弗C),

V3

代入直线AP：c-6(2c+“)，整理得：a=4c,

_C_1

...题意的离心率占一三

故选：D.

12.(2018年新课标3理科06】直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+/

=2±,则△A8P面积的取值范围是(

A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]

【解答】解：•・•直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,3两点,

，令4=0,得y=-2,令y=0,得x=・2,

?.A(-2,0),B(0,-2),依8|=-4+4=2迎

•.•点尸在圆(x-2)2+^=2上，.•.设P(2+缶°s8,岳吗,

.•.点P到直线x+y+2=0的距离：

_|2+Mcosg/sin0+2|_|七也(9±?+4|

d下^2,

,n|2sin(0+1)+4|

Vsin(5)G[-1,1],：.d~收6四叫,

：./\ABP面积的取值范围是：

故选：A.

13.【2018年新课标3理科11】设Q,乃是双曲线C：1(a>0.b>0)的左，右焦点，O是坐标原点.过

尸2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,若伊Q||OP|,则C的离心率为()

【解答】解：双曲线C：/一庐二1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为「可:,

•••点上到渐近线的距离d折2+7b,即|Pa|=4

..__,_____b

...|0P|7l%|2-回2|2=*-乒=08S/PF2。"

=V6

V|PFi|"|OP|,

在三角形F1P3中，由余弦定理可得|PFI『=|PF2/+|F产2『-2|P3|•尸产21cos/尸危0,

X—=

：.6a2=b1+4c1-2XhX2cc4c2-3Z?2=4c2-3(c2-«2),

即3“2=。2,

日口的

即a=c,

••af

故选：c.

14.【2018年浙江02】双曲线b=i的焦点坐标是()

A.(,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,),(0,)D.(0,-2),(0,2)

【解答】解：•••双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且7=3,廿=1,

由此可得。=蛇">=2,

,该双曲线的焦点坐标为(±2,0)

故选：B.

15.【2018年上海13】设P是椭圆1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()

A.2B.2C.2D.4

【解答】解：椭圆M+了=1的焦点坐标在X轴，a二君，

22

P是椭圆531上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2”、

故选：C.

16.【2018年天津理科07】已知双曲线1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双

曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为力和心，且力+小=6,则双曲线的

方程为()

A.1B.1

C.1D.1

【解答】解：由题意可得图象如图，8是双曲线的一条渐近线

=—x

ya,BPbx-ay=O,F（c,0）,

AC±CD,BD1,CD,FELCD,ACQ8是梯形，

_d^+d?_

产是A8的中点，EF23,

be_

EF标银b,

二一士=-=2

2-

所以6=3,双曲线a?b1（a>0,b>0）的离心率为2,可得。，

a2+b2

可得：a2=4,解得a=笆.

_22

则双曲线的方程为：T~T=i.

故选：c.

17.【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：夕=叙的焦点，过尸作两条互相垂直的直线/i，b，直

线/1与C交于A、8两点，直线/2与C交于。、E两点，则HBI+IQEI的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

【解答】解：如图，直线人与C交于4、8两点，

直线，2与C交于。、E两点，

要使依8|+|。£|最小，

则A与£>,B,E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1,

又直线b过点（1，0）,

则直线/2的方程为y=x-1,

y2=4x

（旷=*-1,则，-4y-4=0,

，yi+”=4,y\yi=-4,

|。£）=Jl+丁物-”「&X原=8,

的最小值为2|D£]=16,

n

7+

方法二：设直线/1的倾斜角为9,则/2的倾斜角为2。,

_2p_4

根据焦点弦长公式可得HBIsm29S讥29

-2p_2p=4

ICG$刖2（升8,COS20COS20

I"I4

二4十4二4二16

・\AB\+\DE\sm?。cos26sin20cos26sin-20

VO<sin220^1,

，当0=45°时，|A8|十|DE|的最小,最小为16,

故选：A.

18.【2017年新课标2理科09]若双曲线C：1（tz>0,b>0）的一条渐近线被圆（x-2）2+『=4所截得的

弦长为2,则。的离心率为（）

A.2B.C.D.

x2y2

【解答】解：双曲线C：靛一乒=1（心0,6>0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0,

圆（x-2）2+尸=4的圆心（2,0）,半径为：2,

广广

双曲线C：/■一记=1（a>0,6>0）的一条渐近线被圆（x-2）2+f=4所截得的弦长为2,

可得圆心到直线的距离为：源小人,

4c2-4a2

-=3

解得：c2,可得）=4,即《=2.

故选：A.

19.【2017年新课标3理科05】已知双曲线C1（ci>0,式>0）的一条渐近线方程为期，且与椭圆1有

公共焦点，则。的方程为（）

A.1B.1

C.1D.1

【解答】解：椭圆1231的焦点坐标（±3,0）,

则双曲线的焦点坐标为（±3,0）,可得c=3,

=_±==是

双曲线C：a2-b2-1（。＞0,方＞0）的一条渐近线方程为）二二,

（r-a25£_3

可得，即a?=Z,可得解得a=2,G器,

_22

所求的双曲线方程为：T-T=i.

故选：B.

20.【2017年新课标3理科10】已知椭圆C：1（〃＞匕＞0）的左、右顶点分别为4,A2.且以线段4A2为

直径的圆与直线法-ay+2必=0相切，则C的离心率为（）

A.B.C.D.

【解答】解：以线段AA2为直径的圆与直线以-ay+2H=0相切，

2ab

二原点到直线的距离Ja2+b2幻化为：/=3廿.

=£=卜_"=而

...椭圆C的离心率eau¥丁

故选：A.

21.【2017年浙江02】椭圆1的离心率是（）

A.B.C.D.

【解答】解：椭圆§+了=1,可得。=3,b=2,则0=的_4=钙,

c群

所以椭圆的离心率为：a=T

故选：B.

22.【2017年上海16】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆。：1和C2：?1.P为Ci上的动点，Q为C2

上的动点，w是的最大值.记Q={（P,。）|P在。上，。在C2上，且卬},则。中元素个数为（）

A.2个B.4个C.8个D.无穷个

x2y2y2

【解答】解：椭圆Cl：3641和。2：/9LP为。上的动点，Q为。2上的动点,

可设P(6cosa,2sina),Q(cosP，3sinP),OWa,p<2ir,

OP-0Q=

则6cosacosp+6sinasinp=6cos(a-p),

当a・0=2Kr,在Z时，卬取得最大值6,

OP・OQ=

则Q={(尸，。)『在Ci上，。在C2上，且w}中的元素有无穷多对.

另解：令P(m,n),Q(M,v),贝(I，〃2+9〃2=36,9w2+v2=9,

由柯西不等式(“P+9/)(9/J+p2)=3242(3mu+3nv)

当且仅当mv=9nu,取得最大值6,

显然，满足条件的尸、。有无穷多对，。项正确.

故选：D.

23.【2017年天津理科05】已知双曲线1(a>0,h>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)

两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()

A.1B.1

C.1D.1

=—=^2

【解答】解：设双曲线的左焦点F(-c,0),离心率e0

则双曲线为等轴双曲线，即“=〃，

双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,

_4-0_4

则经过尸和尸(0,4)两点的直线的斜率攵一阡2

-4=心

则c1,c=4,贝lja=6=2',

x2y2

二双曲线的标准方程：~Q~~Q=l

故选：B.

24.【2019年新课标3理科15】设尸I，七为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若

为等腰三角形，则M的坐标为.

x2y2

—+—=

【解答】解：设M（,",〃），m,n>0,椭圆C：36201的a=6,b=炉,c=4,

_c_2

=

e=a3,

由于M为C上一点且在第一象限，可得

△MF1F2为等腰三角形，可能附Fi|=2c或|MF2l=2c,

+2

即有6%n=8,即m=3,〃=屈；

_2

6'"?=8,即"?=-3V0,舍去.

可得M(3,后).

故答案为：(3,屈).

25.【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，Fz，过用的直

线与C的两条渐近线分别交于A，8两点.若，•()，则C的离心率为—.

【解答】解：如图，

且F$.W0,

：.OALF]B,

=9x+c）

则为8：y°,

|V=5（x+c）

，ba2cabc

联立U一1',解得8"2-。2,b2-a2）,

则F0=（旨+C）2+（有）2,F2B2=（舟—c）2+（片）2,

..（痣+炉+（占一h+2（盥>=4落

112122

整理得：b=3a,Ac-cr=3afBP4a=c,

（T2C

------4=—=2o

：..a_r21*,ea.

故答案为：2.

26.【2019年江苏07】在平面直角坐标系xOj中，若双曲线x?l（匕＞0）经过点（3,4）,则该双曲线的渐

近线方程是—.

2

_与=

【解答】解：•.•双曲线/b-।（/）＞0）经过点（3,4）,

22161

_TT=1_汨

：.b-,解得/=2,即

又4=1,...该双曲线的渐近线方程是）=±迎'I

故答案为：/任

27.【2019年浙江12】已知圆C的圆心坐标是（0,优），半径长是r.若直线-y+3=0与圆C相切于点A

（-2,-1）,则,r=.

【解答】解：如图，

m+1_1

由圆心与切点的连线与切线垂直，得三一一5,解得加=-2.

...圆心为（0,-2）,则半径尸J（一2-0*+（-1+2）2=钙

故答案为：-2,妈.

28.【2019年浙江15】已知椭圆1的左焦点为广，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原

点。为圆心，|。日为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

x2y2_2

【解答】解：椭圆丁+彳=1的。=3,广书,c=2,e~3,

设椭圆的右焦点为尸，连接尸尸，

线段尸尸的中点4在以原点。为圆心，2为半径的圆，

连接AO,可得|尸产|=2依。|=4,

二=正

设P的坐标为(血，几)，可得3’m=4,可得他，〃2,

由尸(-2,0),可得直线「厂的斜率为

=-^/15

故答案为：屈.

29.【2018年江苏08】在平面直角坐标系X。)，中，若双曲线1(«>0,6>0)的右焦点F(c,0)到一条渐

近线的距离为c,则其离心率的值为.

x2_b

【解答】解：双曲线/一乒=1(。>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线丫一入的距离为c,

=—=2

所以双曲线的离心率为：e。.

故答案为：2.

30.[2018年新课标3理科16]已知点M(-1,1)和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与

C交于A,8两点.若乙4MB=90°,则k=

【解答】解：：抛物线C：y2=4x的焦点F(I,0),

二过A,8两点的直线方程为y=k(x-I),

fy2=4x

联立G'=可得，RP-2(2+F)X+F=0,

设A(xi,y\),B(X2，”)，

:4+斗2

则X\+X2k~,XIX2=1T

_4

•-y\^yz=k(xi+x2-2),yi”=必(xi-1)(%2-1)=F[XIX2~(用+火)+1]=-4,

VM(-1,1),

•启=MB=

:.(xi+1,yi-1),(%2+l»yi~1)»

MAMB=

VZAMB=90°,/.0

/.(xi+1)(X2+1)+(yi-I)("-1)=0，

整理可得，x\X2+(xi+x2)+y\yi-(yi+.V2)+2=0,

,44

+L2-----E*+

A1+2k4k2=0,

即F-4攵+4=0,

：.k=2,

故答案为：2

31.【2018年浙江17】已知点尸(0,1),椭圆>2=机(加>i)上两点48满足2,则当机=时,

点3横坐标的绝对值最大.

【解答】解：设4(xi，yi),B(X2，”)，

AP=PB

由P(0,I),2,

可得-Xi=2x2，1-y\—2(>'2-1)，

即有用=-2x2,巾+2y2=3,

又短+4-2=47〃，

即为型:+)/=〃?，①

X22+4y22=4"?,②

①-②得(y\-2")(yi+2>2)=-3"?,

可得yi-2y2=-m.

_3-m_3+m

解得州一〒，”一一厂，

3—m

则m—x21+(2)2,

3—m——m2+10m—9_-(m-5)2+16

即有刈2=,〃-(2)244,

即有加=5时，X2?有最大值4,

即点8横坐标的绝对值最大.

故答案为：5.

32.【2018年上海02】双曲线f=i的渐近线方程为.

2

X2

----V=1

【解答】解：：双曲线4的a=2,h=\,焦点在x轴上

9_2

二-匚=1

而双曲线/一记"的渐近线方程为)，=土

X2]

2_X

・・・双曲线47的渐近线方程为丫=±2

1

-X

故答案为：y=±2

33.[2018年上海12】已知实数xi、42、yi、y2满足：xi2+yi2=l,%22+>22=1»RX2+yiy2,则的最大值为

【解答】解：设A(xi，y\),B(田，”)，

OA=OB=

（xi，yi）,（X2，＞2），

1

由x/+）,]2=],X22+J22=1，X\X2+y\y2"

可得A,3两点在圆/+y2=i上，

TT1

rOAOB==7

且•IXlXcos/AOBz,

即有乙408=60°,

即三角形OA8为等边三角形，

AB=1,

夜友的儿何意义为点A,B两点

到直线x+y-1=0的距离d\与di之和，

显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=l平行,

可设A8：x+y+f=0,(r>0),

=l£l

由圆心O到直线A8的距离4於，

口!==在

可得利21,解得「2,

1+专线+第

即有两平行线的距离为H2,

即一银——袤一的最大值为短+的,

故答案为：近+6.

34.【2018年北京理科14】已知椭圆M：1(a>b>0),双曲线N：I.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M

的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离

心率为.

V2y2L2厂2

【解答】解：椭圆M：a2+b2(a>b>0),双曲线N：m2n2若双曲线N的两条渐近线与椭圆

M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

123

£超2+£不-

可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(2,2)，可得：4a24b2，可得

可得-8/+4=0,<?e(0,1),

解得e=舂T.

n

同时，双曲线的渐近线的斜率为8,V3

即m

2.2

"r+n」

---------=4

可得：，即m2

_tm2+n2_

可得双曲线的离心率为2.

故答案为：门一1:2.

35.【2017年江苏08】在平面直角坐标系X。），中，双曲线丁=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点尸,

Q,其焦点是&，则四边形QPF2Q的面积是.

x23

【解答】解：双曲线51=1的右准线：2,双曲线渐近线方程为：y=±X,

所以「（，），Q（,2）,F1（-2,0）.F2（2,0）.

L4x书=6

则四边形QP&0的面积是：2*2V0.

故答案为：2g.

36.【2017年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0）,2（0,6）,点P在圆O：/+丁=50上.若

20,则点P的横坐标的取值范围是.

【解答】解：根据题意，设?（即，）2,则有7J+和2=5（）,

PA-PB=、、22

（-12-x（）»-）（））•（-x（）f6-yo）=（12+xo）x（）-yo（6-y（））=12x（）+6y+x（）+yo<20,

化为：12xo~6yo+30WO,

即Zro-M）+5<0,表示直线2x-附5=0以及直线上方的区域，

联立，解可得%（）=-5或不）=1,

结合图形分析可得：点P的横坐标X0的取值范围是[-56，1],

故答案为：[-5蜴，1].

37.【2017年新课标1理科15】已知双曲线C：1（。>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆心，〃为半径作

圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于〃、N两点.若NMAN=60°,则C的离心率为

【解答】解：双曲线C：a2b2一1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),

以A为圆心，。为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.

出

若/MAN=60°,可得A到渐近线版+ay=0的距离为：Z?cos30°?,

1abiq=递

可得：在京一2,即，可得离心率为：e~~.

故答案为：.

38.【2017年新课标2理科16】已知尸是抛物线C：尸=8》的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于

点N.若M为尸N的中点，则|FN|=.

【解答】解：抛物线C：)?=8x的焦点尸(2,0),M是C上一点，FM的延长线交y轴于点M若M为FN

的中点，

可知M的横坐标为：1,则M的纵坐标为：土2M，

J(l-Z)2+(±2^2-0)2=

\FN]=2\FM\=2^6.

故答案为：6.

39.【2017年上海06】设双曲线1(8>0)的焦点为人、尸2，P为该双曲线上的一点，若|PQ|=5,贝小尸尸2I

【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：5—户=1,

其中—眄=3,

则有IIPFilTP/211=6,

又由|//|=5,

解可得|尸尸2|=11或-1(舍)

故尸尸2|="，

故答案为：11.

40.【2017年北京理科09】若双曲线的离心率为，则实数加=

_日_

【解答】解：双曲线/一而一1（"?>o）的离心率为内，

四=有

可得：1,

解得m=2.

故答案为：2.

41.【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中4•的横、

纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作

时间和加工的零件数，i=l,2,3.

（1）记Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则。1,。2,Q中最大的是.

（2）记0为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则“，P2,P3中最大的是.

【解答】解：（1）若Q,•为第，•名工人在这一天中加工的零件总数，

Qi=Ai的纵坐标+Bi的纵坐标；

Q=A2的纵坐标+比的纵坐标，

。3=①的纵坐标+m的纵坐标，

由已知中图象可得：。1，02，。3中最大的是Q1，

（2）若Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，

则Pi为4囱中点与原点连线的斜率，

故PI，倦，P3中最大的是P2

故答案为：Q\>P2

42.【2019年天津理科18】设椭圆1Q>6>0）的左焦点为F,上顶点为艮已知椭圆的短轴长为4,离心

率为.

（I）求椭圆的方程；

（II）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴

上.若|ON|=|OQ（O为原点），且OP_LMM求直线尸8的斜率.

_£_,押

【解答】解：（I）由题意可得26=4,即。=2,次-庐=7,

解得a=有,c=L

—+-=

可得椭圆方程为541；

(II)B(0,2),设P3的方程为y=kt+2,

代入椭圆方程4X2+5.V2=20,

可得(4+5A2)/+20­=0,

20k

解得J4+5k2或*=0,

20k8-10—

即有p(4+5H4+59),

_2

y=kx+2,令y=0,可得&0),

又N(0,-1),OPLMN,

2

_8_-10_kT-J-L__

可得-20k•十|,解得人=土，

可得PB的斜率为土.

43.【2019年新课标3理科21】已知曲线C：»。为直线y上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为

A,B.

(1)证明：直线A8过定点；

(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形AQBE的面积.

=x2

【解答】解：(1)证明：y-0的导数为y=x,

=江=三

设切点A(xi，y\),B(%2，＞2)，即有yi2,”2，

•X12

切线DA的方程为y-yi=xi(x-x\),即为2,

2

x2

切线DB的方程为y=x2x2,

_1

联立两切线方程可得X-之(X1+X2),

可得y41X2，即用无2=-1，

2

_口_%—-2

直线A8的方程为y.xi-x2(x-xi),

_fi!=I

即为y22(R+X2)(x-xi),

=;+;

可化为y/(xi+%2)xJ

可得AB恒过定点(0,)；

(2)法一：设直线A8的方程为2,

由(1)可得X|+X2=2Z,X\X2=-1，

A8中点”a,必Z),

由H为切点可得E到直线AB的距离即为|E4|,

可舄

解得左=0或上=±1,

即有直线A8的方程为『;或y=±J：

=5=yX

由y乙可得依8|=2,四边形4OBE的面积为SAAB酎SZWF。Z2X(1+2)=3；

由丫=±、+之，可得忸用=/钉・丫川=4,

11+另।后

此时。(±1,)到直线AB的距离为

E(0))到直线A8的距离为

则四边形4O8E的面积为SAM广5沙8。一X(变+交)=4A

法二：

(2)由(1)得直线AB的方程为y=a2.

，y=•tx上+21

'"2

由力一三,可得7-2拄-1=0.

于是R+X2=27，X\XZ=-1,y\^yz=t(xi+%2)+1=2尸+1,

以力=稽1+12.］一二2|=41+愣乂4(必+「2)2-4工/2=2(p+1).

2

设42分别为点O,E到直线48的距离，则由=y.+1,di花率.

1____

因此，四边形AO8E的面积S2|AB|(J1+J2)=(P+3)招彳工

，+;

设M为线段AB的中点，则M(f,r22).

EM1ABEM=(t,t2-2)AB一,

由于，而，与向量(1,t)平行，所以r+(r2-2)f=0.解得―0或/=±1.

当r=0时，S=3；当才=±1时，S=4近.

综上，四边形AO8E的面积为3或4出.

44.【2019年全国新课标2理科21】已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM

的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,。两点，点尸在第一象限，PELx轴，垂足为E,连结QE并延长交C

于点G.

(i)证明：△尸QG是直角三角形；

⑺）求△PQG面积的最大值.

yx_2___1

【解答】解：（1）由题意得x+2Xx-2-2,

整理得曲线C的方程：—4+—2=1㈠（y工0乙）

・・・曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆;

（2）

（i）设P（x（）,yo）,则Q（7（）,-乂）），

E（xo，0）,G（XG，）9），

y=^-(x-xo)

・♦・直线QE的方程为:

x2y2

与了+了=1联立消去y,

2222

得(现2+y02)x2-2x0y0x+XQy0-8xo=0

_^o2yo；-8xo2

...-G-温+)，02,

„_(8-yo2)^o

4—

yo，102r2)

.=翡(%G-x0)=ti

ZxJ+yJ

)'G-y。

XQ-XQ

4x2,2

yo(-o->o)_„

-*7,J0

~o**0

2323

4yo-yoxo-yo-2yoxo-yo

8XL0yJ_2XJ-XQ，/

22

yo(4-3