高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册教材例题+练习+课后习题

第高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念例1用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程的所有实数根组成的集合.例2试分别用描述法和列举法表示下列集合:(1)方程的所有实数根组成的集合;(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合.练习1.判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1)是平面内的定点,在平面内与等距离的点;(2)高中学生中的游泳能手.2.用符号“”或“”填空:0_________N;0.5__________Z;____Q；____R.3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程的所有实数根组成的集合;(2)一次函数与图象的交点组成的集合;(3)不等式的解集.习题1.11.用符号“”或“”填空:(1)设为所有亚洲国家组成的集合,则中国_____,美国______,印度_____,英国______A；(2)若,则1____A；(3)若,则3____;(4)若,则8____C,9.1____C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;(2);(3).3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1);(2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数;(3);(4)中国古代四大发明.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数的函数值组成的集合;(2)反比例函数的自变量的取值组成的集合;(3)不等式的解集.1.2集合间的基本关系例1写出集合的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 例2判断下列各题中集合是否为集合的子集,并说明理由:(1)是8的约数;(2)是长方形是两条对角线相等的平行四边形.练习1.写出集合的所有子集.2.用适当的符号填空:(1)_____;(2)0_____;(3)_____(4)______N;(5)_____;(6)______.3.判断下列两个集合之间的关系:(1);(2);(3)是4与10的公倍数.习题2.11.选用适当的符号填空:(1)若集合,则_______A,{2}_______；(2)若集合,则1____A，____A，____________A；(3)是菱形_____是平行四边形;是等腰三角形______是等边三角形.2.指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：是四边形是平行四边形是矩形是正方形.3.举出下列各集合的一个子集:(1)是立德中学的学生;(2)是三角形;(3);(4).4.在平面直角坐标系中,集合表示直线,从这个角度看,集合表示什么?集合之间有什么关系?5.(1)设,若,求的值;(2)已知集合,若,求实数的取值范围.1.3集合的基本运算交集与并集例1设,求.例2设集合,集合,求.例3立德中学开运动会,设定立德中学高一年级参加百米赛跑的同学,是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学,求.例4设平面内直线上点的集合为,直线上点的集合为,试用集合的运算表示的位置关系.练习1.设,求.2.设,求.3.设是等腰三角形是直角三角形,求.4.设是幸福农场的汽车是幸福农场的货车,求.补集例5设是小于9的正整数,求,.例6设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形,求.练习1已知,求.2.设是平行四边形或梯形是平行四边形是菱形是矩形,求.3.图中是全集,是的两个子集,用阴影表示:(1);(2).

习题1.31.集合,求.2.设是小于9的正整数.求,.3.学校开运动会,设是参加100m跑的同学是参加200m跑的同学,是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：(1);(2).4.已知集合,求,.5.设集合,求.6.已知全集,试求集合.1.4.1充分条件与必要条件例1下列"若,则"形式的命题中,哪些命题中的是的充分条件?(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似;(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;(4)若,则；(5)若,则;(6)若为无理数,则为无理数.例2下列"若,则"形式的命题中,哪些命题中的是的必要条件?(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;(4)若,则；(5)若,则;(6)若为无理数,则为无理数.练习1.下列"若,则"形式的命题中,哪些命题中的是的充分条件?(1)若平面内点在线段的垂直平分线上,则;(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等;(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.2.下列"若,则"形式的命题中,哪些命题中的是的必要条件?(1)若直线与有且仅有一个交点,则为的一条切线;(2)若是无理数,则也是无理数.3.如图,直线与被直线所截,分别得到了和.请根据这些信息,写出几个""的充分条件和必要条件.1.4.2充要条件例3下列各题中,哪些是的充要条件?(1):四边形是正方形,:四边形的对角线互相垂直且平分;(2)两个三角形相似，：两个三角形三边成比例;(3);(4)是一元二次方程的一个根,.例4已知:的半径为,圆心到直线的距离为.求证:是直线与相切的充要条件.练习1.下列各题中,哪些是的充要条件?(1)三角形为等腰三角形,三角形存在两角相等;(2)内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等；(3)为空集，与之一为空集.2.分别写出"两个三角形全等"和"两个三角形相似"的几个充要条件.3.证明:如图,梯形为等腰梯形的充要条件为.习题1.41.举例说明:(1)是的充分不必要条件;(2)是的必要不充分条件；(3)是的充要条件.2.在下列各题中，判断是的什么条件（请用"充分不必要条件""必要不充分条件""充要条件""既不充分也不必要条件"回答)；(1):三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形；(2):一元二次方程有实数根,；(3);(4);(5).3.判断下列命题的真假:(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件；(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；(3)是的必要不充分条件;(4)或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件。4.已知满足条件满足条件,(1)如果,那么是的什么条件?(2)如果,那么是的什么条件?(3)如果,那么是的什么条件?5.设.证明:的充要条件是.6.设分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过米,如果,那么为直角三角形（勾股定理的股定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长分别给出为直角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.1.5.1全称量词与存在量词例1判断下列全称量词命题的真假：(1)所有的素数都是奇数;(2);(3)对任意一个无理数也是无理数.例2判断下列存在量词命题的真假:(1)有一个实数,使；(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.练习1.判断下列全称量词命题的真假:(1)每个四边形的内角和都是；(2)任何实数都有算术平方根；(3)是无理数是无理数。2.判断下列存在量词命题的真假：(1)存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;(2)至少有一个整数，使得为奇数；(3)是无理数是无理数。1.5.2全称量词命题和存在量词命题例3写出下列全称量词命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;(3)对任意的个位数字不等于3.例4写出下列存在量词命题的否定:(1);(2)有的三角形是等边三角形;(3)有一个偶数是素数.例5写出下列命题的否定，并判断真假：(1)任意两个等边三角形都相似；(2).练习1.写出下列命题的否定:(1);(2)任意奇数的平方还是奇数;(3)每个平行四边形都是中心对称图形.2.写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数,它的绝对值不是正数.习题1.51.判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数的平方是正数;(4)梯形的对角线相等.2.判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数是4的倍数.3.写出下列命题的否定:(1);(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0;(3);(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.4.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)平面直角坐标系下每条直线都与轴相交；(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;(3)存在一个三角形，它的内角和小于；(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.5.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定：(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形；(4)一元二次方程不总有实数根.6.在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假.在数学中，有很多"若，则"形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：(1)若,则；（假命题）(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)这里，命题(1)(2)都是省略了量词的全称量词命题.(1)有人认为，(1)的否定是"若，则，(2)的否定是"若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等".你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题(1)(2)的否定.(2)请你列举几个"若,则"形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.复习参考题11.用列举法表示下列集合:(1);(2);(3).2.设表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形?(1)是两个不同定点)；(2)(是定点).3.设平面内有,且表示这个平面内的动点,指出属于集合的点是什么.4.请用"充分不必要条件""必要不充分条件""充要条件""既不充分也不必要条件"填空：(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的__________________;(2)是的__________________;(3)是的__________________;(4)为无理数是为无理数的__________________.5.已知是实数,判断下列命题的真假:(1)""是""的充分条件()(2)""是""的必要条件()(3)""是""的充分条件()(4)""是""的必要条件()6.用符号""与""表示下列含有量词的命题,并判断真假:(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数，二次函数的图像关于轴对称;(3)存在整数,使得；(2)存在一个无理数，它的立方是有理数。7.写出下列命题的否定,并判断它们的真假:(1),一元二次方程有实根;(2)每个正方形都是平行四边形;(3);(4)存在一个四边形，其内角和不等于.8.已知集合,求,并解释它们的几何意义.9.已知集合,是否存在实数,使得?若存在,试求出实数的值；若不存在，请说明理由.10.把下列定理表示的命题写成含有量词的命题：(1)勾股定理；(2)三角形内角和定理.11.学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?12.根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:(1),,,,,(2)如图,在中,与分别为与边上的高,则与所在的直线交于一点.第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?(1)某路段限速;(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于,蛋白质的含量应不少于;(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收人不低于20万元?例1比较和的大小.练习1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)与的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长(单位:m)大于宽(单位:m)的4倍.2.比较和的大小.3.已知,证明.例2已知,求证.练习1.证明不等式性质.2.用不等号""或""填空:(1)如果,那么_____；(2)如果,那么____;(3)如果,那么;(4)如果,那么.习题2.11.举出几个现实生活中与不等式有关的例子.2.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元.列出不等式表示"经过年之后，方案B的投人不少于方案A的投人".3.比较下列各组中两个代数式的大小:(1)与;(2)与;(3)当时,与；(4)与.4.一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2。试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用和分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）。5.已知,求的取值范围.6.证明:.7.已知,求证.8.下列命题为真命题的是().(A)若,则 (B)若,则(C)若,则 (D)若,则 9.证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.并据此说明,人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.10.已知克糖水中含有克糖,再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.11.已知,求证.12.火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t.现计划用两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？2.2基本不等式例1已知,求的最小值.例2已知都是正数,求证:(1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值;(2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值.练习1.已知,求证.2.已知都是正数,且,求证:(1);(2).3.当取什么值时,取得最小值?最小值是多少?4.已知,求的最大值.5.已知直角三角形的面积等于,当两条直角边的长度各为多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少?例3（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少?例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?练习1.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?2.用一段长为30m的简笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m.当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?3.做一个体积为,高为2m的长方体纸盒,当底面的边长取什么值时,用纸最少?4.已知一个矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为多少时,旋转形成的圆柱的侧面积最大?习题2.21.(1)已知,求的最小值;(2)求的最大值.2.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小?（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大?3.某公司建造一间背面靠墙的房屋,地面面积为,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元。如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?4.已知都是正数,求证:.5.已知,求证:的最大值是.6.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客。你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？8.设矩形的周长为24cm,把沿向折叠,折过去后交于点.设,求的最大面积及相应的值.2.3二次函数与一元二次方程、不等式问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m,围成的矩形区域的面积要大于,则这个矩形的边长为多少米?例1求不等式的解集.例2求不等式的解集.例3求不等式的解集.练习1.求下列不等式的解集:(1);(2);(3);(4);(5);(6).2.当自变量在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1);(2);(3);(4).例4一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?例5某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位:m)和汽车刹车前的车速(单位:)之间有如下关系:在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)?练习1.是什么实数时,有意义?2.如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米?3.某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收人,应怎样制定这批削笔器的销售价格?习题2.31.求下列不等式的解集:(1);(2);(3);(4).2.是什么实数时，下列各式有意义？(1);(2).3.已知,求.4.一名同学以初速度竖直上抛一排球,排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？(若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系,其中)5.已知集合,求.6.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东方向600km处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计,从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？3.1.1函数的概念例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如,正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式来描述.练习1.一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度(单位:m)与时间（单位:s）的关系为，求所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.2.2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.(教材64页)(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域;(2)根据图象,求这一天12时所对应的温度.3.集合与对应关系如下图所示:是否为从集合到集合的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？4.构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式来描述.例2已知函数,(1)求函数的定义域;(2)求的值；(3)当时,求的值.例3下列函数中哪个与函数是同一个函数?(1);(2)；(3);(4).练习1.求下列函数的定义域:(1);(2).2.已知函数,(1)求的值;(2)求的值.3.判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由:(1)表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数;(2)和.3.1.2函数的表示法例4某种笔记本的单价是5元,买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.例5画出函数的图象.例6给定函数,(1)在同一直角坐标系中画出函数的图象;(2),用表示中的最大者,记为例如,当时,.请分别用图像法和解析法表示函数.练习1.如图,把直截面半径为25cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料,如果矩形的一边长为(单位:cm),面积为(单位:),把表示为的函数.2.画出函数的图象.3.给定函数,(1)画出函数的图象;(2),用表示中的最小者,记为,请分别用图象法和解析法表示函数.例7下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析例8依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数 应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收人额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除一依法确定的其他扣除.其中,"基本减除费用"（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表：（1）设全年应纳税所得额为，应缴纳个税税额为,求,并画出图象;（2）小王全年综合所得收人额为117600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收人额的比例分别是,,专项附加扣除是9600元,依法确定其他扣除是560元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税？练习1.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事.(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;(2)我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;(3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.2.某市"招手即停"公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5km以内（含5km），票价2元；(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）。如果某条线路的总里程为20km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象习题3.11.求下列函数的定义域:(1);(2);(3);(4).2.下列哪一组中的函数与是同一个函数?(1)；(2);(3).3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域、值域:(1)；(2);(3);(4).4.已知函数,求的值.5.已知函数,(1)点在的图像上吗?(2)当时,求的值.(3)当时,求的值.6.若,且,求的值.7.画出下列函数的图像:(1)(2).8.如图,矩形的面积为10.如果矩形的长为,宽为,对角线为,周长为,那么你能获得关于这些量的哪些函数?9.一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在向容器内每秒注入某种溶液.求容器内溶液的高度(单位:cm)关于注入溶液的时间（单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域.10.一个老师用5分制对数学作业评分.一次作业中,第一小组同学按座位序号,6的次序,得分依次是.你会怎样表示这次作业的得分情况?用分别表示序号和对应的得分,是的函数吗?如果是,那么它的定义域、值域和对应关系各是什么?11.函数的图象如图所示,(1)函数的定义域、值域各是什么?(2)取何值时，只有唯一的值与之对应?12.画出定义域为,且,值域为的一个函数的图象.(1)将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？(2)如果平面直角坐标系中点的坐标满足,那么其中哪些点不能在图象上?13.函数的函数值表示不超过的最大整数,例如,.当时,写出函数的解析式,并画出函数的图象.14.构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式来描述.15.如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是2km,从点沿海岸正东12km处有一个城镇.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点的距离.请将表示为的函数.(2)如果将船停在距点处,那么从小岛到城镇要多长时间（精确到0.1h)?16.给定数集,方程（1）任给，对应关系使方程(1)的解与对应，判断是否为函数；（2）任给，对应关系使方程(1)的解与对应，判断是否为函数.17.探究是否存在函数满足条件:（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同。18.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率小数点后第位上的数字为,那么你认为是的函数吗?如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系;如果不是,请说明理由.3.2函数的基本性质3.2.1函数单调性与最值例1根据定义,研究函数的单调性.例2物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积减小时,压强将增大.试对此用函数的单调性证明.例3根据定义证明函数在区间上单调递增.练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.2.根据定义证明函数是增函数.3.证明函数在区间上单调递增.4.画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域是什么?(2)它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论.例4"菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位:m)与时间(单位:s)之间的关系为,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?例5已知函数,求函数的最大值和最小值.练习1.整个上午（8：00～12：00）天气越来越暖，中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00～20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.2.设函数的定义域为.如果在区间上单调递减,在区间上单调递增,画出的一个大致的图象,从图象上可以发现是函数的一个____________.3.已知函数,求函数在区间上的最大值和最小值3.2.2函数的奇偶性

例6判断下列函数的奇偶性:

(1)fx=x4;(2)fx=x5;练习

1.已知fx是偶函数,gx是奇函数,试将下图补充完整.2.判断下列函数的奇偶性:

(1)fx=2x4+3x3.(1)从偶函数的定义出发,证明函数y=fx是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;

(2)从奇函数的定义出发,证明函数y=fx习题3.2

1.根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.

2.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数y=fx的单调区间及在每一单调区间上的单调性.

(1)y=x2-5x-6;3.证明:

(1)函数fx=-2x+1(2)函数fx=x2(3)函数fx=1-1x4.某汽车租赁公司的月收益y(单位:元)与每辆车的月租金x(单位:元)间的关系为y=-x250+5.判断下列函数的奇偶性:

(1)fx=x2+1;6.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象(示意图).

7.已知函数fx=x2-2x,gx=x8.(1)根据函数单调性的定义证明函数y=x+9x在区间3(2)讨论函数y=x+9x在区间0+∞(3)讨论函数y=x+kx(k>0)在区间9.设函数y=fx的定义域为D,区间I⊆D,记Δx=x1-x2,Δy=fx1-fx2.证明:

(1)(2)函数y=fx在区间I上单调递减的充要条件是:∀x1,x210.如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30m,那么宽x(单位:m)为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少?

11.已知函数fx是定义域为R的奇函数,当x⩾0时,fx=x1+x.画出函数12.已知函数fx是偶函数,而且在0+∞上单调递减,判断fx在13.我们知道,函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点Pab成中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a-b为奇函数.

(1)求函数fx=3.3幂函数例证明幂函数是增函数.

练习

1.已知幂函数y=fx的图象过点(2,22.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:

(1)-1.53,-1.43;3.根据单调性和奇偶性的定义,讨论函数fx=

习题3.3

1.画出函数y=|x|的图象,并判断函数的奇偶性,讨论函数的单调性.

2.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量v（单位：cm3/s）与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.

(1)写出气体流量v关于管道半径(2)若气体在半径为3cm的管道中，流量为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量(3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到1cm33.试用描点法画出函数fx

3.4函数的应用(一)例1设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同,全年综合所得收入额为x(单位:元),应缴纳综合所得个税税额为y(单位:元).

(1)求y关于x的函数解析式;

(2)如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税?

例2一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的关系如图所示,(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位:km)与时间t的函数解析式,并画出相应的图像.

练习

1.若用模型y=ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(单位:m)与刹车时的速率x(单位:km/h)的关系,而某种型号的汽车在速率为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20m.在限速为100km/h2.某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大?

3.某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2500元,每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去,则

（1）设总成本为y1(单位：万元)，单位成本为y2(单位：万元），销售总收人为y3(单位：万元）,总利润为y4(单位:万元),分别求出它们关于总产量习题3.4

1.某人开汽车以60km/h的速率从A地到150km远处的B地,在B地停留1h后,再以50km/h的速率返回A地.把汽车与A地的距离x(单位:km)表示为时间t(单位:h)(从A地出发时开始)的函数;再把车速v(单位:km/h)表示为时间t的函数,并分别画出这两个函数的图象.

2.要建造一个容积为1200m3,深为6m的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为95元/m2,池底的造价为135元/3.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行"阶梯水价".计费方法如下表:若某户居民本月交纳的水费为48元,求此户居民本月用水量.

4.图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.(1)试说明图(1)上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义;

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图(2)（3）所示.你能根据图象,说明这两种建议是什么吗?

5.下表是拉力F(单位:N)与弹簧伸长长度x(单位:cm)的相关数据:F12345x14.228.841.357.570.2描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象,并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.

复习参考题3

1.求下列函数的定义域:

(1)y=x-2x+5;(2)y=2.已知函数fx=1-x1+x,求:

(1)fa+13.设fx=1+x21-x2,求证:4.已知函数fx=4x2-kx-8在5.已知幂函数y=fx的图象过点226.某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R(单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：R=（1）将利润P(单位:元)表示为月产量x的函数;

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

7.已知函数f(x)={x(x+4),x⩾0,x(x-4),x<0,求f8.证明：(1)若fx=ax+b,则f(2)若gx=x29.(1)已知奇函数fx在ab上单调递减,那么它在-b(2)已知偶函数gx在ab上单调递减，那么它在-b10.某地区上年度电价为0.8元/kW⋅h，年用电量为akW⋅h，本年度计划将电价下降到0.55/至0.75元/kW⋅h之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅h.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区的电力成本价为0.3元/kW⋅h。

(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元）关于实际电价x（单位：元/kW⋅h）的函数解析式；（收益=实际电量×（实际电价一成本价））

(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%11.经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴来表示产品数量(因变量).下列供求曲线,哪条表示厂商希望的供应曲线,哪条表示客户希望的需求曲线?为什么?

12.试讨论函数y=x-1x13.如图,ΔOAB是边长为2的正三角形,记ΔOAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为ft.试求函数y=ft的解析式,并画出函数y=ftx⋯30404550⋯y⋯6030150⋯14.某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下表所示的关系.(1)根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点,根据画出的点猜想y与x之间的函数关系,并写出一个函数解析式;

(2)设经营此商品的日销售利润为P(单位:元),根据上述关系,写出P关于x的函数解析式,并求销售单价为多少元时,才能获得最大日销售利润.4.1指数

4.1.1n次方根与分数指数幂

例1求下列各式的值:

(1)3-83;(2)-102;(3)43-π4;例2求值:

(1)823;(2)16例3用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）:

(1)a2⋅3a2;例4计算下列各式(式中字母均是正数):

(1)2a23b12(3)3a2练习

1.用根式的形式表示下列各式(a>0):

(1)a12;(2)a34;(3)a-32.用分数指数㟦的形式表示并计算下列各式:

(1)3x2(x>0);(2)(3)p6p5(p>0);3.计算下列各式:

(1)364932;(2)(3)a12a14a4.1.2无理数指数幂及其运算性质

练习

1.计算下列各式:

(1)23m323;2.利用计算工具,探究下列实数指数幂的变化规律:

(1)x取负实数,使得|x|的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的2xx∈R(2)x取正实数,使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的12x习题4.1

1.求下列各式的值:

(1)41004;(2)5-0.15(3)π-42;2.选择题

(1)设a>0，则下列运算中正确的是（）.

(A)a13a34=a(B)a÷a23=a32(C)a23a-23=0(D)a144=a

(2)设a>0,m,n4.用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均为正数）：

（1）b3aa2b6;(2)a5.计算下列各式（式中字母均为正数）：

(1)a13a34a712;(2)a236.如果在某种细菌培养过程中,细菌每10min分裂1次(1个分裂成2个),那么经过1h,1个这种细菌可以分裂成____________7.(1)已知10m=2,10n=3,求103m-2n2的值;8.已知a12+a-12=3,求下列各式的值:9.从盛有1L纯酒精的容器中倒出13L,然后用水填满;再倒出13L,又用水填满⋯⋯

(1)连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？

(2)10.(1)当n=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,⋯时，用计算工具计算1+1nn(2)当n越来越大时，1+1nn的底数越来越小，而指数越来越大，那么1+14.2指数函数

4.2.1指数函数的概念

例1已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f3=π,求例2(1)在问题1(教材111页)中,如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入,A地景区的门票价格为150元,比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况.

(2)在问题2(教材113页)中,某生物死亡10000年后,它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几?

练习

1.下列图象中,有可能表示指数函数的是().

2.已知函数y=fx,x∈R,且f0=3,3.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(可以使用计算工具)

4.2.2指数函数的图象和性质

例3比较下列各题中两个值的大小:

(1)1.72.5,1.73;(2)0.8-2例4如图,某城市人口呈指数增长.

(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）;

(2)该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?

练习

1.在同一直角坐标系中画出函数y=3x和y=2.比较下列各题中两个值的大小:

(1)62,72;(2)0.3-3.5,3.体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晚期就急剧增加,画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.

习题4.2

1.求下列函数的定义域:

(1)y=23-x；(2)y=32x+1;(3)y=122.一种产品原来的年产量是a件,今后m年内,计划使产量平均每年比上一年增加p%,写出年产量y(单位:件)关于经过的年数x的函数解析式.

3.比较满足下列条件的m,n的大小:

(1)2m<2n；(2)0.2m<0.2n;(3)a4.设函数fx=Q01+rx,且f10=20.23,f11=23.26.5.求下列函数可能的一个解析式:

(1)函数fx的数据如下表:(2)函数gx012f3.504.205.046.比较下列各题中两个值的大小:(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;7.当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个"半衰期"后,那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗?

8.按复利计算利息的一种储蓄,本金为a(单位:元),每期利率为r,本利和为y(单位:元),存期数为x.

(1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式;

(2)如果存人本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.

9.已知函数y=a12|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交.

(1)求该函数的解析式,并画出图象;10.已知f(x)=ax,g(x)=(1a)x(a>0,且a≠1),

(1)讨论函数fx和gx4.3对数

4.3.1对数的概念

例1把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:

(1)54=625;(2)2-6=164(4)log1216=-4;(5)lg0.01=-2;例2求下列各式中x的值:

(1)log64x=-23;(2)logx8=6;(3)lg练习

1.把下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:

(1)23=8;(2)e3=m；(4)log39=2；(5)lgn=2.3;(6)2.求下列各式的值:

(1)log525;(2)log0.41;(3)ln1e3.求下列各式中x的值:

(1)log13x=-3;(2)logx49=4;(3)lg0.00001=x4.3.2对数的运算

例3求下列各式的值:

(1)lg5100;(2)log例4用表示.例5尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M,2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?练习

1.求下列各式的值:

(1)log327×92；(2)lg5+lg2;(3)2.用lgx,lgy,lgz表示下列各式:

(1)lgxyz;(2)lgxy2z3.化简下列各式:

(1)log23×log34×log4习题4.3

1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：

(1)3x=1；(2)4x=16;(3)10(5)x=log527;(6)x=log713;(7)2.选择题

(1)使式子log2x-12-x有意义的x的取值范围是().

(A)x>2(B)x<2(C)12<x<2(D)12<x<2,且x≠1

(2)若lg⁡a(a>0)与lg⁡b(b>0)互为相反数,则()。

(A)a+b=0(B)a-b=0(C)ab=1(D)ab=1

3.求下列各式的值:(4)2log525-3log264;(5)log4.求满足下列条件的x的值:

(1)lnx=lna+lnb；(3)logax=12loga5.已知lg2=a,lg3=b,求下列各式的值:

(1)lg6;(2)log34;(3)log6.求满足下列条件的各式的值:

(1)若xlog34=1,求4x+4-x的值;7.证明：

(1)logab⋅logbc⋅log8.某地GDP的年平均增长率为6.5%,按此增长率,多少年后该地GDP会翻两番?

9.我们可以把1+1%365看作每天的"进步"率都是1%，一年后是1.01365；而把看作每天的"落后"率都是1%，一年后是0.99365。利用计算工具计算并回答下列问题：

(1)一年后"进步"的是"落后"的多少倍?

(2)10.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL。如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？

4.4对数函数

4.4.1对数函数的概念

例1求下列函数的定义域：

(1)y=log3x2；(2)y=例2假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过t年后的物价为w.

(1)该地的物价经过几年后会翻一番?

(2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律.练习

1.求下列函数的定义域:

(1)y=ln1-x；(2)y=1lgx;(3)y=log712.画出下列函数的图象:

(1)y=lg10x；3.已知集合A={1,2,3,4,…},集合,下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是_________.

①(1)y=2x；②y=x2;③y=log2x;4.4.2对数函数的图象和性质

例3比较下列各题中两个值的大小:

(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log例4溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lgH+,其中H+表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(2)已知纯净水中氢离子的浓度为H+=练习

1.在同一直角坐标系中画出函数y=log3x和2.比较下列各题中两个值的大小:

(1)lg0.6,lg0.8;(2)log0.56,log0.543.某地去年的GDP(国内生产总值)为3000亿元人民币,预计未来5年的平均增长率为6.8%.

(1)设经过x年达到的年GDP为y亿元,试写出未来5年内,y关于x的函数解析式;

(2)经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币?

4.4.3不同函数增长的差异

练习x051015202530y51305051130200531304505y5901620291605248809447840170061120y53055801051301551.三个变量y1,y2,其中关于x呈指数增长的变量是_______.2.(1)(2)(3)分别是函数y=3x和y=5x在不同范围的图象,借助计算工具估算出使3x>5x的x3.如图,对数函数y=lgx的图象与一次函数y=fx的图象有A,B两个公共点.求一次函数y=f4.函数y=fx的图象如图所示,则y=fx可能是().

(A)y=1-x-1,x∈0+∞(B)y=3习题4.4

1.求下列函数的定义域:

(1)y=3log2x;2.比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:

(1)log3⁡m<log3n;(3)loga⁡m<loga⁡n(0<a<1);3.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln1+Mm4.函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示,

(1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么;

(2)5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=12log3O1006.在2h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减。能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）。

7.判断下列各对函数是否互为反函数.若是,则求出它们的定义域和值域:

(1)y=lnx,y=ex;8.设y=fx表示摄氏温度为x时,华氏温度为y,

(1)如果函数y=fx的反函数是y=gx,那么y