高中新课标数学基础知识汇编

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第一部分集合与简易逻辑

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？

还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；

2.藜形结令是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦

恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方

法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中。注意。是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集。注意补集思想的应用(反证法，对立事件，排除法等)。

3.(1)含n个元素的集合的子集数为2、真子集数为2n—l；非空真子集的数为2<2；

(2)A===注意：讨论的时候不要遗忘了A=。的情况;

(3)G(4U5)=(GA)A(G5)；G(ACl8)=(GA)U(GB)。

4.四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若「p则「q；⑷逆否命题：若「q则「p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其逆

否命题的真假

5.充要条件的判断：

(1)定义法—-正、反方向推理；

(2)利用集合间的包含关系：例如：若AqB,则A是B的充分条件或B是A的必

要条件；若人=8,则A是B的充要条件：

6.逻辑连接词：

⑴且(and)：命题形式pAq；PqPAqPVq「P

⑵或(or)：命题形式pvq；真真真真假

⑶非(not)：命题形式-ip.真假假真：假

假真假真真

假假假假真

7.全称量词与存在量词

⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用V表示；

全称命题P：VxeM,/?(x)；全称命题p的否定一ip：玉eM,-1P(x)。

⑵存在量词-……“存在一个”、“至少有一个”等，用三表示；

特称命题p：特称命题p的否定-ip：VxeA/，r?(x)；

第二部分函数、导数与不等式

(一)函数

1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2.函数定义域的求法：函数解析式有意义；符合实际意义；定义域优先原则

函数解析式的求法：代入法，凑配法，换元法，待定系数法，函数方程法

函数值域的求法：①观察法：②配方法；③判别式法：④函数单调法;

⑤换元法；⑥不等式法(赢<?<，巴丁);

⑦数形结合法(斜率、距离、绝

对值的意义等)；⑧函数单调法(J、/、sinx、cosx等)；⑨导数法

3.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

4.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为[a,b],则

复合函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)Wb解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)

的定义域,相当于xW[a,b]时,求g(x)的值域。

(2)复合函数单调性的判定：①首先将原函数y=/[g(x)]分解为基本函数：内函数

M=g(x)与外函数y=/(〃)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根

据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数y=/(M)的定义域是内函数“=g(x)的值域。

5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必攀条件；

⑵/(x)是奇函数o*f(―A：)=-f(X)<=>y(—JC)+f(X)=o<=>_—=—i;

/(x)

⑶/(x)是偶函数U>/(-X)=/(x)<=>f(-x)-/(x)=0=X)=1；

/(x)

⑷奇函数/(x)在原点有定义，则/(0)=0；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简(等价变形)，再判断其奇偶性；

6.函数的单调性

⑴单调性的定义：/(x)在区间M上是增(减)函数oVx.weM,当％</时

于(X[)-/(x2)<0(>0)o(x,-x2)[/(%1)-/(x2)]>0(<0)

=也匕9>o«o)；

X,—x2

⑵单调性的判定：①定义法：注意：一般要将式子/(内)-/(尤2)化为几个因式作积或作商

的形式，以利于判断符号；②导数法(见导数部分)；③复合函数法(见4(2)同增异减);

④图像法。

注：证明单调性要用定义法或导数法；求单调区间，先求定义域；多个单调区间之间不能用

“并集”、“或”；单调区间不能用集合或不等式表示。

7.函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意X,若有/(x+T)=/(x)(其中T为非零常数)，

则称函数/(*)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小

正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期0

(2)三角函数的周期

①y=sinx:T=2»；②y=cosx:T=2乃；③y=tanx:T=〃；④

y-Asm(avc+(p),y=Acos(cox+(p):T=；©y-tanaw:T--^―；

1勿\co\

⑶函数周期的判定：①定义法(试值)②图像法③公式法(利用(2)中结论)

⑷与周期有关的结论：①/(%+。)=/(%-。)或/(%-2。)=/(幻3>0)=>f(x)

的周期为2a：②y=/(x)的图象关于点(a,O),S,O)中心对称二>/(幻周期2卜—母；

③y=/(x)的图象关于直线x=a,x=6轴对称=/(x)周期为2|a—4；

④y=/(x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线x=6轴对称=/(x)周期可“一可；

8.幕、指、对的运算法则：

n,nn

a=\Ja,a=—L-,,6f°=1,logrt1=0,logrta=\,1g2+1g5=1,logex=\nx,

an

iog(b

#=N01嗝N=b(a>0,a于1,N>6,3°品、=N,logb=，

log,a

n

logb"=-log加。

"m

9.基本初等函数的图像与性质

⑴幕函数：y=x"(awR)；⑵指数函数：y=a*(a>0,a/1)；

⑶对数函数：y=log„x(a>0,«1)；⑷正弦函数：j=sinx；

⑸余弦函数：y=cosx；(6)正切函数：y=tanx；⑺一元二次函数：y^ax1+bx+c；

k

⑻其它常用函数：①正比例函数：y=^(ZoO)；②反比例函数：y=—(k#0)；特别的

x

y=一，函数y=x+0(a>0)；

xx

10.二次函数:

⑴解析式：①一般式：/(x)=ax1+bx+c；②顶点式：/(x)=a(x-A)2+k,(/?,女)为

顶点；③零点式：/(x)=a(x-%))(x-x2)o

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点;

⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

11.函数图象

⑴图象作法：①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：iy=/(x)fy=/(x土a),(«>0)------左“+”右

iiy=/(X)fy=/(x)土％,(4>0)------上“+”下

②伸缩变换：

iy=f(x)->y=f(cux),(co>0)-----纵坐标不变，横坐标伸长为原来的，倍;

co

iiy=/(x)fy=Af(x),(A>0)-----横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍;

③对称变换：iy=/(x)y=-/(-x)；iiy=/(x)y=-/(x)；

iiiy=—产>y=/(-x);ivy=/(x)>x=/(y)；

④翻转变换：

iy=/(x)fy=/(|x|)-----右不动，右向左翻(/*)在)，左侧图象去掉)；

iiy=/(幻-y=1/(X)I-----上不动，下向上翻(I/(X)I在X下面无图象)；

(3)函数图象(曲线)对称性的证明：

i证明函数y=/(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)

的对称点仍在图像上；

ii证明函数y=/(x)与y=g(x)图象的对称性，即证明y=/(尤)图象上任意点关

于对称中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上，反之亦然；

注：①曲线Ci：f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a—x,2b—y)=0;

②曲线C|：f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a—x,y)=0;

③曲线G：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y—a,x+a)=0(或f(—

y+a,—x+a)=0);④f(a+x)=f(b—x)(x£R)---->y=f(x)图像关于直线x=对称；

特别地：f(a+x)=f(a—x)(xWR)---->y=f(x)图像关于直线x=a对称；

⑤函数y=f(x—a)与y=f(b—x)的图像关于直线x="^对称；

2

12.函数零点的求法：⑴直接法(求/(x)=0的根)；⑵图象法；⑶二分法.

13.函数的应用。求解数学应用题的一般步骤：①审题一一认真读题，确切理解题意，

明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模一一通过抽象概括，将实际问

题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模一一求解所得

的数学问题；④回归一一将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。

(二)导数

14.导数：⑴导数定义：f(x)在点X0处的导数记作y，|一，=y，(x。)=lim以上匕3；

I*一•"Ax->oAY

⑵常见函数的导数公式：

①C'=0；②(x")'=〃/T；③(sinx)'=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(a*)'=a*Ina；⑥(e*)'=e*；⑦(log“x)'=―!—；⑧(lnx)'='«

x\nax

⑶导数的四则运算法则：(〃±v)f=u'+v';(“u)'="，+〃此(四)'=

vv

⑷(理科)复合函数的导数：=y'u-u'x-

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：i所给点是切点吗？ii所求的是“在”还是“过”该点的

切线？

②利用导数判断函数单调性：i/'(x)>0n/(x)是增函数；

ii/'(x)<On/(x)为减函数；适/'(x)三On/(x)为常数；

注：反之，成立吗？求单调区间，先求定义域。

③利用导数求极值：i求导数/'(x)：ii求方程/(©=0的根；出列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：i求的极值；ii求区间端点值(如果有)；皿得最值。

⑤利用导数处理恒成立问题，证明不等式，解决实际应用问题

15.(理科)定积分

⑴定积分的定义：//(x)dx=limg"幺f©.)

Ja与一n

/=1

⑵定积分的性质：①，@(x)dx=Z，/(x)dx(左常数)；

②I：【工⑺土力=ff仆)心土£f2(x)dx；

③//(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx(其中a<c<Z?)。

⑶微积分基本定理(牛顿一莱布尼兹公式)：£f{x}dx=F(x)|*=F(b)-F(a)

⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S=J,|/(x)—g(x)|dx；

①求变速直线运动的路程：S=£v(/)Jr；③求变力做功：W=^F(x)dx.

(三)不等式

16.均值不等式：施W审《产；从

注意：①积定和最小，和定积最大，一正二定三相等；②变形，ab<(-)2V巴士

22

17.一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当△=()和△<()时的解集你会正确表示吗？

设。>0,是方程⑪2+Z?X+C=O的两实根，且玉<々，则其解集如下表：

ax2+区+。>0ax2+Z?x+c>0ax1+bx+c<Gax2-¥bx+c<0

△>0

VX]或/}或X之工2}{x\x[<x<x2]{x\xl<x<x2}

A=0.b、{x|x=一?}

fR电

2a2a

△<0R

R</>。

18.含卷g不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关

键.”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按所求变量讨论，最后应求并集.

提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示；

(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

19.不等式的恒成立,能成立，恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应

用函数方程思想和''分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用

数形结合法)

1).恒成立问题

若不等式/(%)>A在区间D上恒成立,则等价于在区间D±/(x)m,n>A

若不等式/(%)<8在区间D上恒成立,则等价于在区间DEf(x\mx<B

2).能成立问题

若在区间。上存在实数X使不等式/(%)>A成立，则等价于在区间。上

f(x)>A；

若在区间。上存在实数％使不等式y(x)<8成立，则等价于在区间。上的

f(x\.<E.

3).恰成立问题

若不等式/(x)>A在区间。上恰成立，则等价于不等式/(x)>A的解集为。；

若不等式/(£<8在区间。上恰成立，则等价于不等式/(£<B的解集为。.

20.求解线性规划问题的步骤是：

(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数：(3)确定目标函数的最优解。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.角的概念的推广，象限角的概念，终边相同的角的表示

⑴角度制与弧度制的互化：乃弧度=180',1°=三弧度，1弧度=(世)”57°18‘

1807T

⑵弧长公式：l=8R；扇形面积公式：S=-0R2=-Rl.

22

2.三角函数定义：角a中边上任意一点P为(x,y),设|OP|=r则：

.yxy

sma=J，cosa=—,tana=一；

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

winv

4.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=l;---=tanx；

cosX

5.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；

6.正弦函数^=5苗］(>6/?)、余弦函数^=cosx(xeR)的性质：

(1)定义域：都是R。

(2)值域：都是［一1,1］,对丁=5皿彳，当x=2七？■+'(ZGZ)时，y取最大值1：当

元=2女乃+j-(左eZ)时，y取最小值一1；对丫=©05》，当x=2攵乃(ZeZ)时，y取最

大值1,当x=2左乃+万(攵eZ)时:y取最小值一1。

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，要深入挖掘正余弦函数的有界性

(3)周期性：=sinx>y=cosx的最小正周期都是2乃；②/(x)=Asin(<yx+Q)和

2TT

f(x)=Acos(5+°)的最小正周期都是T=—。

(4)奇偶性与对称性：正弦函数了二出口武工6好是奇函数，对称中心是

(QT,O)(A£Z),对称轴是直线X=Z乃+］(2£Z)；余弦函数丁=cos九(XER)是偶

函数，对称中心是(反■+£,O｝Z：€Z),对称轴是直线x=Qr伏eZ)(正(余)弦型函

数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于％轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点)

JTJT

(5)单调性：y=sinx在2k兀一彳+；(ZwZ)上单调递增，在

jriTT

2k7r+—,攵2■+字(keZ)单调递减；丫=©05》在［2攵乃,2左左+4］(%€2)上单调递减，

在［2攵%+万,2攵万+2万］(左€2)上单调递增。特别提醒，别忘了上eZ!

正切函数y=tanx的图象和性质：

7T

(1)定义域：｛xlxH'+Z乃,&wZ｝。遇到有关正切函数问题时，注意正切函数的定义域

(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；

(3)周期性：是周期函数且周期是乃，它与直线y=。的两个相邻交点之间的距离是

一个周期乃。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析

式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半'切不变.

(4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是(、二0)(ZeZ),

特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线

与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

(5)单调性：正切函数在开区间l―5+左肛］+左乃卜人eZ)内都是增函数

函数y=Asin(6tzx+0)性质：类比于研究y=sinx的性质，只需将y=Asin(3x+0)

中的。x+e看成y=sinx中的x,但在求y=Asin(0x+e)的单调区间时，要特别注

意A和力的符号，通过诱导公式先将。化正。

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin@±0=sinacos/?土cosasin尸;

tana±tan尸

②cos@±/?）=cosacos/?=Fsinasin/?;③tan0±〃）

1干tanatan，

8.二倍角公式：©sin2a=2sinorcosa；

②cos2a=cos22-sin2a-2cos2a-\-1-2sin2a；③tan2a=「血，。

1一tana

三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

注：（1）asinx+〃cosx=+（其中。角所在的象限由a,b的符号确定，。

角的值由tan6=2确定）在求最值、化简时起着重要作用。

a

（2）了解几个重要恒等式（和积互化公式）

cihc

9.正、余弦定理⑴正弦定理——=——=——=2R（2R是AA3C外接圆直径）

sinAsinBsinC

注：①a:Z?:c=sinA:sinB:sinC；②q=2Rsin=2Hsin8,c=2RsinC；

I}2+c2—a2

⑵余弦定理：9=/9+c?9一2人ccosA等三个；注：cosA=---------------等三个。

2bc

cabca+0+c

——=-----=------=---------------；——O

sinAsinBsinCsinA4-sinB+sinC

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意4+8+。=乃这个特殊性：

A+8=万-C,sin（A+8）=sinC,sin"+'=cos—；

22

（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角

互化。

10。几个公式:⑴三角形面积公式：

S^BC=g"=g"sinC=（〃一〃）（〃一〃）（〃一c）,（〃=g（a+Z?+c））；

coabc

⑵内切圆半径不至g；外接圆直径2R=—;

a+h+csinAsinnsine

11.已知。涉,4时三角形解的个数的判定:

其中h=bsinA,（l）A为锐角时:①a<h时,无解；

②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角,

一钝角）；④a»b时，一解（一锐角）。

⑵A为直角或钝角时：①a«b时，无解；②a>b时，

一解（锐角）。

第四部分平面向量

1.向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线

段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。

（2）零向量：注意零向量的方向是任意的：（3）单位向量（4）相等向量：

（5）平行向量（也叫共线向量）：规定零向量和任何向量平行。（6）相反向量

2.平面向量的基本定理：如果刃和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

的任一向量有且只有一对实数4、4，使a=4ei+&02。

3.实数与向量的积：实数力与向量々的积是一个向量，记作42,它的长度和方向规定如

下：⑴河=回同，⑵当2>0时，篇的方向与I的方向相同，当；1<0时，■的方向

与a的方向相反，当7=0时，Aa=0,注意：2aWO。

4.向量的线性运算

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的

向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设荏=2,配=5,那么向量衣叫

做Z与B的和，即=通+圮=/；

②向量的减法：用“三角形法则”：设荏=2,/=瓦那么£—5=通一/=而，

由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

5.平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量Z，作次=工丽=石，ZAOB=0

（OWSW/r）称为向量a,B的夹角，当0=0时，a,3同向，当。=乃时，a,3反向，

7T——

当。=—时，a,b垂直。

2

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量I,h,它们的夹角为6,我们把数量

|a||引cos。叫做。与否的数量积（或内积或点积），记作：a»b,即。“=同即056。

规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）Z在】上的投影为|B|COS8,它是一个实数，但不一定大于0。

（4）2・3的几何意义：数量积ZB等于：的模|£|与3在）上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量1，b,其夹角为。，则：

①aJ_B=a“=O；

②当a,3同向时，a»b—|o||/?|,特别地，a=a»a=|«|,|tz|=71^；当a与3

反向时，a»b=-|o||5|；当。为锐角时，a»b>0,且不同向，a%>0是。为锐

角的必要非充分条件；当0为钝角时，a»b<0,且ZB不反向，75<0是。为钝角的

必要非充分条件；

--q•b一—一一

③非零向量a,b夹角。的计算公式：COS6=E^；®\a»b\^a\\b\.

6.向量的坐标运算：设。=（%],丁1）,1=（々,%），则:

①向量的加减法运算：a+b=（xt+x2,y土必）。

②实数与向量的积：

③若A（X]，X）,8（工2，%），则加=12^»2个I），即一个向量的坐标等于表示这个

向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

④平面向量数量积：a»b=xix2+yxy2（>

⑤向量的模：|a|=+/,q-0j。

⑥两点间的距离：若4（为,）,3（々,必），则IAB|=庭二了三二77。

⑦向量平行（共线）的充要条件:a//b<^>a=Ab<=>（a-b）2=（|tz||&|）2。可%—%%=°。

⑧向量垂直的充要条件：aLb<^a-b=Q<^\a+b[=\a-b\・特别

7.向量的运算律：（1）交换律：a+h=b+a,4（〃〃）=（切）〃，a^b-b^a；

/、—♦—♦~♦/—♦—•\—•—•/—»—•\—»—♦——♦

（3）分配律：（A+〃）a=4a+〃a,2（a+Z?）=/la+2b,（a+Z?）・c=a・c+6・c。

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两

边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一

个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘法”不

满足结合律，即“E・c）w（a・5）c

8.向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||£|-|6凶2±44£|+|初，特别地,当同向或有。o|£+方R£|+|B|

N1|£|-出11=|£一引；当a、石反向或有°o|24|寸。11I44-41=«+^-；当。、万不

共线a+加〈面已以“海一（这些和实数比较类似）.

（3）在AA5C中，①若4（石,%）,3（孙必）,。（七,%），则其重心的坐标为

G（内+£+jytyjy\

I3'3广

@PG^^（PA+PB+PC）oG为A4BC的重心，特别地西+而+定=6=P

为AABC的重心；

③可•而=闻•定=定•序o尸为A4BC的垂心；

④向量”粤+■4^）（4。。）所在直线过A4BC的内心（是N8AC的角平分线所在

\AB\|AC|

直线）；

（4）向量向、丽、刀中三终点A、B、C共线o存在实数a、户使得

年a下且e+£=l.

附：（理科）P,A,B,（3四点共面00/>=工。4+n。8+20。（且\+丫+2=1）。

第五部分数列

1.数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,n｝)

的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2.等差数列的有关概念：

(1)等差数列的判断方法：定义法=d(d为常数)或4+]=a"一a"_I("N2)。

(2)等差数列的通项：=弓+(〃-1)4或=am+(n—ni)d。

(3)等差数列的前〃和：S,="(4+4),5,=叼+必二81。

22

(4)等差中项：若a,A力成等差数列，则A叫做。与匕的等差中项，且4=@+

2

3.等比数列的有关概念：

(1)等比数列的判断方法：定义法巴旦=q(g为常数)，其中4/0,q或4a

4a„%

(«>2)o

nm

(2)等比数列的通项:-"T或a,=amq-。

(3)等比数列的前〃和：当4=1时，s,=叫;当4Hl时，s“二%aw)

「q

i-q

特别提醒：等比数列前〃项和公式有两种形式，为此在求等比数列前〃项和时，首先要判断

公比q是否为1,再由4的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对

q分q=1和q。1两种情形讨论求解。

(4)等比中项：若a,A,6成等比数列，那么A叫做。与匕的等比中项。

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个土而

4.等差数列的性质：

(1)当公差4工0时，等差数列的通项公式%=4+(“一13=旅+4-4是关于〃的一

次函数，且斜率为公差d；前〃和S“=叫+若24=3〃2+(4-乎"是关于〃的二次

函数且常数项为0.

(2)若公差4>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差

"=0,则为常数列。

(3)当〃=p+q时，则有a,“+a“=a?+，％,特别地，当〃z+〃=2p时，则有

a“,+a“=2ap.

(4)若｛4｝、也,｝是等差数列,则｛3“｝、｛kan+pbn｝(k、p是非零常数)、

｛。…｝(，，"")、5"，邑”—S,,S3”—S2“，…也成等差数列，而｛〃｝成等比数列：

若｛?｝是等比数列，且4>0,则｛1g%｝是等差数列.

(5)在等差数列｛4｝中，当项数为偶数2〃时，S偶一S奇=nd；项数为奇数2〃-1时,

S奇一5偶=9，Sa,r=(2〃-1〉4(这里a中即a“)；S奇5偶*升左。

A

(6)若等差数列｛a,J、依｝的前〃和分别为4、4，且~^=/(〃)，则

组=(21-l)a“=4“_]=f(2〃-1)

b”(2〃-幽B2„_,”>

(7)“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；“首负”

的递增等差数列中，前〃项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

-0(或1%<°)确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前〃项是

K+l<0^V„+1>oj

关于〃的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性〃eN*。

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究区,=〃,.

5.等比数列的性质：

(1)当机+〃=p+q时，则有篇匚&=ajl4,特别地，当机+”=2〃时，则有

2

4”4=%■

(2)若｛a,J是等比数列，则｛|*｝、｛机J成等比数列；若

｛《,｝、｛〃｝成等比数列,则｛%〃｝、｛/｝成等比数列；若｛4｝是等比数列,且公比qw—1,

则数列多，，"一多苫杂一叫,，…也是等比数列。当“=一1,且〃为偶数时，数列

5”,S2“-S,,,S3“-S2“，…是常数数列0,它不是等比数列.

⑶若4>0闯>1,则｛4｝为递增数列;若一<0应>1,则｛4｝为递减数列;若

q>0,0<q<l,则｛4｝为递减数列；若q<0,0<q<l,贝也见｝为递增数列；若q<0,

则｛4｝为摆动数列；若q=l，则｛4｝为常数列.

nan

(4)当qNl时，SH-——q+'-aq+b,这里“+人=0,但。。0,匕。0,

\-ql-q

这是等比数列前〃项和公式的一个特征，据此很容易根据S,,判断数列｛a,J是否为等比数

列。

⑸Sg,=Sm+q"'S"=S"+q"S”,

(6)在等比数列｛%｝中，当项数为偶数2〃时，S偶=“S奇；项数为奇数2〃-1时，

S奇=4+4%,

(7)如果数列｛4｝既成等差数列又成等比数列，那么数列5“｝是非零常数数列，故常数

数列｛4,｝仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

6.数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

」与(〃=1)

⑵已知5.(即a[+生+•••+《,=/(〃))求可，用作差法：«„

~\Sn-Sn_i,(n>2y

/⑴,5=1)

已知qO/2口-,Q3,,=./(«)求an>用作商法：a“=</(〃)

(«>2)°

⑶已知条件中既有S,还有外,有时先求5,，再求4；有时也可直接求为。

⑷若。“+1求a“用累加法：aa=(%-q1T)+(%-凡_2)+…+(4-4)

+4(n>2)o

⑸已知也=/(〃)求a,,用累乘法：4=2•也•….生q(〃N2)。

anan-\an-24

⑹已知递推关系求风，用构造法(构造等差、等比数列)。

特别地，(1)形如%=ka,i+b、a,=ka.i+b"(k,b为常数)的递推数列都可

以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求见；形如a“=k7,i+〃'的递

推数列都可以除以3得到一个等差数列后，再求qO

(2)形如=a"-'的递推数列都可以用倒数法求通项。

姐“I+b

(3)形如怎+|=aj的递推数列都可以用对数法求通项.

(7)(理科)数学归纳法。

(8)当遇到a“+I-a,।=d或色包=“时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分

段形式。

7.数列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。

(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合

并在一起，再运用公式法求和。

(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数

相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前〃和公式

的推导方法).

(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相

乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前〃和公式的推导方法).

(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关

联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①―L=1__!_；②_=1(1__L)；

n(n+1)nn+\〃(〃+左)k'nn+

1——1(z1—,1i.,11,1---1----------1-------—11

k1-------2k-\k+1kk+1(女+1)女__k2(k—l)k__k-1k

1111n1

④------------------=—[-r-----------------------------]

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)(n+l)!n\(〃+l)!

⑥2(J〃+1-Jn)=厂2]-----<-L<厂21——=2(册-Jn-1)

第六部分复数

1.概念：

(l)z=a+biGROb=0(a,beR)oz=N<=>z2>0；

(2)z=a+bi是虚数ObW0(a,bWR)；

⑶z=a+bi是纯虚数Oa=0且b#0(a,b£R)Oz+z=0(zWO)oz—O；

(4)a+bi=c+di<z>a=c且c=d(a,b,c,d^R)；

2.复数的代数形式及其运算：设Z|=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R),则：

(1)zi±Z2=(a+b)±(c+d)i；(2)Zj.Z2=(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；⑶

(a+bi)(c-di)_ac+hdbe-ad.(Z2#O)；

(c+di)(c-di)+/+,2+笛।

3.几个重要的结论：

2222222

(l)^(+Z2|+|zj-Z2|=2(|Z1|+|Z2|);(2)Z-Z=|Z|=|Z|;(3)(l±0=±2z;(4)111=/;l—；=T；

1：4〃+l•；4n+2；4〃+3/；产用+/+如+

(5)i性质：T=4；1,1—I,I，4"+2+,3=0

16一

(6)co=—±—i以3为周期，且g"==1；1+0+口2=0；

22

(7)忖=1=zz=10彳=—。

z

4.运算律：⑴z〃'・z〃=z〃？⑵(2〃')〃=27(3)亿・22)'〃=422"("267\0；

5,共施的性质：(1)(Z[土z2)=4士z2；(2)ZjZ2=Zj-z2；(3)(五)=刍；(4)z=Zo

Z2Z?

6,模的性质：⑴||Z1|-|z211szl±22区4|+匕|;(2)|Z1Z2|=|ZI||z2I；⑶

第七部分算法初步

1.程序框图:

终端框(起止况)；②//输入、输出框；⑥°连接点。

处理框流程线；

⑵程序框图分类:

①顺序结构：②条件结构:乂

—~1

/n不I-素//nl质第

注：循环结构分为：I.当型（while型）一一先判断条件，再执行循环体；