《数学（拓展模块）》中职全套教学课件

数学——拓展模块——全套可编辑PPT课件前言Introduction

本书包括三角公式及其应用，椭圆、双曲线、抛物线，概率与统计共三章内容，教材突出基础知识和基本技能，基本理论则是贯彻“实用为主、必须和够用为度”的教学原则，教材整体内容充分展示数学知识的形成和应用的过程。第一章三角公式及其应用第二章椭圆、双曲线、抛物线第三章概率与统计目录Contents第一章三角公式及其应用1.1两角和与差的余弦、正弦及正切公式1.2二倍角公式1.3正弦定理、余弦定理1.4正统型函数1.5三角函数应用举例1.1两角和与差的余弦、正弦及正切公式1.1.1两角和与差的余弦公式1.1.2两角和与差的正弦公式1.1.3两角和与差的正切公式思考一般地，两角和或差的三角函数，不等于两角的同名三角函数的和或差.那么如何用角的三角函数表示角的三角函数呢？下面来讨论这个问题．问题：1.1两角和与差的余弦、正弦及正切公式1.1.1两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式：1.1.2两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式：知识链接1.1.3两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式：知识链接1.2二倍角公式数海拾贝思考这样就得到二倍角的三角函数公式：问题：1.2二倍角公式数海拾贝亚历山大时期的三角测量在亚历山大(公元前332年)时期，利用三角知识测量天文和地理的例子举不胜举．例如，希派尔古斯测量地球和月球的距离，要知道那时没有先进的测量仪器．他假设一个人站在赤道A处看到月亮恰好在他头顶上方的C处(图1-2)，另一个人站在赤道B处，则看到月亮刚刚升起．这时BC和圆O相切，构成了直角△OBC，AB弧所对恰为A，B两地的经度．希派尔古斯测到，他利用自己编制的世界第一张正弦函数值表计算，得这个数据与实际误差并不太大．图1-21.3正弦定理、余弦定理1.3.1正弦定理数海拾贝1.3.2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理利用锐角三角函数，可以解直角三角形．下面我们将根据任意角三角函数知识，研究任意三角形的边角关系．本节我们将学习任意三角形边角关系的两个重要定理．思考问题：你能根据图1-3(1)、(2)，证明下列等式吗？1.3.1正弦定理1.3.1正弦定理图1-3证明：对任意，如图1-3建立直角坐标系.1.3.1正弦定理利用正弦定理解三角形，可以解决两类问题：(1)已知两角和一边，求其他两边和第三角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他两角和第三边．1.3.1正弦定理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等．即 (1-6)正弦定理指出了任意三角形三条边和对应角的正弦之间的关系，它描述了任意三角形中边、角的一种数量关系．数海拾贝数中的哲理零和负数——在实数中，负数比零小；在生活中，没有思想比无知更糟．零与任何数——任何数与零相加，仍得任何数；光说不做，只能在原地停留．小数点——丢掉了小数点数值会变大；不拘小节会犯大错误．相反数——两个相反数相加等于零；聪明不勤奋，将一事无成．分数——人好比是一个分数，他的实际才能是分子，而他对自己的估价是分母，分母越大，则分数值越小．思考问题：在任意三角形中，已知两边及其夹角或已知三边，三角形也能被唯一确定，那么在这两种情况下，如何解三角形呢？于是我们得到关于任意三角形边和角间关系的另一个重要定理．1.3.2余弦定理1.3.2余弦定理余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即由余弦定理可以得到如下推论：1.4正弦型函数1.4.1函数

的图象与性质1.4.2函数

的图象与性质1.4.3函数的图象与性质1.4正弦型函数数学史料三角学产生于约2000年前的古希腊.“三角学”一词来古希腊文，1748年瑞士数学家欧拉在他的专著中，引用三角函数符号后，三角学才被看做包含三角函数和解三角形两部分内容的一门数学的分支学科，三角学简称三角。三角学的起因是人们要对三角形中的角和边进行精确的测量与计算，后来逐步发展为三角函数。三角函数的应用相当广泛，不仅仅限于交流电、简谐振动等，在生物、天文、地理、机械等方面都有其广泛的应用。思考问题：问题：你还记得如何用“五点法”作函数的简图吗？你能写出这五个关键点的坐标吗？1.4.1函数

的图象与性质知识链接1.4.1函数的图象与性质

的图象与性质1.4.2函数的图象与性质

的图象与性质1.4.2函数的图象与性质

的图象与性质1.5三角函数应用举例1.5.1简谐交流电与简谐振动1.5.2解三角形数海拾贝1.5.1简谐交流电与简谐振动1.5.2解三角形1.5.2解三角形数海拾贝大金字塔之谜埃及的金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及国家的象征，是埃及人民的骄傲．金字塔，阿拉伯文意为“方锥体”，它是一种方底、尖顶的石砌建筑物，是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓。它既不是金子做的，也不是我们通常所见的宝塔形．它规模宏大，从四面看都呈等腰三角形，很像汉语中的“金”字，故中文形象地把它译为“金字塔”．埃及迄今发现的金字塔共约八十座，其中最大的是以高耸巍峨而著称的，被称为古代世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔．英国有位天文学和数学的业余爱好者，名叫约翰·泰勒，他曾根据文献资料中提供的数据对大金字塔进行了研究．经过计算，他发现胡夫大金字塔令人难以置信地包含着许多数学上的原理．他首先注意到胡夫大金字塔底角不是60°，而是51°51'，从而发现每壁三角形的面积等于其高度的平方．另外，塔高与塔基周长的比就是地球半径与周长之比，因而，用塔高来除以底边的2倍，即可求得圆周率．泰勒认为这个比例绝不是偶然的，它证明了古埃及人已经知道地球是圆形的，还知道地球半径与周长之比．英国数学家查尔斯·皮奇·史密斯教授于1864年考察胡夫大金字塔后声称他发现了大金字塔更多数学上的奥秘．例如，塔高乘109就等于地球与太阳之间的距离，大金字塔不仅包含着长度的单位，还包含着计算时间的单位：塔基的周长按照某种单位计算的数据恰为一年的天数等．大金字塔还有很多的数学上的奥秘，至今仍然是远没有完全解开的谜．ThankYou!谢谢数学——拓展模块——前言Introduction

本书包括三角公式及其应用，椭圆、双曲线、抛物线，概率与统计共三章内容，教材突出基础知识和基本技能，基本理论则是贯彻“实用为主、必须和够用为度”的教学原则，教材整体内容充分展示数学知识的形成和应用的过程。第一章三角公式及其应用第二章椭圆、双曲线、抛物线第三章概率与统计目录Contents第二章椭圆、双曲线、抛物线2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线2.1椭圆2.1.1椭圆的定义2.1.2椭圆的标准方程2.1.3椭圆的性质和图象思考如图2-1所示，我们把绳子的两端固定在图板F1和F2两点上(F1和F2之间的距离要小于绳长)，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上连续移动一周，画出的图形就是椭圆．问题：你能用一根短绳子,两枚图钉和一支铅笔画出一个椭圆吗?2.1.1椭圆的定义图2-1思考从上面的画图过程可以看出，不论笔尖M移到什么地方，MF1的长与MF2的长的和都等于绳子的长度，而绳子的长度是始终保持不变的．即笔尖所描出的动点M到两个定点F1和F2的距离之和始终保持不变．由椭圆的这一几何特征，我们就得到了椭圆的定义如下：定义把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大|F1F2|于)的点的轨迹叫做椭圆．定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2.1.1椭圆的定义2.1.2椭圆的标准方程2.1.3椭圆的性质和图象2.1.3椭圆的性质和图象2.1.3椭圆的性质和图象2.1.3椭圆的性质和图象2.1.3椭圆的性质和图象数海拾贝为什么行星都是沿着椭圆轨道绕太阳旋转牛顿根据运动三定律和万有引力定律证明，行星是沿着椭圆形轨道运行的，太阳位于椭圆形轨道的一个焦点上．根据物体的初始速度和位置，他证明在万有引力的作用下，物体的运动轨迹有三种：椭圆轨道、抛物线轨道和双曲线轨道．如果行星的初始速度很大或离太阳很远，就会形成抛物线轨道或双曲线轨道，它们都属于非闭合轨道．在抛物线与双曲线的轨道上，行星只能在太阳附近出现一次，以后就消失了．而太阳系诸行星之所以能够在椭圆形轨道上运行，就是因为行星最初离太阳不是很远，或者运动的初始速度不是特别大．2.2双曲线2.2.1双曲线的定义2.2.2双曲线的标准方程2.2.3双曲线的性质和图象思考每一条曲线叫做双曲线的一支，这两条曲线合起来叫做双曲线．问题：当一个动点到两个定点的距离的差是定值时，这个动点的轨迹是什么曲线？2.2.1双曲线的定义2.2.1双曲线的定义定义我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值是常数(小于|F1F2|且不等于0)的点的轨迹叫做双曲线．其中，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距．2.2.２

双曲线的标准方程双曲线的标准方程这个方程叫做焦点在x轴上的双曲线的标准方程，可以证明双曲线上的任意一点的坐标M(x，y)都满足方程(2-3)．其中a，b，c三者之间的关系是c2=a2+b2．2.2.3

双曲线的性质和图象1.双曲线的性质（1）范围由标准方程可知，双曲线上点的坐标（x，y）都适合不等式，即，于是有，即或；且有，即．这说明在范围内，没有双曲线的图象，双曲线分布在直线的左侧及直线的右侧，如图所示．2.2.3

双曲线的性质和图象1.双曲线的性质（2)对称性由于在双曲线的标准方程中，不论把x换成-x或者把y换成-y或者把x，y同时换成x，y，方程均不改变，所以双曲线关于y轴、x轴和原点都是对称的．这时坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2.2.3

双曲线的性质和图象1.双曲线的性质(3)顶点在双曲线的标准方程中，令

，得，这说明A1(-a，0)，A2(a，0)是双曲线与x轴的两个交点，且x轴是双曲线的对称轴．双曲线与其对称轴的交点叫做双曲线的顶点．双曲线只有两个顶点．2.2.3

双曲线的性质和图象1.双曲线的性质(4)渐近线如图1所示，经过点A1，A2作y轴的平行线，经过点B1，B2作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是．观察图2，可以看出，当双曲线的各支向外无限延伸时与直线无限接近但不相交．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．图2图12.2.3

双曲线的性质和图象1.双曲线的性质(4)渐近线在方程中，如果，那么双曲线的方程为，它的实轴和虚轴的长都等于，这时，四条直线，围成正方形，渐近线方成为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，如图所示．2.2.3

双曲线的性质和图象1.双曲线的性质(5)渐近线双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率．因为，所以双曲线的离心率．由等式，可得，因此e越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从“矮胖”变得“修长”，即双曲线的开口从扁狭变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．2.3抛物线2.3.1抛物线的定义2.3.2抛物线的标准方程2.3.3抛物线的性质和图象2.3.1抛物线的定义抛物线是一种应用很广泛的曲线．例如，飞机在空投物资时，如果不计空气阻力，物资就沿着一条抛物线轨道落到地面．在现实生活中，我们常见到很多桥梁的拱架、公路的路拱等也采用抛物线拱形；奥运会田赛比赛项目中有铅球和标枪两个项目，运动员在比赛中抛出的铅球或标枪在空中运行的轨迹是抛物线的一段．2.3.1抛物线的定义定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．这个定点叫做抛物线的焦点，用F表示，这条定直线l叫做抛物线的准线，用l表示．2.3.2抛物线的标准方程根据抛物线的定义和画法，我们来探求抛物线的方程．如图所示，以过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点E，以线段EF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．设焦点到准线的距离为p，即|EF|＝p(p>0)，则焦点F的坐标为，准线l的方程为．2.3.2抛物线的标准方程这个方程叫做抛物线的标准方程.2.3.3

抛物线的性质和图象1.抛物线的性质(1)范围2.3.3

抛物线的性质和图象1.抛物线的性质(2)对称性在方程y2=2px(p>0)中，y是以偶次方出现的，所以用-y代替y，方程不变，因此这条抛物线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．2.3.3

抛物线的性质和图象1.抛物线的性质(2)对称性在方程y2=2px(p>0)中，y是以偶次方出现的，所以用-y代替y，方程不变，因此这条抛物线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．2.3.3

抛物线的性质和图象1.抛物线的性质(3)顶点抛物线的轴与抛物线只有一个交点，就是原点O，叫做抛物线的顶点．2.3.3

抛物线的性质和图象1.抛物线的性质(4)离心率抛物线上任意一点M到焦点和准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知e=1．数海拾贝抛物线的光学性质及其应用一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来在手电筒内，小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个抛物线绕它的轴旋转所得到的曲面(图2-21)，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯(图2-22)也是利用这个原理设计的．数海拾贝抛物线的光学性质及其应用图2-21图2-22图2-23数海拾贝抛物线的光学性质及其应用应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点，人们应用这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶(图2-23)．在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高．ThankYou!谢谢数学——拓展模块——前言Introduction

本书包括三角公式及其应用，椭圆、双曲线、抛物线，概率与统计共三章内容，教材突出基础知识和基本技能，基本理论则是贯彻“实用为主、必须和够用为度”的教学原则，教材整体内容充分展示数学知识的形成和应用的过程。第一章三角公式及其应用第二章椭圆、双曲线、抛物线第三章概率与统计目录Contents第三章概率与统计3.1排列3.2组合3.3二项式定理3.4离散型随机变量及其分布列3.5离散型随机变量的常见分布3.1排列3.1.1排列的定义3.1.2排列数计算公式3.1.3排列的简单应用思考甲、乙、丙3支足球队采取主客场制进行比赛，需要进行多少场比赛？问题：3.1.1排列的定义由于采取主客场制的每一场比赛都可以看成是“按照主场队在前，客场队在后”的顺序的一种排法，因此这种排法有多少种，就需要比赛多少场．分析：我们给这3支球队排一排比赛场次，可以分两步完成：第一步，先从3支足球队中任选1支队作为主场队，共3种方法；第二步，再从剩余的2支队中任选1支队作为客场队，共2种方法．根据分步计数原理，完成上述排法共有种不同方法，也就是需要比赛6个场次，具体排法如图所示．3.1.1椭圆的定义再看另外一个实际问题：从分别写有1，2，3，4的四张数字卡片中任取两张，可组成多少个不同的两位数？从1，2，3，4四张卡片中任取两张组成两位数这件事可以分两步完成：首先在“1，2，3，4”四张数字卡片中选一个作十位数字，有4种方法；然后在剩余的三张数字卡片中任选一张作个位数字，有3种方法．根据分步计数原理，组成上述两位数共有种不同方法，也就是说可组成12个不同的两位数．它们的排法和组成的不同两位数具体如图3-2所示．3.1.1椭圆的定义通过研究比较发现，上面两个实际问题所考察的对象和研究的具体情况不同，但若抽去它们的实际意义，把所考察的对象称做元素，那么它们都可归结为同一类问题：即从n个不同元素中每次取出m个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法问题．定义从n个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列．从排列的定义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同．3.1.1椭圆的定义3.1.2排列数计算公式3.1.2排列数计算公式（3-1）3.1.2排列数计算公式（3-2）（3-3）（3-4）3.1.3排列的简单应用用1，2，3，4四个数字可组成多少个没有重复数字的三位数？例1:解：所求三位数的个数，就是从4个不同元素中取出3个元素的排列种数．根据公式(3-1)，共可组成个没有重复数字的三位数．3.1.3排列的简单应用中国足球甲A联赛1998年参赛队由1997年的12个队增加到14个队，并仍采用主客场制比赛，问1998年的比赛场次比1997年增加了多少场？例2:答：1998年的比赛场次比1997年增加了50场．数海拾贝用数学书写的人生格言有一句著名的格言说数学比科学大得多，因为它是科学的语言．数学不仅用来写科学，而且可以用来描写人生．下面介绍几位古今中外名人的人生格言，它们都是用很简单的“数学”(数字、符号、数学概念、式子等)来表达的，而且是那么深刻、绝妙．下面摘录几句用数学书写的格言．1．王菊珍的百分数我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言，叫做“干下去还有50%成功的希望，不干便是100%的失败”．2．托尔斯泰的分数俄国大文豪托尔斯泰在谈到人的评价时，把人比做一个分数．他说：“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母．分母越大，则分数的值就越小．”3．雷巴柯夫的常数与变数俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’．用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍．”3.2组合3.2.1组合的定义3.2.2组合数计算公式3.2.3组合数的性质3.2.4组合的简单应用思考定义一般地，从n个不同的元素中，任取个元素，不管顺序如何并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．问题：甲、乙、丙三支足球队在某地采取单循环制进行比赛，需要进行多少场比赛？3.2.1双曲线的定义这个问题与上节中计算主客场制比赛场次的问题不同．主客场比赛的场数与主队、客队的顺序有关，而采取单循环制进行比赛的场次只与两队队名有关．例如“甲队—乙队”与“乙队—甲队”是同一个场次．3.2.2组合数计算公式组合数计算公式（3-7）（3-8）3.2.3

组合数的性质性质13.2.3

组合数的性质性质2(3-10)证明：3.2.4组合的简单应用有10个球队进行单循环比赛，共需安排多少场比赛？例1:解：因为每一场球赛只与是哪两个球队参赛有关，而与这两个球队的排列顺序无关，所以是组合问题．其组合种数即所需场次为(场)．3.3二项式定理3.3.1二项式定理3.3.2通项公式的应用3.3.3二项展开式的性质问题1：3.3.1二项式定理问题2：上述展开式中出现的项以及它们的系数有规律吗?是什么样的规律?知识链接3.3.1二项式定理这些项在展开式中出现的次数，就是合并后所得各项的系数．在上式右端的4个括号中各取一个字母，于是（3-11）一般地，有此式称为二项式定理.3.3.1二项式定理结论：1.（a+b)n的二项展开式：2.公式（3-11）中每一项的系数叫做二项式系数.3.是二项展开式中的第r+1项，叫做二项展开式的通项，记做Tr+1，即(3-12)3.3.2通项公式的应用问题：你会应用二项展开式的通项公式，来求解二项展开式中的某一项吗？例如，求展开式中第6项和倒数第2项．知识链接二项展开式的通项公式：3.3.3

二项展开式的性质性质1

二项式的展开式中，到首、末两端“等距”的两项的二项式系数相等．性质2

若二项式的幂指数是偶数，则在二项式的展开式中，中间一项的二项式系数最大；若二项式的幂指数是奇数，则在二项式的展开式中，中间两项的二项式系数最大．性质3

不论幂指数是奇数还是偶数，随着二项展开式的项，从中间变动到首末两端，二项式系数逐渐减小．数海拾贝奇妙的关系——二项式定理3.4离散型随机变量及其分布列3.4.1离散型随机变量3.4.2离散型随机变量的分布列3.4.1

离散型随机变量问题你认为随机事件和数量之间有联系吗？你能举例说明事件可以和数量联系起来吗？一般地，我们把表示随机现象各种结果的变量叫做随机变量.随机变量通常用希腊字母，，等来表示.3.4.2

离散型随机变量的分布列3.4.2

离散型随机变量的分布列3.4.2

离散型随机变量的分布列3.5离散型随机变量的常见分