4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第2课时空间中的距离问题）课件高二上学期数学北师大版选择性

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时空间中的距离问题第三章空间向量与立体几何北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

点到平面的距离

如图,设点P是平面α外一点,点A是平面α内的已知点,n0是平面α的单位法向量.过点P作PP'⊥平面α,垂足为点P',则线段PP'的长度就是点P到平面α的就等于线段PP'的长度.点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=|·n0|.

名师点睛1.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.2.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.思考辨析线面距、面面距与点面距有什么关系?提示

自主诊断1.[人教A版教材习题]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点A到平面B1C的距离等于

;直线DC到平面AB1的距离等于

;平面DA1到平面CB1的距离等于

.

111解析

如图,点A到平面B1C的距离等于线段AB的长,又AB=1,∴点A到平面B1C的距离为1.∵直线DC∥平面AB1,故直线DC到平面AB1的距离即为点C到平面AB1的距离.又点C到平面AB1的距离为BC的长,BC=1,∴直线DC到平面AB1的距离为1.∵平面DA1∥平面CB1,∴平面DA1到平面CB1的距离即为点A到平面CB1的距离,为线段AB的长,又AB=1,∴两平行平面的距离为1.2.[人教B版教材习题]已知A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5),求原点O到平面ABC的距离.知识点2

点到直线的距离如图,设点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,过点P作直线l的垂线,垂足为点P',则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢?按照前面的思路,若能求出垂线段PP'的方向向量,则可在直线l上任取一点A,求

方向上的投影向量的长度即可.事实上,在平面向量中就是这样做的.然而在空间中,求垂线段的方向向量较为困难.但直线l的方向向量已知,所以可先求出

在l0方向上的投影数量,然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得|PP'|即可.若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为已知点A在直线l外,点P是直线l上的一个动点,AP是否存在最小值?提示

存在.当AP⊥l时,AP存在最小值.思考辨析

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)点到直线的距离就是点和直线上任意一点之间的距离.(

)(2)当点在直线上时,点到直线的距离为0.(

)(3)点A到直线l的距离就是点A与直线l上所有点连线的长度的最小值.(

)×√√2.[人教A版教材习题]如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B1E的距离;(2)求点A1到平面AB1E的距离;(3)求直线FC1到平面AB1E的距离.(3)∵FC1∥AE,FC1⊄平面AB1E,∴FC1∥平面AB1E,∴FC1到平面AB1E的距离即为F到平面AB1E的距离.重难探究·能力素养速提升探究点一利用空间向量求点线距【例1】

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.解

以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量变式探究1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.变式探究2将例1条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到A1C1的距离.规律方法

用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.探究点二利用空间向量求点面距【例2】

[2024安徽宿州期末]如图所示,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,∠ADP=120°,AD=PD=2AB=2BC=2,平面ABCD⊥平面PAD,M为PA的中点.(1)求点M到平面PCD的距离;(2)求平面PCD和平面ADC夹角的余弦值.解

(1)如图所示,平面ABCD⊥平面PAD,∠BAD=90°,即BA⊥AD,又平面ABCD∩平面PAD=AD,BA⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.在平面PAD中,过点A作直线l垂直于AD.又AD⊂平面PAD,所以AB⊥l,AB⊥AD,以A为坐标原点,分别以直线l,AD,AB为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为AD=2,所以由题意A(0,0,0),D(0,2,0),又因为BC∥AD,BA⊥平面PAD,AB=BC=1,所以B(0,0,1),C(0,1,1),规律方法

求点到平面的距离的方法(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即点到平面的距离.(2)在三棱锥中利用等体积法求解.(3)向量法.步骤如下:变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点.(1)证明:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.(1)证明

以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415A级必备知识基础练1.[探究点二]已知平面α的一个法向量为n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),且A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为(

)B123456789101112131415A1234567891011121314151234567891011121314153.[探究点一]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(

)C解析

以点A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.1234567891011121314151234567891011121314154.[探究点二]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(

)B123456789101112131415解析

以D1为坐标原点,分别以直线D1A,D1C1,D1D为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),1234567891011121314155.

[探究点一](多选题)

已知直线l的方向向量n=(1,0,-1),A(2,1,-3)为直线l上一点,若点P(-1,0,-2)为直线l外一点,则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为(

)AB1234567891011121314156.[探究点二]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,则点B到平面D1AC的距离等于

.

123456789101112131415解析

如图,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,1234567891011121314157.[探究点二]如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为

.

1234567891011121314158.[探究点二]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解

以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,123456789101112131415令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),根据题意有B1C∥A1D,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD,同理D1B1∥平面A1BD,B1C∩P1B1=B1,∴平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为1234567891011121314151234567891011121314159.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为(

)B级关键能力提升练B12345678910111213141510.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(

)D解析

以点P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),12345678910111213141512345678910111213141511.如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离是(

)B解析

如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接A1D,OD1,∵AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又AD1⊥A1D,AB∩AD1=A,12345678910111213141512345678910111213141512.已知直线l的一个方向向量为m=(1,,-1),若点P(-1,1,-1)为直线l外一点,A(4,1,-2)为直线l上一点,则点P到直线l的距离为

.

12345678910111213141513.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为

.

123456789101112131415解析

点P到直线CC1距离的最小值就是异面直线D1E和CC1的距离,以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,12345678910111213141514.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB