高一《新题速递·数学》6月第01期（考点06-11）

2019-2020学年高一《新题速递・数学》

考点06-11

考点（）6柱、锥、台、球及其简单组合体

考点07三视图和直观图

考点08球、棱柱、棱锥的表面积和体积

考点09空间点、线、面的位置关系

考点10线、面平行或垂直的性质与判定

考点H立体几何综合

冬。.♦运.。*.=«，号。.♦*。♦♦二.。*.««­.■

考点06柱、锥、台、球及其简单组合体

一、单选题

1.（2020届湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体高三统一联合考试数学（理）试题）鲁班锁是中国传

统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的样卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左

右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90。梯卯起来.若正四棱柱的高为6,底面正

方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最

小值为（）

A.417rB.42乃C.43乃D.447r

【答案】A

【解析】

【分析】由于图形的时称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.

【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半,

即为1xj36+4+l=巫,

22

.•.该球形容器体积的最小值为：4%x（叵）2=41兀.

2

故选：A.

【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要

方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.

2.（湖北省宜昌市长阳县第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知半径为5的球的两个平行

截面的周长分别为6万和8不，则两平行截面间的距离是（）

A.1B.2

C.1或7D.2或6

【答案】C

【解析】

【分析】求出两个平行截面圆的半径，由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同

侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.

【详解】设两平行截面圆的半径分别为小为，则2万｛=6%,2%弓=8%,：./=3,弓=4.

•••球心到两个截面的距离分别为&=V52-32=4,4=,52-42=3.

当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为4-4=4-3=1；

当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为4+&=4+3=7.

故选：C.

【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.

3.（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题）如图，透明的圆柱

形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点8处有一

饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径

是（）

C.VbTcmD.2V34cm

【答案】A

【解析】

【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A关于EE的对称点为4,则AE+BE的最小值为AB，

计算得到答案.

【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A关于EF的对称点为A'，

则AE+BE的最小值为4B，易知BC=5,A'C=12,故4B=13.

故选：A.

【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

4.（山西省忻州实验中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题）下列结论正确的是（）

A.存在每个面都是直角三角形的四面体

B.每个面都是三角形的几何体是三棱锥

C.圆台上、下底面圆周上各取一点的连线是母线

D.用一个平面截圆锥，截面与底面间的部分是圆台

【答案】A

【解析】

【分析】利用椎体、台体的结构特征即可逐一判断.

【详解】对于A,利用三棱锥尸-ABC,满足24,平面ABC，

是以点C为直角顶点的直角三角形，如图：

B

C

则9_L/W，PAIAC^PA1BC，又8C_LAC，

PAC\AC^A,PA，ACu平面尸AC，

平面PAC，PCu平面尸AC，

BC1PC,故三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，

存在每个面都是直角三角形的四面体.

对于B,根据三棱锥的结构特征，各个面为三角形不一定为三棱锥，

两个一样的三棱锥上下拼接成一个六面体，它的每个面都是三角形，故B错误：

对于C,以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，

其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台，

旋转轴叫做圆台的轴，直角梯形上、下底旋转所成的圆面称为圆台的上、下底面，

另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，

侧面上各个位置的宜角梯形的腰称为圆台的母线，故C错误；

对于D,只有用平行于圆锥底面的平面去截取圆锥，

圆锥底面和截面之间的部分才是圆台，故D错误；

故选：A

【点睛】本题考查了三棱锥、圆台的结构特征，掌握简单几何体的结构特征是解决本题的关键，属于基础

题.

5.（山西省忻州实验中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题）用一平面截正方体，截面可能是

①三角形②四边形③五边形④六边形中的（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】由正方体的结构特征，作出截面即可判断.

【详解】如图所示：

【点睛】本题考查了正方体的结构特征，注意培养空间想象能力，属于基础题.

二、多选题

6.（山东省平邑县、沂水县2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）用一个平面去截一个几何体，截

面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）

A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.正方体

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.

【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，

三棱锥平行于底面的截面是三角形，

正方体的截面可能是三角形，如图:

故选：ACD.

【点睛】此题考查物体截面辨析，关键在于熟悉常见几何体的几何特征，分析截面可能的情况.

7.（福建省泉州第十六中学2019-2020学年高一5月月考数学试题）下列命题错误的是（）

A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质判断选项即可.

【详解】对于A,棱柱的侧面不一定全等，故错误；

对于B,由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；

对于C,若三楼锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，

故正确；

对于D,棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误.

综上，ABD错误.

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，考查学生的空间想象能力和推

理论证能力，属于基础题.

三、填空题

8.（上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题）已知球。的半径R,AB是球面上两

点，若线段A8的长为七，则A、B两点间的球面距离为.

TT

【答案】-R

3

【解析】

［分析］先根据|=\OB\=|Q4|=R,求出乙4。8=-,则可得到A、B两点间的球面距离为三R.

33

【详解】球。的半径氏是球面上两点，线段A3的长为民

由\AB\=\OB\=|Q4|=R,所以QAB为等边三角形.

所以NA0B=—,所以A、B两点间的球面距离为一？R-R

333

TT

故答案为：-R

3

【点睛】本题考查求球面上两点间的球面距离，属于基础题.

9.（山西省忻州实验中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题）如图，三棱锥S—ABC中

,S4=S3=AC=2,ZASB=ZBSC=ZCSA=30，M.N分别为S3、SC上的点，则AAW周

长的最小值为.

【答案】2x/2

【解析】

【分析】把三棱锥的侧面沿其中一条侧棱展开成平面，在平面中即可求出A4MN周长的最小值.

（详解】将三棱锥S-ABC侧面沿其中一条侧棱展开成如图所示的平面图形：

由ZASB=ZBSC=NCSA=30。，

所以ZASA'=ZASB+NBSC+NCSA=90.

s

观察图形可知，

当A、M、N三点共线时，A4MN周长的最小，

此时MMN周长为AN+MN+AM=722+22=272-

故答案为：2母

【点睛】本题考查了空间几何体表面上的最值问题，解题的基本思路是“展开”，将空间几何体的“面”展开

铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题，属于中档题.

10.（江苏省常州市教学联盟2019-2020学年高--下学期期中数学试题）圆锥底面半径为10,母线长为40,

从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是一.

【答案】40A/2

【解析】

【分析】根据题意，先求得展开图形中扇形的圆心角度数，即可由勾股定理求得最短路径长.

24x107C

【详解】该圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形圆心角度数为a=----------=一，

402

最短路程为yl4Cr+402=4072-

故答案为：40\/2-

【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，最短距离求法，属于基础题.

11.（江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二开学考试数学（文）试题）圆台的母线长为2a,母线

与轴的夹角为30。，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则上底面圆的半径为.

【答案】a

【解析】

【分析】设上底面半径为「，则下底面半径为2r,根据NP=30°用「表示尸4、PB，由=列

出等式即可得解.

【详解】如图所示，设上底面半径为r,则下底面半径为2r,

•.­ZP=30,：.PA=2OtA=2r,PB=2OB=4r,

又PB=PA+AB，+2r=4/-=>r=«.

故答案为：a.

【点睛】本题考查圆台的结构特征，解题时应用初中平面几何的知识点，属于基础题.

12.（湖南省五市十校2019-2020学年高一上学期第一次联考数学试题A卷）我国古代数学名著《数学九章》

中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木

长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤

最少长尺.（注：1丈等于10尺）

【答案】37

【解析】

【分析】根据题意知圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是三个矩形相连所成对角线的长.

【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：

一条直角边（即圆木的高）长3x10+5=35尺，另一条直角边长3x4=12尺，

因此葛藤长为历工运=37尺.

故答案为：37.

【点睛】本题考查了旋转体侧面上的最短距离计算问题，正确运用圆柱的侧面展开图是解题的关键，考查

空间想象能力，属于中等题.

.：!<°.o<一运.亳。•♦运「。常；"塞•照

考点07三视图和直观图

一、单选题

1.（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题）如图，一个水平放置的面积

是2+及的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中AD'〃B'C,则等腰梯形面积为（）

A.-J-+—B.1+—C.1+72D.2+72

222

【答案】A

【解析】

【分析】根据斜二测画法的规则得出原水平放置的平面图，利用梯形的面积公式表示出直观图的面积:

SA.B,C,D.=-^\A'D'+B'C'）-A'B',即可求解.

【详解】根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图:

上底为AD,下底为B'C',高为2AE的直角梯形,

所以水平放置的平面图形的面积为：

S=g.（A'D'+B'C'Y2A9=2+血

行i

=手x万.(+B'C)-2A'B'

故选：A

【点睛】本题考查了斜二测画法的规则，考查了基本运算能力，属于基础题

2.（河南省濮阳市2020届高三第二次模拟考试数学（文）试题）“王莽方斗”铸造于王莽始建国元年（公元9

年），有短柄，上下边缘刻有篆书铭文，外壁漆画黍、麦、豆、禾和麻纹，如图1所示.因其少见，故为研

究西汉量器的重要物证.图2是“王莽方斗”模型的三视图，则该模型的容积为（）

A.213B.162C.178D.193

【答案】B

【解析】

【分析】根据三视图提供的数据结合几何体为长方体，然后利用长方体的体积公式求解.

【详解】由三视图知，该几何体容积部分为长方体，且长，宽，高分别为：6,6,4.5,

所以其容积为45x6x6=162.

故选：B

【点睛】本题考查数学文化、三视图、空间几何体的体积，还考查了直观想象和运算求解的能力，属于基

础题.

3.（天津市宝垠区大钟庄高级中学2019-2020学年高一6月月考数学试题）如图是一梯形OABC的直观图,

其直观图面积为S,则梯形0ABe的面积为（）

B.V25C.20sD.&S

【答案】C

【解析】

【分析】根据孕幽=£，可得梯形。4BC的面积.

S原图4

【详解】由鎏里=坐.可得梯形OA8C的面积S梯形0ABe=噌=2夜S.

'原图472

故选：C.

【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题.

4.（北京市海淀区2020届高三年级笫：学期期末练习（二模）数学试题）某三棱锥的三视图如图所示，如果

网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（)

24

A.B.C.2D.4

33

【答案】A

【解析】

【分析】如图所示：三棱锥G-BDE为三视图对应儿何体，”•算体积得到答案.

【详解】如图所示：在边长为2的正方体-中，E为CD中点,

则三棱锥G-8。七为三视图对应几何体.

V=15AfiD£.CC,=lxlxlx2x2=1.

故选：A.

【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

5.（广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学（文）试题）已知某几何体的三视图如

图所示，则该儿何体的表面积为（）

正视图侧（左）视图

俯视图

A.224+12B.244+12C.26乃+12D.2（）4+12

【答案】A

【解析】

【分析】由三视图可知，该几何体为圆柱进行切割了一个半圆柱所得的组合体，再分别计算各个表面的面

积之后即可.

【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱进行切割了一个半圆柱所得的组合体，

所以所求表面积为2XTTX22+3X4+TTX2X5+乃X2X2=22TT+12.

故选：A

【点睛】本题考查由三视图还原立体图形并求表面积，属于基础题.

6.（江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考数学（理科）试题）某几何体的三视图如图所示（网格中

的每个网格小正方形的边长为单位1）,则该几何体的体积为（）

162022

A.——B.6C.—D.——

333

【答案】D

【解析】

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由正方体截割去I个三棱锥所得到的几何体，由此求出儿

何体的体积.

【详解】解：由三视图，可知该几何体是由正方体截割去1个三棱锥所得到的几何体，如图所示：

因为网格中的每个网格小正方形的边长为单位1,

119

所以三棱锥的体积为咚棱锥=-x-x2xlx2--,丫正方体=2x2x2=8

222

所以该几何体的体积为%方体一%棱锥=8--=y

【点睛】此题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，属于基础题.

7.（浙江省绍兴市诸暨市2020届高三下学期6月高考适应性考试数学试题）一个空间儿何体的三视图如图

3

C.D.

22

【答案】C

【解析】

【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，再根据棱锥的体积公式求解即可.

【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图，且高为6,

该三棱锥的体积V=!X!X1XGX百="

322

故选：C.

【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体并求几何体的体积，属于基础题.

8.（浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题）某几何体的三视图如图所示（单位:

cm）,其俯视图是两个同心圆，且小圆的内接四边形是正方形，则该几何体的体积等于（）cn?.

俯视图

11^-1628乃。284，/

A.B.C.-----8D.-----16

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由几何体的三视图可得，几何体是一圆台挖了一个内接正四棱柱，用圆台的体积减去正四棱柱的

体积即可求得答案.

1QQ_

【详解】圆台的体积为匕=§（%•/+万.2?诟）x4设正四棱柱的底面边长为。，

则、/%=2，得。=正，则正四棱柱的体积匕x4=8，

287r

故几何体的体积为X-K----------------O

3

故选：c

【点睛】本题考查了三视图的理解和圆台、正四棱柱的体积公式，还考察了空间想象能力.

9.（上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题）如图，正方体A8CD-A4C|A中,

E为棱B片的中点，用过4E、G的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的主视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图.

【详解】在正方体A8CO—44GA中，取的中点F,连接如图.

则Ab//C|E,所以过点A、E、c的平面截该正方体的截面为平行四边形AbGE.

则用过A、E、G的平面截去该正方体的卜半部分，剩余几何体为

则其正视图为图中粗线部分.

【点睛】本题考查空间三视图与直观图的应用，属于基础题.

10.（山西省忻州实验中学2019-202（）学年高二下学期第一次月考数学试题）如图，某三棱锥的三视图都是

直角边为0的等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积是（）

A.6B.6+5/3C.3D.3+6

【答案】D

【解析】

【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为正三棱锥P-A5C,目.Q4、PB、PC两两互相垂直,

PA=PB=PC=2,根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】由三视图还原几何体，可知该几何体为正三棱锥P-ABC,

且抬、PB、PC两两互相垂直，PA=PB=PC=2,

该二棱锥的表面积

S=SAAPC+S«8PC++S-ABC

=—x>/2x^2H—x5/2xy/2H—x\p2.xy/2H—x2x2xsin60=3+A/3.

2222

故选：D

【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是还原出几何体的直观图，考查了

空间想象能力，属于基础题.

11.（山西省忻州实验中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题）某水平放置的平面图形的斜二

侧直观图是等腰梯形（如图所示），NABC=45°,AD=AB=gBC=l,则该平面图形的面积为（）

X

(0)

A.3B.4

「30n372

24

【答案】A

【解析】

【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积.

【详解】由NA8C=45°,A£>=1

2

根据斜二测画法可知：

原平面图形为：下底边长为2,上底为1,高为2的直角梯形，

所以S=H^X2=3.

2

故选：A

【点睛】本题考查了斜二测画法中直观图与平面图形中的量的变化，属于基础题.

12.（福建省泉州第十六中学2019-2020学年高一5月月考数学试题）AA5c是边长为1的正三角形，那么

△A5c的斜二测平面直观图△A'B'C'的面积（）

A.旦B.旦C.在D.昱

16884

【答案】A

【解析】

【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.

【详解】以A8所在直线为无轴，线段A8的垂直平分线为V轴，建立直角坐标系，

画对应的X,轴，，轴，使NTO'y'=45。，如下图所示，

结合图形，AABC的面积为54*=J_xABxOC=」xlx^=走，

"BC2224

作COLAS',垂足为。,

则。。=纥。。=与、0。=①0。，AB=A'B'.

2224

所以A/rB'C'的面积SKC=-xA'B'xC'D--x—xOCxAB=—xS.

A/*ioc2244△4八人BC

即原图和直观图面积之间的关系为孕幽=¥.

S原图4

所以，△A/'。'的面积为sAHC=Y2*@=45.

aASC4416

故选：A.

【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.

.：!<°.o<一运.亳。•♦运「。常；"塞•照

考点08球、棱柱、棱锥的表面积和体积

一、单选题

1.（山东省平邑县、沂水县2019-2020学年高•下学期期中考试数学试题）已知一个圆柱的侧面积等于表面

积的且其轴截面的周长是16,则该圆柱的体积是（)

A.54万B.36%C.27%D.16万

【答案】D

【解析】

2

2万7?/?=—x2%/?(〃+/?)

【分析】设圆柱的底面半径为A,高为〃，则由题意得，〈3'),解方程组，再根据

2〃+4R=16

圆柱的体积公式求解即可.

【详解】解：设圆柱的底面半径为R，高为〃，

♦.•圆柱的侧面积等于表面积的I"，目.其轴橄面的周长是16,

2,、

2万7?〃=—x2万/?(/?+R)R=2

3解得，

/?=4

2/z+4H=16

圆柱的体积为V=兀Nh=16乃，

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题.

2.（山东省平邑县、沂水县2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）某种浮标是一个半球，其直径为

0.2米，如果在浮标的表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆

需要涂料（）（万取3.14）

A.47.1kgB.94.2kgC.125.6kgD.157kg

【答案】A

【解析】

【分析】结合球的表面积公式，求出一个浮标的表面积，进而可求1000个浮标涂防水漆需要涂料质量.

【详解】解：由题意知，半球的半径R=（）.l米.一个浮标的表面积

S=L・4%R2+乃R2=37R2=3x3.14xO.『=0.0942平方米，

2

所以1000个浮标涂防水漆需要涂料l（X）（）x0.5x（）.（）942=47.1kg.

故选:A.

【点睛】本题考查了球的表面积的求解.本题的关键是求出半球的表面积.本题的易错点是求表面积时，忽

略半球的圆面的面积.

3.（四川省乐山市2020届高三第三次调查研究考试数学（文）试题）如图，在三棱锥A-3CD中，

ZABC=ZABD=ZCBD=90°,AB=BC=BD=1,则其外接球的体积为（）.

A.3兀B.—TiC.—itD.-

222

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得三棱锥38在正方体中，借助正方体的体对角线即为外接球的直径即可求得结

果.

【详解】将三棱锥A—BCD放入棱长为1的正方体中，

则其外接球即为正方体的外接球，球半径为/?=走，

2

所以外接球的体积为V=&无内=1兀

32

故选:C.

【点睛】本题主要考查几何体的结构特征以及外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基

础题.

4.（四川省成都市第七中学2020届高三高中毕业班三诊模拟数学（文科）试题）已知一个四面体的每一个面

都是以3,3,2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为（）

【答案】C

【解析】

【分析】考虑一个长方体A3CD-A与G2，其四个顶点就构成一个四面体ABC。恰好就是每个•:角

形边长为3,3,2,则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，即可得外接球的

表面积.

【详解】设长方体ABC。—44GA的长宽高分别是a，4c,其四个顶点就构成一个四面体满

足每个面的边长为3,3,2,如图：

则四面体的外接球即为长方体的外接球，

因为"+匕2=9，Z>2+c2=9，c2+a2=4,所以4+匕2+。2=]i,

所以，长方体的外接球直径27?=1，

故外接球的表面积S=4TFR2=1.

故选：C.

【点睛】本题考查求一个几何体的外接球表面积，关键是求出外接球的半径，将几何体补成一个长方体是

解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题.

5.（2020届四川省成都市石室天府中学高三第四次阶段性质量检测数学（理）试题）阿基米德（公元前287

年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数

学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且

球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器

里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54乃的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，

64万

A.4乃B.16万C.36"

【答案】C

【解析】

【分析】设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2兀%+2JTRx27?=54乃，解得

球的半径R=3,再代入球的体积公式求解.

【详解】设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=24曾+2万斤x2斤=54万，

解得R=3,

44

所以该球的体积为/=—兀R'=—xx33=36%.

33

故选：C

【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

6.（2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学（理科）试题）在四棱锥尸-A8CD中，底面A8CD为矩形，

AB=^BC=\,AB4c为等边三角形，若四棱锥P-ABC。的体积为1,则此四棱锥的外接球表面

积为（）

4万8万16万

A.B.—C.------D.3万

333

【答案】C

【解析】

【分析】连接AC,8。交于。，先根据AP4c为等边三角形以及四棱锥P—ABCD的体积为1可得P。，

平面A3CO,进而可得球心在平面PAC中，进而求得外接球的半径与表面枳即可.

【详解】连接AC,BD交于。，连接PO.因为底面ABCD为矩形，故AC=y1AB2+BC2=2.

又AP4c为等边三角形，故Q4=PC=2、AO=1,PO=JL

又四棱锥P-ABCD的体积为1,设高为/?厕;•A8•/=1，解得〃=6.

故P。为四棱锥P-ABCD的高.即P。_L平面ABCD

又AC为底面ABC。外接圆的直径，故此四棱锥的外接球球心在平面PAC中，即三角形PAC外接圆圆心.

PQ416

设球半径为R.则2R=—=-j=，故表面积为4万R2=乃仁火厂=万.

sinZPACJ3'’3

p

【点睛】本题主要考查了锥体外接球的计算，需要根据题意判断外接球球心的位置，再用正弦定理求解半径

即可.属于中档题.

7.（四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题）在三棱锥P-A3C中，

PA=PB=PC=2,且两两互相垂直，则三棱锥P—4BC的外接球的体积为（）

A.4下＞兀B.8信C.兀D.2#）兀

【答案】A

【解析】

【分析】

将已知三棱锥补全为一个边长为2的正方体，将求三棱锥尸-ABC的外接球体积转化为该正方体的外接

球，由正方体体对角线长度等于其外接球直径即可求得外接球的半径，进而由球体的体积公式计算即可.

【详解】

在三棱锥尸—A8C中有两两互相垂直，且PA=PB=PC=2,则可将其补全为一个边长为

2的正方体，显然该正方体的外接球即为三棱锥尸一ABC的外接球，设该外接球的半径为〃

正方体的体对角线为522+2?+2]=2G，则2r=2百nr=百

故外接球的体积为V=^7iri=4后.

故选：A

【点睛】本题考查求棱锥外接球的体积，属于简单题.

8.（2020届山东省济南市高三二模数学试题）在三棱锥。一ABC中，AB=2,ACLBC,若该三棱锥的

体积为g，则其外接球表面积的最小值为（）

497r64〃25乃

A.5万B.——C.——D.——

1294

【答案】D

【解析】

【分析】根据均值不等式得到S28C<1，故"22,当P离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时

h15

P在平面ABC的投影为A5中点。「故我=耳+不，根据函数单调性得到&加=^，计算得到答案.

【详解】AB=2.ACrBC,故底面三角形外接圆半径为r=l,

S^BC=；CAC6<；（C42+CB2）=1,当CA=CB=O时等号成立,

1?

故丫=§5小院/=5，故〃之2，

当「离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点。1,

设球心为。，则。在上，故火2=（〃—尺^+产，化简得到R=2+J_,

、）22h

双勾函数丁=]+1在[2,+CO）上单调递增，故Rmi“=a，故，n=4万凡/=a〃.

故选：D.

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9.（2020届湖北省武汉市部分学校高三下学期5月在线学习摸底检测理科数学试题）已知三棱柱

ABC—44G，AB=3,AC=4,ABA.AC,44=12,如果三棱柱ABC—A4G的6个顶点都在

球。的球面上.则球的半径为（）

A.B.2屈C.—D.3710

22

【答案】C

【解析】

【分析】如果三棱柱ABC-44G的6个顶点都在球。的球面上，可判断改三棱柱为直三棱柱，且该三棱

柱外接球球心在底面的投影为底面外接圆圆心，综上可确定外接球球心位置，列等量关系求外接球半径.

【详解】如图，

4

AB_LAC,则AABC外接圆圆心为斜边BC中点0,中点为七，

则球体的球心为EO中点。，设球体半径为R，

,R2=OD2+BD2,

且A8=3,AC-4,AA,=12

OD=-ED=-AA=6,BD=-BC=-yjAB2+AC2=-

22,222

13

解得R=（.

2

故选：C.

【点睛】本题考查空间几何体外接球问题，需注意找外接球球心先找底面外接圆圆心，考查直观想象能力、

推理论证能力和运算求解能力，是基础题.

47r

10.（山西省忻州实验中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题）体积为q-的球。放置在棱长

为4的正方体上,且与上表面相切，切点为上表面中心，则球心与下表面围成的四棱锥的外接球半径为（）

10338064

A.—B.—C.—

3103

【答案】B

【解析】

【分析】体积为目的球。的半径为1，四棱锥O-A8CD的底面边长为4,高为5,设四棱锥0-A8C。

的外接球的半径为R，利用勾股定理，建立方程，即可求出四棱锥0-A5CD的外接球的半径.

【详解】体积为的球。的半径为1,

四棱锥。-ABCD的底面边长为4,高为5,

设四棱锥O-ABCD的外接球的半径为R,

则A?=（5—R『+（2行『，解得尺=布.

故选：B

【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，考查了空间想象能力以及基本运算能力，属于基础题.

二、填空题

11.（四川省泸州市2020届高三第三次教学质量诊断性考试数学（理）试题）己知一块边长为4的正方形铝

板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在答题卡本题图中，通过该方案裁剪，可焊接做成一个密

封的正四棱柱（底面是正方形且侧棱垂于底面的四棱柱），且该四棱柱的全面积等于正方形铝板的面积（要

求裁剪的块数尽可能少，不计焊接缝的面积），则该四棱柱外接球的体积为.

【答案】—

2

【解析】

【分析】将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为

2,高为1的正四棱柱A5CD-4旦GA.该四棱柱外接球的半怜R=，=|.由此能求出该四棱柱外

接球的体积.

【详解】解：将正方形按图中虚线剪开,

以两个正方形为底面，四个长方形为侧面,

焊接成一个底面边长为2,高为1的正四棱柱A6CO—44G。一

底面ABCD为边长为2的正方形,

•••该四棱柱外接球的半径/?=也=亚+联+22=3

222

•••该四棱柱外接球的体积为：

故答案为：--.

2

【点睛】本题考查四棱柱外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，属于中档题.

12.（河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三第三次联考数学（文）试题）已知矩形A8CD中，AB=2，

E是C。边的中点，现以AE为折痕将AADE折起，当三棱锥E>—A3E的体积最大时，该

三棱锥外接球的表面积为.

16万

【答案】~3~

【解析】

【分析】当平面4)E_L平面ABCE,三棱锥O—A8E的高最大，此时其体积最大，△&1£为直角三角

形，所以E4=PG=EE,为正三角形，其中心设为。，再证明