新高考数学一轮复习 讲与练第19讲 等比数列及其求和（解析版）

第19讲等比数列及其求和学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.等比数列的概念(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.考点和典型例题1、等比数列基本量的运算【典例1-1】（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1024 B．960 C．768 D．512【答案】A【详解】解：依题意设公比为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故选：A【典例1-2】（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0成公比为3的等比数列，则SKIPIF1<0（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0成公比为3的等比数列，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为数列SKIPIF1<0为等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0的公比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的SKIPIF1<0倍，那么训练n天产生的总数据量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】根据题意可知每天产生的数据量是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为公比的等比数列，所以训练n天产生的总数据量为SKIPIF1<0，故选：D【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知正项等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．16 B．24 C．32 D．8【答案】C【详解】等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且公比SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立．故选：C.【典例1-6】（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为SKIPIF1<0；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为SKIPIF1<0．已知标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力准确值为SKIPIF1<0，则标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】依题意，以标准对数视力SKIPIF1<0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力SKIPIF1<0为该数列第3项，标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为SKIPIF1<0，因此，标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为SKIPIF1<0.故选：D2、等比数列的判定与证明【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）（多选）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之和，且满足SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0为等差数列 B．若SKIPIF1<0为等差数列，则公差为2C．SKIPIF1<0可能为等比数列 D．SKIPIF1<0的最小值为0，最大值为20【答案】BCD【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等差数列，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；故A错误；B正确；C正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；故D正确.故选：BCD.【典例2-2】（2022·湖南·雅礼中学二模）（多选）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】将圆盘从小到大编为SKIPIF1<0号圆盘，则将第SKIPIF1<0号圆盘移动到3号柱时，需先将第SKIPIF1<0号圆盘移动到2号柱，需SKIPIF1<0次操作；将第SKIPIF1<0号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将SKIPIF1<0号圆需移动到3号柱需SKIPIF1<0次操作，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：AD.【典例2-3】（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，SKIPIF1<0（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数SKIPIF1<0（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．数列SKIPIF1<0是等比数列C．数列SKIPIF1<0不是递增数列D．数列SKIPIF1<0的前n项和小于SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】SKIPIF1<0，A对；∵2为质数，∴在不超过SKIPIF1<0的正整数中，所有偶数的个数为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等比数列，B对；∵与SKIPIF1<0互质的数为SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0个，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0一定是单调增数列，C错；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，D对.故选：ABD．【典例2-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0为等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求证：SKIPIF1<0．【解析】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为等比数列．所以SKIPIF1<0(2)由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同号，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以数列SKIPIF1<0为递增数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【典例2-5】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知各项都为正数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是等比数列；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【解析】(1)因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0是首项和公比均为SKIPIF1<0的等比数列.(2)由（1）易得：SKIPIF1<0

因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、等比数列的性质及应用【典例3-1】（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.【典例3-2】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.故当SKIPIF1<0或4时，SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0.故选：A.【典例3-3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则公比q＝（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】D【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得q＝3或q＝－1（舍去）．故选：D．【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正整数且互不相等，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等比数列；②数列SKIPIF1<0是等比数列；③SKIPIF1<0．注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】选择①②为条件，③为结论．证明过程如下：设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，由题意知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，展开整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．选择①③为条件，②为结论，证明过程如下：设SKIPIF1<0的公比为q，由题意知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列．选择②③为条件，①为结论，证明过程如下：设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1