新高考数学一轮复习 讲与练第28练 双曲线（解析版）

第28练双曲线学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意，SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0故选：C2．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D3．已知点F是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入双曲线方程，得SKIPIF1<0，由于点P在第一象限，所以点P坐标为SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，点P到双曲线的渐近线的距离为SKIPIF1<0．Q是双曲线渐近线上的动点，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：B．4．若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线平行，则实数m的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】A【详解】SKIPIF1<0的渐近线方程满足SKIPIF1<0，所以渐进线与SKIPIF1<0平行，所以渐近线方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：A5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点SKIPIF1<0在该双曲线上．设该双曲线的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故该双曲线的标准方程是SKIPIF1<0．故选：D.6．如图，双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0为双曲线右支上一点，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.7．已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可得SKIPIF1<0．取渐近线SKIPIF1<0，易知点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为b，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0．所以C的实轴长为8．故选：A8．双曲线SKIPIF1<0，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线SKIPIF1<0的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆SKIPIF1<0上的一点，则△ABD的面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此点A的坐标是SKIPIF1<0，点D是线段OF的中点，则直线AD的方程为SKIPIF1<0，点B是圆SKIPIF1<0上的一点，点B到直线AD距离的最大值SKIPIF1<0也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：A9．已知方程SKIPIF1<0，则E表示的曲线形状是（

）A．若SKIPIF1<0，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，要表示椭圆，需满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故A错误；若E表示双曲线，则SKIPIF1<0不能为0，故SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故B正确；由B的分析知，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；若E的离心率为SKIPIF1<0，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D错误，故选：B10．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线的左、右焦点，从SKIPIF1<0发出的光线SKIPIF1<0射在双曲线右支上一点SKIPIF1<0，经点SKIPIF1<0反射后，反射光线的反向延长线过SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0异于双曲线顶点时，双曲线在点SKIPIF1<0处的切线平分SKIPIF1<0．若双曲线SKIPIF1<0的方程为上SKIPIF1<0，则下列结论不正确的是（

）A．射线SKIPIF1<0所在直线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，光由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0再到SKIPIF1<0所经过的路程为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0【答案】C【详解】在双曲线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A选项，因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在第一象限内运动时，随着SKIPIF1<0的增大，射线SKIPIF1<0慢慢接近于直线SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，同理可知当点SKIPIF1<0在第四象限内运动时，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0为双曲线的右顶点时，SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，A对；对于B选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，光由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0再到SKIPIF1<0所经过的路程为SKIPIF1<0，C错；对于D选项，若SKIPIF1<0，由角平分线定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，D对.故选：C.二、多选题11．已知双曲线SKIPIF1<0（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（

）A．SKIPIF1<0B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值SKIPIF1<0C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个D．△PF1F2的面积为SKIPIF1<0【答案】BC【详解】根据双曲线的定义可得：SKIPIF1<0，A错误；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，B正确；不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，结合图象易知SKIPIF1<0，则满足条件的点存在且唯一若SKIPIF1<0，结合图象易知SKIPIF1<0，则满足条件的点存在且唯一根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；不妨P在第一象限，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0则SKIPIF1<0D不正确；故选：BC．12．已知双曲线SKIPIF1<0的焦距为4，两条渐近线的夹角为SKIPIF1<0，则下列说法正确是（

）A．M的离心率为SKIPIF1<0 B．M的标准方程为SKIPIF1<0C．M的渐近线方程为SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0经过M的一个焦点【答案】ACD【详解】根据题意双曲线SKIPIF1<0的焦距为4，两条渐近线的夹角为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，①，双曲线的两条渐近线的夹角为SKIPIF1<0，则过一三象限的渐近线的斜率为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，②联立①②可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故双曲线的方程为SKIPIF1<0对A，则离心率为SKIPIF1<0，故A正确.对B，双曲线的方程为SKIPIF1<0，故B错误；对C，渐近线方程为SKIPIF1<0，故C正确；对D，直线SKIPIF1<0经过M的一个焦点SKIPIF1<0，所以D正确.故选：ACD三、解答题13．设SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，且SKIPIF1<0也为抛物线SKIPIF1<0的的焦点，若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形的三个顶点.(1)双曲线C的方程；(2)若直线l：SKIPIF1<0与双曲线C相交于A､B两点，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形的三个顶点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0.(2)解：依题意设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.14．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支的一条切线，且与SKIPIF1<0的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2【解析】(1)由题设可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．(2)设点M的横坐标为SKIPIF1<0当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，则直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0易知点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0﹔当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴此时点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离大于2；综上所述，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的最小距离为2．15．已知F1（SKIPIF1<0，0），F2（SKIPIF1<0