材料力学刘德华版课后习题答案

2.1试求图示杆件各段的轴力，并画轴力图。

⑴

2.2已知题2.1图中各杆的直径d=20mm,F=20kN,

q=10kN/m,1=2m,求各杆的最大正应力，并用图形表示

正应力沿轴线的变化情况。

答(1)63.66MPa,(2)127.32MPa,(3)63.66MPa,

(4)-95.5MPa,(5)127.32MPa

15kN15kN20kN

10kN

127.32MPa

31.85MPa

⑸q

2.4一正方形截面的阶梯柱受力如题2.4图所示。已知:63.69MPa

a=200mm,b=100mm,F=100kN,不计柱的自重，试

计算该柱横截面上的最大正应力。

解：IT截面和2-2截面的内力为:r

FN1=-F；

FN2=-3Fm

相应截面的应力为：4

F100103

N110MPa

1A1002

1m

F3001034

-W-7.5MPa

22002

2

题2.4图

最大应力为:10MPa

'max

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2.6钢杆受轴向外力如图所示，横截面面积为

ab斜截面上的应力。

解：FN=20kN

F

--p-

p

Ncos300

_ticos230o

A

30MPa

F

aa

0

201033Pa

5004b1a

F八.”20183

Tpsin300Ncos30°sm30°17.3纲Pa

aaA5004

o

2.8图示钢杆的横截面积A=1000mm2,材料郃弹性模量上2(潮a,试求：C1

各段的轴向变形；(2)各段的轴向线酶；(3)杆加总伸长厂----------------

解：轴力图如图所示20kN

20kNin20kN

QII

F20kN

N1

1m1m

F-0kN

N220kN

F20kN+

N3

FI201

L104m20kN

1区避修腋秘

L0m

2

|FIim202

L31N3311,12104m

L104m/c104m

1104L

11

J_L0m

IL2m2

20

2L2104m

23

L210

3104

3

3

0.1mm00.2mm0.1mm

IIIII

2.10图示结构中，五根杆的抗拉刚度均为EA,杆AB长为1,ABCD是正方形。

在小变形条件下，试求两种加载情况下，AB杆的伸长。

解（a）受力分析如图，由C点平衡可知：

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c

F'AC=F'CAO；

由D点平衡可知：F'AD=F,BD=O；

再由A点的平衡：

F=0:F=F

xAB

Q川IFIFl

-AB_____

ABEAEA

(b)受力分析如图，由C点平衡可知:

2Fcos45°F,F

ACAC

再由A点的平衡：

F0:FFcos45。F0;FF

xACADABAB

FIFl

因此L

AB

EAEA

AB

2.12图示结构中，水平刚杆AB不变形，杆①为钢杆，直径dl=20mm,弹性模

量El=200GPa；杆②为铜杆，直径d2=25nm,弹性模量E2=100GPa。设在外力F=30kN

作用下,

AB杆(蝌水平。(1)试求F力作用点到A端的距离a；(2)如果使刚ft保持水

平且竖向位移不超过2mm,则最大的F应等于多少？_

解:谭力隹琴两图Fa0

A

_N2M

MB①F2a2FF

N

L

2

aI

A

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42-a1.54a

200109it20210-61001097i25210-6

2-a1.52a

-----------------------，a1.07911.08m

202252dl=20mm,El=200GPa；F2-aIFa,：

d2=25mm,E2=100GPaoEAEK"

LL2m__________________________________________1_J_________2___2

12

FIFal

L2m—U2-2,-max__2.

2EA2EA

2222

7t

此A4100109.252106

F22_____________________________________181.95kN

maxal1.081

2.15图示结构中，AB杆和AC杆均为圆截面钢杆,材料相同。已知结点A无水

平位移，试求两杆直径之比。

F0：

X

Fcos4&Fcos3000

ABAC

x/？F^/5F

ABAC

F火

AR_

FR

Lcos450Lcos30。

ABAC

L।cos30°F、

ABACCOS45°FAC

由两杆变形的几何关系可得

72

sin45°

T

1

sin30°

2

L72L;L2L

yAByAC

J2L2L

ABAC

J7FL2FL

VARARACAC

d2d2

ABAC

%喳1星昱正江1.06

d22FL24

ACACAC77

d

41.03

d

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2.20图示结构中，杆①和杆②均为圆截面钢杆，直径分别为dl=16nun,

d2=20mm,已知F=40kN,刚材的许用应力［。］=160MPa,试分别校核二杆的强

度。

解：受力分析如图

F0:

X

Fsin45°Fsin300

12

F0:

y

Fcos45°Fcos30。F

12

(1)+(2)可解得：F2=29.3kN;

Fdl=16mm,

A42074207102

11_.103MPa[]160MPa

d23.14162

F

2-2A.—29：上至一1—93.3MPa[]160MPa

d23.14202

22

杆①和杆②都满足强度要求。

2.24图示结构，BC杆为5号槽钢，其许用应力［o］l=160MPa；AB杆为100X

50mm2的矩形截面木杆，许用应力［。］2=8MPa。邮（1）当F=50kN时，校核

该结构的强度；（2）许用荷载［F］。

解：受力分析如图

F0:

y

Fsin60Fsin300(1)

BCBA

F0:

X

Fcos30°Fcos60°F0(2)

BABC

联立(1)和(2)解得：FBC=25kN;FBA=43.3kN。

查型钢表可得：ABC=6.928cm2,FBC=25kN;FBA=43.3kN；ABC=6.928cm2,

[0]l=16OMPa；AAB=100X50mm2；[o]2=8MPa0

F25103

RC

36.1MPa[]1160MPa

1A6.928102

BC

F43.3

-BA.8.66MPa[]28Mpa

2A10050

BA

杆BC满足强度要求，但杆BA不满足强度要求。

[F]

―BZUU[F/[12A81005040kN

A6A

将［FBA］带入（1）、（2）式中求得许用荷载［F］=46.2kN

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2.25图示结构中，横杆AB为刚性杆，斜杆CD为直径d=20nun的圆杆，材料的

许用应力［o］=160MPa,试求许用荷载［F］。

解：CD=1.25m,sin9=0.75/1.25=0.6

M0:F2Fsin1

ADC

2F10

+0x=

410F40F103

160

3~202106[]

B

DC

1€0-3~~2S10。

[F]15.1kNF

40103

-F—4T肝一——s—

DC]160

A"c3dRc3c202106

4603202f06……10

[F]15.1kN；d=20mmkF

DC3

L[.QJ=160MPEL

40103

2.27图示杆系中，木杆的长度a不变，其强度也足够高，但钢杆与木杆的行

角a可以改变（悬挂点C点的位置可上、下调整）。若欲使钢杆AC的用料最少，

夹角a应多大？

F

A

解:[]sin

：

F'sin°FAC

0ACAC

a/cos

ACAC

杆AC的体积:

i-is序cos[]2屏2

V=AJC

F

ACACAC

钢杆AC的用料最少,则体积最小，有:

A[]sinFA

ACAB

sin21;45oACF

a/c

os

AC

2.37图示销钉连接中，F=100kN,销钉材料许用剪切应力j］=60MPa,试确

楚销钉的爵do

F

F

d

[J

45010332.6mmd

3.1460F2F2

F

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2.39图示的聊接接头受轴向力F作用改F书OkN,b=80nm,6nomi,d=16nm,

狮钉和板的材料相同，其许用正应力[o]=160MPa,,许用剪切应力[T

j]=120MPa,许用挤压应力[obs]=320MPa。试校核其强度。d

±L

F/4iF/4F

肿：Fs—20kN[o]=160MPa4-

4

F/4斩

/询-=31.25MPa<[]

3F/4a

2=77^r=125MPa<[]

2(b-2d)

=F=125MPa<f]

3Cb-d)3F/4

F/4rTTT

T5=80mm,"&三10面,一P三L......----pF

[Tj]=120MPa,[obs]=320MPabs—42UKN

F420103

s99.5MPa[]

K3.141b2i

F20103

=125MPa<[]

K1b1Ubs

3.1试画下列各杆的扭矩图。

3kN-m厚2kN-m1k%m

(c)$Nu

3kN-m

1kN•m

6取…10kM.m:

(d)S

6RN.m

3.4薄壁圆筒受力如图所示，其平均半径r0=30nnn，壁厚t=2nn,长度l=300mm,

当外力偶矩Me=L2kN时，测得圆筒两端面之间的扭转角6=0.76o,试计算横截

面上的扭转切应力和圆筒材料的切变模量G»

解：r0=30mm,t=2mm,l=300mm,6=0.76。

T

2r寸

0

1.21O

23.143U22

=106MPa；

0

r300.76106.1103

0….1.326103radG」〃80GPa

~T~~300-W1.326103

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3.8直径d=60nun的圆轴受扭如图所示，试求I-I截面上A点的切应力和轴中

的最大扭转切应力。

解：扭矩图如图

d3

W___

P32P16

4kN・m

M322106d16106

T23.59MPa

AcK4d3

P

M164IO

Tmax94.36MPa

maxwd3

p

3.11图示阶梯形圆轴，轮2为主动轮。轴的转速n=100r/min,材料的许用

切应力[>]=80MPa。当轴强度能力被充分发挥时，试求主动轮输入的功率p20

M

T2

W

07

P

Me1

解：当轴的强度被充分发挥时有:2n

MJvvvvPM一

[]W;M[吗e

T1p1T3……60.........

M

MM

T2T1T3p1P3

MMMTTWw

T2T1T3pi।

801d3d3

550可678161°6176.9kW

n2n------100

PMM5d3106

e9.55T2609.55

100

9.55

3.14图示一实心圆轴，直径d=100mm,外力偶矩Me=6kN.m,材料的切变模量

G=80GPa,试求截面B相对于截面A以及截面C相对于截面A的相对扭转角。

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解：由于整杆各个M.

截面内力相等，有:

MM6kNm

Te

MI61O1500326IO1500

TAR———........-------0.011rad

ABGl8018d43280103d4

p

MI61061000326IO1000

TAC0.008rad

AC80103d480~^W

p/32

3.18某阶梯形圆轴受扭如图所示，材料的切变模量为G=80GPa,许用切应力,

[T]=100MPa,单位长度许用扭转角[0]=L5o/m,试校核轴的强度和刚度。

解：扭矩图如图所示；

M16M

=T=T

2.4kN,m

-46-

1000

161.2103

：=48.9MPa<[]1.2kN,m

5映

M1.2180

T

maxei-------LL1MJ

P80109

-^2-

321.21O180

14/m

801O50*1012

4.1试用截面法求下列梁中卜1、2-2截面上的剪力和弯矩。

⑵mim

Ai

5

M,

I口口口口）IVI2

⑴FFF2kNFsJ

S1S2

MF12kNm

1FFqi

MF0.51kNm⑵S1S2

2

M

1

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F7kN;F3kN

S1S2

(4)

F39kNm

c

M12kNm

e

1F愣

Fs?F；5一卜

S1FI

0

1

FlF

2.S2c

F

F11kN;F

S1S2

3kNm

12kNm

FM/l;F

S1eS2

MM

2e

FF2qaB

lI/2L

51

A-^rTTn7]|)

3

-qa2

11

-ql；F-q

5qo|2

4.4试釉下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

FY(0XI);M昌(0xI)

S11

aFIaF

'S2——r-F；M2F(lax)(I

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____

一B

⑵c

qx2

111/2

Fsiqx(0x2)；M1_2kF(0xiI)

1I3I13

FSq|2

2ql;(x2）；Mqlxx22)

8"、2228r24

(2)qBc

A%911

F^ql/8Fc=ql/8T

ql/8

+

O

ql/2

匚图o

qk/8

M图

M图o

q

F1

c

八口口口

⑹J1a1HMiaa1aH1H1ali1HL11Will

I/21/2

电8

/

M图

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4.5用微分、积分关系画下列各梁的剪力图和弯矩图。

A

(4)g—⑻A

t1/4U11/4F-

1/2

F=F/4TFD=3F/4

A

已图

FI/8

M图FI/16旷

3FI/8

4.7检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确，若不正确，请改正。

(1)A

5a/3

qa2/3

M图

74^Wa/18

”图又匹F25q2a/18▼

qa2/2

4.8已知简支梁的剪力图，试根据剪力图画出梁的荷载图和弯矩图（已知梁上

殛中力偶作用）。

4kN

4k\

II®ILw1.5kN

可hT|⑵FQ图

⑴Fs图II

6.5kN

1m

2mI2m

2kN

35kN

⑵Fs图J

6.5kN明厂从图

1mI1m2mMFRP7

10kN.m5kN.m

题4.8图

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4.9静定梁承受平面荷载，且无集中力偶作用，若已知A端弯矩为零，试根

据已知的剪力图确定梁上的荷载及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为

13.3kN.rn

（4.9图）（4.10图）

4.10已知简支梁的弯矩图，试根据弯矩图画出梁的剪力图和荷载图（已知梁

上无分布力偶作用）。

4.11试用叠加法画图示各梁的弯矩图。

(2)分成3块计算：由于截面有

因此：

z180

c

AyAyAy

V1e2g&ca

%AAA

300

360301530030(30

一)3090(

3030O-45)--------------------------

~2

6030300303090

120.6

5.2试确定图示平面图形的形心位置。

查表可得：

角钢A=22.261cm2,形心：(-45.8,-21.2)nn

槽钢A=68."cm2,形心：(23.7,-180)ran

组合截面的形心坐标为：

AzA~z-22261(45:8)68:11237(b)

Z1C12C26.58mm

cAA22.26168.11

12

AyA-y

y1C12C2140.88mm

cAA22.26168.11

12

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5.6试计算图示矩形截面对y、z轴的惯性矩和惯性积以及对。点的极惯性矩。

1b21

—hb3hb-hb3

1223

1

I—bh3hb

z12

b-bhIb2h2

I0

平224

1

-hb3-bh3-hb(b2h2)

33

5.7试计算图示组合图形对z轴的惯性矩。

解：查表得L100X100X10角钢的截面面积：

A=19.261cm2,Iz=179.51cm4,z0=2.84cm

1

I2_250103250103052

z12

4179.51IO1926.130028.42

一1060021.22109mm4

12

5.9试计算图示平面图形的形心主惯性矩。

।b(b2t)3(bt)b3

zc—T2~~12

।bt3tb3

ycTZ6一

5.11图示矩形截面，已知b=150nm,h=200nm,试求：(1)过角点A与底边夹角

hb

A__2.25108mm4

yz22

y_zyzCQS2Isin25.375108mm4

y22yz

yz_yzcos2Isin28.75107mm4

yz

I___Lsin2Icos28.75108mm4

yz2yz

2.25108mm4

令I。，则y

yz4.0108mm4

I2.25108mm4z

y2.25108mm4

I4.01Omm4yz

IIc

z_i_sin2Icos2

I2.25108mm4yz2yz

yz

2-2.25IO

tan2=-2.57

2.25-4.0108

=-34.37°

6.1矩形截面梁受力如图所示，试求『I截面（固定端截面）

I180]

上a、b、c、d四点处的正应力。na

解：1-1截面弯矩为：z

M=20-15*3=-25KN*M

对中性轴z的惯性矩为：

I=bh3/12=180*3003/12

Z

=4.05*108mm4

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-2510-6

-150=9.26MPa；

4.05IO

z

M八

=—y=0；

b|九

z

M-2510-6

=—y=————75=463MPa；

cI%4.05IO

z

M-2510-6

=_y=------------150=-9.26MPa

dI4.05IO

z

6.2工字形截面悬臂梁受力如图所示，试求固定端截面上腹板

与翼缘交界处k点的正应力ok

解：固定端截面处弯矩：

20kN

M201032000IA

410^Nmm

对中性轴的惯性矩:

100203

I21二.20100602窄162

zT2

由正应力公式得：

M4107

一y7________50123.5MPa

kI1.62107

z

6.6图（a）所示两根矩形截面梁，其荷载、跨度、材料都相同。其中一根梁

是截面宽度为b,高度为h的整体梁（图b）,另一根梁是由两根截面宽度为b,

高度为h/2的梁相叠而成（两根梁相叠面间可以自由错动，图c）»试分析二梁

横截面上的弯曲正应力沿截面高度的分布规律有何不同？并分别计算出各梁中

的最大正应力。

解：梁的弯矩图如图

对于整体梁：1q

御？必|2

M

rybh3'8bh3y+.

Zb

12(a)(b)

12q|2h3q|2

max8bh324bh2

叠梁：由于小变形

bhs

1