陕西省渭南市2025届高三数学上学期教学质量检测一模试题Ⅰ理

PAGEPAGE13陕西省渭南市2025届高三数学上学期教学质量检测（一模）试题（Ⅰ）理考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部范围．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限3．记为等差数列的前n项和，已知，则数列的公差为（）A．2B．4C．1D．4．已知函数是奇函数，则（）A．B．C．D．5．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011~2025年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（）A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C．2024年上半年的票房收入增速最大D．2024年上半年的票房收入增速最小6．已知点在椭圆上，则的最大值是（）A．5B．4C．3D．27．已知的绽开式中常数项系数为4，则（）A．B．1C．D．8．在长方体中，底面是正方形，，E为的中点，点F在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．我国古代数学家赵爽利用弦图奇妙地证明白勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．假如内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么（）A．B．C．D．10．已知等比数列的前n项和为，若，则数列的公比（）A．2B．C．D．11．已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．设为双曲线的右焦点，直线（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量满意，且，则向量的夹角是_______．14．函数的图象在处的切线方程是______．15．2024年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门支配六名工作人员到四个不同的区市县开展工作．每个地方至少需支配一名工作人员，其中A，B支配到同一区市县工作，D，E不能支配在同一区市县工作，则不同的安排方法总数为_______种．16．在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22，23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边上的高为，的面积为，．（1）求a和角A；（2）求的周长．18．（12分）第31届世界高校生夏季运动会定于2024年8月18日—29日在成都实行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打兵乓球人次，整理数据如下表（单位：天）：打乒乓球人次天气状况晴天21320阴天4610雨天645雪天820（1）若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．（2）假设阴天和晴天称为“天气好”，雨天和雪天称为“天气不好”完成下面的列联表，推断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关？人次人次天气好天气不好参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）如图，平面，四边形为直角梯形，，，．（1）证明：．（2）若，点E在线段上，且，求二面角的余弦值．20．（12分）已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2．（1）求动点M的轨迹E的方程．（2）过点F作斜率为的直线与轨迹E交于点A，B，线段的垂直平分线交x轴于点N，证明：为定值．21．（12分）已知函数．（1）探讨的单调性；（2）当时，若无最小值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线l与曲线C交于不同的两点M，N．（1）求直线l的一般方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设，求的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是m，且，求的最小值．渭南市2024年高三教学质量检测（Ⅰ）数学参考答案（理科）1．B由题意可得或，则．2．A因为，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限．3．B设d为数列的公差，因为，所以，则．4．D因为是奇函数，所以，即，解得，则．5．D由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；2024年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2024年上半年的票房收入增速最小，故D正确．6．B由题意可得，则，故．因为，所以，所以，即．7．D由题意得绽开式中常数项通式为，解得．8．B如图，在棱上取一点G，连接，使得．由题意易得四边形为平行四边形，则，故是异面直线与所成的角．设，则，从而．在，由余弦定理可得，则异面直线与所成角的余弦值是．9．D由题意可知小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为x，则长的直角边为．由勾股定理得，解得，所以，则．10．C当数列的公比时，，与冲突，故不符合题意．当时，，所以．因为，所以，即，则．11．A函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点．画出的大致图象，如图所示．由图可知．不妨设，则，且．因为，所以，则，故．12．C设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．13．由题意可得，则向量的夹角是百．14．（或）由题意可得，则，故所求切线方程为，即．15．216第一步，将6名工作人员分成4组，要求A，B同一组，D，E不在同一组．若分为3，1，1，1的四组，A，B必需在3人组，有种分组方法，若分为2，2，1，1的四组，A，B必需在2人组，有种分组方法，则一共有种分组方法；其次步，将分好的四组全排列，安排到四个区市县，有种．故总的安排方法有种．16．设三棱锥外接球的球心为O，三棱锥底面边长和高分别为a，h．设球心究竟面的距离为．底面的外接圆半径为r，则．由题意可知是三棱锥的外接球的一条直径，则，即．设三棱锥的外接球半径为R，则，故三棱锥的外接球表面积为．17．解：（1）题意可得，解得．2分因为，所以．3分因为，所以，所以，4分所以，则．6分（2）由余弦定理可得．①7分因为的面积为，所以，所以．②9分联立①②，解得．11分故的周长为．12分18．解：（1）由题意可知随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．2分设一天为阴天的概率为P，则，故．4分则X的分布列为X01234P6分故．7分（2）人次人次天气好2530天气不好2059分则．11分因为，所以有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关．12分19．（1）证明：由题意易知．1分作，垂足为H，则，故．2分因为，所以．3分因为平面平面，所以．4分因为平面平面，且，所以平面．5分因为平面，所以．6分（2）解：因为，且，所以．以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，从而．8分设平面的法向量为．9分则令，得．9分设平面的法向量为，则令，得．10分设二面角为，由图可知为锐角，则．12分20．（1）解：由题意知，动点M到点的距离与到直线距离相等，1分由抛物线的定义知，轨迹E是以为焦点，以直线为准线的抛物线．3分所以点M的轨迹E的方程为．5分（2）证明（方法一）：设直线，联立得．6分设，G为线段的中点，则，所以，7分所以线段的垂直平分线的方程为，则．8分从而，10分，所以为定值．12分（方法二）设直线的方程为，G为线段的中点．联立整理得，．则，从而．7分因为G为线段的中点，所以，8分则线段的垂直平分线的方程为．令，得，则．9分从而，，11分故．12分21．解：（1）因为，所以．令，得或．1分当时，由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．当时，由，得或；由，得．则在上单调递减，在和上单调递增．当时，恒成立，则在上单调递增．当时，由，得或；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．3分综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．4分（2）当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，则有最小值，故不符合题意；5分当时，由（1）可知在上单调递减，在和上单调递增，因为无最小值，所以，即，解得；6分当时，由（1）可知在上单调递增，所以无最小值，所以符合题意；7分当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增．因为无最小值，所以，即，即．设，则．8分设，则在上恒成立．故在上单调递增，即在上单调递增．9分因为，所以存在唯一的，使得．故在上单调递减，在上单调递增．10分因为，所以在上恒成立，即在恒成立，即符合题意．11分综上，实数a的取值范围为．12分22．解：（1）由题意可得直线l的一般方程为．2分曲线C的直角坐标方程为，即．4分（2）直线l的参数方程可化为（为参数）．5分将直线l的参数方程代入曲线C