湖北省武汉市三校联合体2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

PAGE22-湖北省武汉市三校联合体2024-2025学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球C.取到白球的个数 D.取到的球的个数【答案】C【解析】【分析】依据离散型随机变量的定义，即可求解.【详解】依据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量的取值，故选C.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的定义及其应用，精确理解离散型随机变量的概念是解答的关键，属于基础题.2.的绽开式的第6项的系数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先写出二项式绽开式的通项，通过通项求解.【详解】由题得，令r=5,所以，所以的绽开式的第6项的系数是.故选C【点睛】本题主要考查二项式绽开式的系数问题，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平，属于基础题.3.记为两个离散型随机变量，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用数学期望、方差计算公式求解.【详解】设，设，Y也是随机变量，因为，所以，，，故A正确.同理C正确..依据期望的性质，，而，所以，故B正确，，而，不肯定相等，故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查数学期望、方差性质，还考查了理解辨析的实力，属于基础题4.已知变量，之间的线性回来方程为，且变量，之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（）681012632A.变量，之间呈负相关关系 B.可以预料，当时，C. D.该回来直线必过点【答案】C【解析】【分析】依据线性回来直线的性质推断．【详解】线性回来方程为中的系数为，∴变量，之间呈负相关关系，A正确；代入方程得，B正确；由已知，则，于是D正确，，，C错．故选：C.【点睛】本题考查线性回来直线方程，驾驭回来直线的性质是解题关键．5.如图是调查某地区男女中学生喜爱理科的等高条形图，阴影部分表示喜爱理科的百分比，从图中可以看出（）A.性别与喜爱理科无关B.女生中喜爱理科的比为80%C.男生比女生喜爱理科的可能性大一些D.男生不喜爱理科的比为60%【答案】C【解析】试题分析：依据等高条形图看出女生喜爱理科的百分比是0．2，而男生则是0．6，故选C．考点：等高条形图．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种状况，基本领件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用干脆法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种状况，一重卦的6爻有状况，其中6爻中恰有3个阳爻状况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本领件的计算是“住店”问题，满意条件事务的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的支配方案共有（）A.150种 B.120种 C.240种 D.540种【答案】A【解析】【分析】依据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的状况数目，其次步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．【详解】由题意可知，可分以下两种状况探讨，①5名插班生分成：，，1三组；②5名插班生分成：，，三组，当5名插班生分成：，，1三组时，共有种方案；当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；所以，共有种不同的支配方案.故选：A.【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.8.的二项绽开式的各项系数的肯定值之和为729，则绽开式中的二次项的系数是（）A. B.60 C. D.30【答案】B【解析】【分析】由绽开式的各项系数的肯定值之和就是绽开式的各项系数之和,所以赋值,得.再依据二项式的绽开式求得的通项，可求得二次项的系数得选项.【详解】因为绽开式的各项系数的肯定值之和就是绽开式的各项系数之和,取,得,则有,所以.于是的通项为.令,得.所以二次项的系数为.故选：B.【点睛】本题考查求二项式的绽开式中特定项的系数和各项系数和，关键在于赋值法的运用，属于基础题.9.某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中运用移动支付的人数，，，则A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B【解析】分析：推断出为二项分布，利用公式进行计算即可．或，,可知故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关学问，属于中档题．10.一个盒子装有质地、大小、形态都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中任取两个球，记事务：“取出的两个球颜色不同”，事务：“取出一个红球，一个黄球”，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事务A发生的概率P(A)和事务A，B同时发生的概率P(AB)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到的值.【详解】（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有种，故所求概率为，（方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为，而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于精确地运用条件概率公式，属于基础题.11.已知某超市为顾客供应四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能状况有（）种A.19 B.7 C.26 D.12【答案】C【解析】【分析】由题意，依据甲丙丁的支付方式进行分类，依据分类计数原理即可求出．【详解】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，

①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，

当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有，故有2+5=7种，

②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，

当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有，故有2+5=7种，

③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人运用现金，则,若没有人运用现金，则有种，故有6+6=12种，依据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，

故选C．【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.12.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体才智的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有个水平相同的人也在探讨项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是.现在李某单独探讨项目M，且这个人组成的团队也同时探讨项目M，设这个人团队解决项目M的概率为，若，则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】设这个人团队解决项目的概率为，则，由，得，由此能求出的最小值．【详解】李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为，有个水平相同的人也在探讨项目，他们各自独立地解决项目的概率都是0.1，现在李某单独探讨项目，且这个人组成的团队也同时探讨，设这个人团队解决项目的概率为，则，，，解得．的最小值是4．故选．【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查次独立重复试验中事务恰好发生次的概率的计算公式等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想，是基础题．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.设随机变量，且，则_____．【答案】【解析】【分析】由已知确定曲线关于x＝1对称，可知P（X＜1）＝，利用P（X＞2）得P（X＜0），可求P（0＜X＜1）．【详解】随机变量X～N（1，σ2），可知随机变量听从正态分布且X＝1是图象的对称轴，可知P（X＜1）＝，又可知P（X＜0）＝，则P（0＜X＜1）＝﹣＝．故答案为．【点睛】本题考查正态分布的简洁性质的应用，属于基本学问的考查．14.若绽开式中的系数为13，则绽开式中各项系数和为______（用数字作答）．【答案】64【解析】【分析】先依据的系数为13求得,再令即可求得绽开式中各项系数和【详解】由题,的系数为,则,所以原式为,令,则绽开式中各项系数和为,故答案为：64【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式绽开式各项系数和15.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【答案】【解析】【分析】先排，然后排，最终排，由此求得不同着色方法数.【详解】先排，有种方法；然后排，最终排：①当相同时，方法有种，故方法数有种.②当不同时，方法有种，故方法数有种.综上所述，不同的着色方法数有种.故答案为：【点睛】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.16.已知从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，，，共有种取法，在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和个白球，共有种取法，即有等式成立，试依据上述思想，化简下列式子：________，【答案】【解析】【分析】在式子中，从第一项到最终一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的全部状况取法总数的和，从装有球中取出个球的不同取法数，依据排列组合公式，易得答案．【详解】在中，从第一项到最终一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的全部状况取法总数的和，故从装有球中取出个球的不同取法数.故答案为：【点睛】本题结合考查推理和排列组合，处理本题的关键是娴熟驾驭排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最终给出正确的答案．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】分析】(1)首先由二项式绽开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的绽开式，最终结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础学问，考查分析问题实力与运算求解实力.18.某市举办数学学问竞赛活动，共5000名学生参与，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成果.(1)通过分析可以认为学生初试成果听从正态分布，其中，，试估计初试成果不低于90分的人数；(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成果为，求的分布列及数学期望.附：，，.【答案】(1)114人(2)见解析【解析】【分析】（1）依据正态分布可知，利用总人数乘以概率可求得所求人数；（2）首先确定全部可能的取值，计算出每个取值所对应的概率，从而可求得分布列；再利用离散型随机变量的数学期望公式求得数学期望.【详解】（1），即，又估计不低于分的人数有：（人）（2）的全部可能取值为；；；；的分布列为：【点睛】本题考查正态分布求解概率和估计总体、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题，关键是精确推断离散型随机变量可能的取值和对应的概率，属于常规题型.19.《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2024年10月1日起施行.作为民法典开篇之作，《民法总则》与每个人的一生休戚相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解状况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的入数如下表：年龄频数551015510了解《民法总则》1281245（1）填写下面列联表，并推断是否有的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计了解不了解合计（2）若对年龄在，的被调研人中各随机选取2人进行深化调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式和数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)2×2

列联表

年龄低于

45

岁的人数

年龄不低于

45

岁的人数

合计

了解

a=3

c=29

32

不了解

b=7

d=11

18

合计

10

40

50没有

99%

的把握认为以

45

岁为分界点对了解

《

民法总则

》

政策有差异．

(

2

)

X

的分布列是

X0123P;

【解析】【分析】(1

)

利用表格数据，依据联列表利用公式求解即可．

(

2

)

通过

X

的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【详解】(1)2×2

列联表

年龄低于

45

岁的人数

年龄不低于

45

岁的人数

合计

了解

a=3

c=29

32

不了解

b=7

d=11

18

合计

10

40

50,所以没有

99%

的把握认为以

45

岁为分界点对了解

《

民法总则

》

政策有差异．

(

2

)X

全部可能取值有

0

，

1

，

2

，

3

，

;;;;所以

X

的分布列是

X0123P所以

X

的期望值是

.【点睛】本题考查概率统计中的独立性检验和随机变量的分布列和期望的计算，属于中档题.20.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的志向结构快速转变．下表是从2009年至2024年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预料2024年的旅游人数，建立了与的两个回来模型：模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回来方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的旁边．（1）依据表中数据，求模型②的回来方程．（精确到个位，精确到0．01）．（2）依据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更牢靠的模型，预料2024年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回来方程①②3040714607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据，其回来直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回来效果的相关指数；③参考数据：，．5．54496．058341959．00表中．【答案】（1）；（2）回来模型②的拟合效果更好，987【解析】【分析】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回来方程.（2）依据所给数据计算，，即可推断那种模型的拟合效果更优，再代入数据计算可得.【详解】解：（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回来方程.，，，模型②的回来方程为.（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，即，，模型①的相关指数小于模型②的，说明回来模型②的拟合效果更好.2024年时，，预料旅游人数为（万人）.【点睛】本题考查非线性回来分析，以及相关程度检验，属于基础题.21.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参与了驾驶证考试，要顺当地拿到驾驶证，他须要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参与科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺当通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参与科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参与科目二考试都须要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参与科目二考试进行了统计，得到下表：考试状况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参与了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参与科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完全部机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参与科目二考试都不须要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参与科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参与科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】事务表示男学员在第次考科目二通过，事务表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事务乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，依据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．【详解】事务表示男学员在第次考科目二通过，事务表示女学员在第次考科目二通过（其中）.（1）事务表示这对夫妻考科目二都不须要交补考费..（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.，，，，.则的分布列为：40060080010001200