人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计1：6 2 2 排列数教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.2排列数教学目标1.理解并掌握排列数公式及推导过程.2.能应用排列知识解决简单的实际问题.教学知识梳理知识点一排列数思考1从1,2,3,4这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？〖答案〗4×3＝12(个).思考2从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？〖答案〗4×3×2＝24(个).思考3从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？〖答案〗n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种.梳理排列数及排列数公式排列数全排列定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列表示法Aeq\o\al(m,n)Aeq\o\al(n,n)公式乘积形式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)·…·3×2×1阶乘形式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)Aeq\o\al(n,n)＝n！性质Aeq\o\al(0,n)＝1；0！＝1教学案例类型一排列数公式及应用例1(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)计算eq\f(2A\o\al(5,8)＋7A\o\al(4,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))；(3)求证：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).(1)解因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)解eq\f(2A\o\al(5,8)＋7A\o\al(4,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×(8＋7),8×7×6×5×(24－9))＝1.(3)证明方法一因为Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f((n＋1)！,(n＋1－m)！)－eq\f(n！,(n－m)！)＝eq\f(n！,(n－m)！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,(n－m)！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f((n＋1)！,(n＋1－m)！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).方法二Aeq\o\al(m,n＋1)表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)个.含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)种排法.故Aeq\o\al(m,n＋1)＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n).反思与感悟排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.跟踪训练1已知3Aeq\o\al(n－1,8)＝4Aeq\o\al(n－2,9)，则n＝________.〖答案〗7〖解析〗由已知eq\f(3×8！,(9－n)！)＝eq\f(4×9！,(11－n)！)，即eq\f(4×3,(11－n)(10－n))＝1，因为n≤9，解得n＝7.达标检测1.下列问题中属于排列问题的为________.(填序号)①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.〖答案〗①④〖解析〗根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.2.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有________个.〖答案〗12〖解析〗符合题意的结果有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12(个).3.已知Aeq\o\al(2,x)＝30，则x＝________.〖答案〗6〖解析〗Aeq\o\al(2,x)＝x(x－1)＝30，解得x＝6或－5(舍去)，∴x＝6.4.5Aeq\o\al(3,5)＋4Aeq\o\al(2,4)＝________.〖答案〗348〖解析〗原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.5.写出下列问题的所有排列：(1)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长；(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四.解(1)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有Aeq\o\al(2,5)＝20(种)选法，形成的排列是12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.(2)因为A不排第一，排第一位的情况