人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案5：5 3 1 函数的单调性

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15.3.1函数的单调性〖目标导航〗课程标准课标解读1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．4.会利用导数证明一些简单的不等式问题.5.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.〖知识精讲〗知识点1.函数的单调性与导函数的关系一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内．2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．3.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.4.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大比较“”(向上或向下)越小比较“”(向上或向下)〖微点拨〗1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．2.(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．〖即学即练1〗函数在上的单调性是（）．A．单调递增B．单调递减C．在上单调递减，在上单调递增D．在上单调递增，在上单调递减〖即学即练2〗函数的单调递减区间为（）．A． B．C． D．〖即学即练3〗函数在的图象大致为（）A． B．C． D．〖即学即练4〗函数在上单调递增，则a的取值范围是________．〖即学即练5〗若在上是减函数，则a的最大值是___________.〖即学即练6〗已知函数.（1）求的单调区间；（2）比较与的大小.〖能力拓展〗考法01判断函数的单调性：〖典例1〗下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是（）A． B．C． D．考法02利用导数求函数的单调区间：1.求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求导数y′＝f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．2.(1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．〖典例2〗已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间．〖典例3〗已知函数，当时讨论在的单调性.〖即学即练7〗函数的单调递减区间为（）．A． B．C． D．考法03函数图象与导数图象的应用：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．〖典例4〗已知函数的导函数有下列信息：①时，；②时，或；③时，或．则函数的大致图像是图中的（）．A． B．C． D．〖即学即练8〗设是函数的导数，将和的图像画在同一个平面直角坐标系中，图中不正确的是（）．A． B．C． D．考法04利用导数求参数的取值范围：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路：①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.〖典例5〗已知函数f(x)＝kx－lnx．（1）在区间(1，＋∞)上单调递增，求k的取值范围.（2）在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围.（3）在区间(1，＋∞)不单调，求k的取值范围.〖即学即练9〗若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．〖即学即练10〗已知函数在上单调递减，则的取值范围是_________．〖即学即练11〗已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为__________.〖即学即练12〗已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是_______．考法05证明不等式：用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈〖a，b〗．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在〖a，b〗上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.〖典例6〗已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________.〖典例7〗证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖知识精讲〗知识点1.函数的单调性与导函数的关系(1)单调递增(2)单调递减2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤(3f′(x)>0(4)f′(x)<0．3.函数的单调性与其导数正负的关系增 减4.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系快 陡峭慢 平缓〖即学即练1〗〖答案〗C〖解析〗，令，得；令，得，∴函数在上单调递减，在上单调递增．故选：C.〖即学即练2〗〖答案〗A〖解析〗的定义域为，因为，，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：A．〖即学即练3〗〖答案〗D〖解析〗，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B选项.，排除A选项.，，排除C选项.故选：D.〖即学即练4〗〖答案〗〖解析〗函数导数，因为函数在R上是单调递增函数，所以导数，在区间恒成立，即，即，，，当时等号成立，，即，解得：.故〖答案〗为：〖即学即练5〗〖答案〗〖解析〗由题意，，，，，，，∴，的最大值为．故〖答案〗为：.〖即学即练6〗〖解〗（1），当时，解得：，函数的单调递增区间是，当时，解得：，函数的单调递减区间是；（2）和比较大小，转化为和比较大小，，由（1）可知，函数在上单调递减，因为，所以，即，所以.〖能力拓展〗考法01判断函数的单调性：〖典例1〗〖答案〗C〖解析〗选项A中，在上不恒非负，选项A错误；选项B中，，所以的图像不关于原点对称，选项B错误；选项C中，，即为奇函数，图像关于原点对称又，时，恒成立，所以在上单调递增，选项C正确；选项D中，，当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，选项D错误.故选：C.考法02利用导数求函数的单调区间：〖典例2〗〖解〗（1），则，，所以函数在处的切线方程为，即.（2）令，得或，令，得或；令，得，所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.〖典例3〗〖解〗当时，，，当时，，，函数单调递增；当时，若，，，，函数单调递减；若时，，故时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.〖即学即练7〗〖答案〗A〖解析〗的定义域为，因为，，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：A．考法03函数图象与导数图象的应用：〖典例4〗〖答案〗C〖解析〗根据导函数信息知，函数在上是增函数，在，上是减函数．故选：C．〖即学即练8〗〖答案〗D〖解析〗选项A：若的图象为，则恒成立且不恒为零，所以单调递增，此时的图象可以为，故选项A正确；选项B：若的图象为，则恒成立，所以单调递增，此时的图象可以为，故选项B正确；选项C：若的图象为，则恒成立，所以单调递增，此时的图象可以为，故选项C正确；选项D：若为导数的图象，则应为增函数，的图象不符合；若为导数的图象，则应为减函数，的图象也不符合，故选项D错误.故选：D．考法04利用导数求参数的取值范围：〖典例5〗〖解〗（1）由于f′(x)＝k－eq\f(1,x)，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f′(x)＝k－eq\f(1,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥eq\f(1,x)，而0<eq\f(1,x)<1，所以k≥1.即k的取值范围为〖1，＋∞)．（2）∵f′(x)＝k－eq\f(1,x)，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴f′(x)＝k－eq\f(1,x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k≤eq\f(1,x)，∵0<eq\f(1,x)<1，∴k≤0.即k的取值范围为(－∞，0〗．（3）f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－eq\f(1,x).当k≤0时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,k)，只需eq\f(1,k)∈(1，＋∞)，即eq\f(1,k)>1，则0<k<1.∴k的取值范围是(0,1)．〖即学即练9〗〖答案〗D〖解析〗因为，所以．要使函数单调递增，则恒成立．即恒成立，所以，因为，所以，所以，即．故选：D．〖即学即练10〗〖答案〗〖解析〗在上恒成立，则在上恒成立，设，，所以在单调递增，故的最大值为，故．故〖答案〗为：.〖即学即练11〗〖答案〗〖解析〗，若函数在区间上单调，则或在上恒成立，即或，∴或，于是满足条件的实数的范围为，故〖答案〗为：.〖即学即练12〗〖答案〗〖解析〗由，则，即函数为上的奇函数．又，函数为上的增函数，又，所以，即，解得或，即实数的取值范围是．故〖答案〗为：考法05证明不等式：〖典例6〗〖答案〗〖解析〗设，则，因为，，所以，可得在上