人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案4：§4 4 数学归纳法

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1§4.4数学归纳法〖学习目标〗1.了解数学归纳法的原理及适用范围.2.掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.〖知识梳理〗1、数学归纳法设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立．2、用数学归纳法证题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0＝0或n0＝1)时，命题{p(n)}正确；(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真；(3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈N*时，p(n)正确．〖知识典例〗题型一数学归纳法中项的问题〖例1〗(1)用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（）A． B．C． D．(2)利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.题型二数学归纳法〖例2〗(1)已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数.（1）求.（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.(2)设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．〖巩固提升〗1、用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）A． B．C． D．2、对一切自然数，猜出使成立的最小自然数_______.3、已知数列的前项和为，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．4、在数列中，，其中实数．（1）求的值并猜测数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜测．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖知识典例〗题型一数学归纳法中项的问题〖例1〗(1)〖答案〗C〖解析〗当时，等式左边，当时，等式左边，因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.故选：C.(2)〖答案〗〖解析〗当时，等式为，当时，等式为，因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.故〖答案〗为：.题型二数学归纳法〖例2〗(1)解：（1）由题意知：，即，当时，，解得.当时，，解得.当时，，解得.（2）猜想：证明：①当时，由（1）知等式成立.②假设当时等式成立，即，则当时，又则，，∴，即所以，即当时，等式成立.结合①②得对任意均成立.(2)解：（1）当时，，∴，当时，，∴，∴，，猜想，；（2）下面用数学归纳法证明：①当时，，，猜想正确；②假设时，猜想正确，即，那么当时，可得，即时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数，都成立．〖巩固提升〗1、〖答案〗C〖解析〗当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.2、〖答案〗3〖解析〗当时，对一切自然数不成立；当时，对一切自然数不成立（如时，）；当时，对一切自然数成立,理由如下：当时，成立，假设当时成立，即，当时，，而，所以对一切自然数成立.故〖答案〗为：3.3、解：（1），当时，，解得，即有；当时，，解得，则；当时，，解得，则；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为．下面运用数学归纳法证明．①当时，由（1）可得成立；②假设，成立，当时，，即有，则，当时，上式显然成立；当时，，即，则当时，结论也成立．由①②可得对一