人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：5 2 3 简单复合函数的导数

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15．2.3简单复合函数的导数学习目标1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．一、复合函数概念的理解问题1函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？〖提示〗y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝lnx中x的位置，f(x)＝lnx，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)lnx不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思．知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．例1(多选)下列哪些函数是复合函数()A．y＝xlnx B．y＝(3x＋6)2C．y＝esinx D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))〖答案〗BCD〖解析〗A不是复合函数；BCD都是复合函数．反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数()A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－eq\f(1,x)C．y＝2lnx D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))〖答案〗ACD二、求复合函数的导数问题2如何求函数y＝sin2x的导数？〖提示〗y＝2sinxcosx，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sinu，它的导数y′＝cosu，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.知识梳理复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．例2求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,1－3x4)；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，则y＝eq\f(1,u4)＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝eq\f(12,1－3x5).(2)令u＝x2，则y＝cosu，所以y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2).(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′uu′x＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,2x＋1ln2).(4)设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；(2)y＝5log2(1－x)；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解(1)y＝，设y＝，u＝1－2x，则y′x＝＝·(－2)＝.(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,x－1ln2).(3)设y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，则y′x＝(sinu)′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).三、复合函数的导数的应用例3某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．解设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)，所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．s′(18)表示当t＝18h时，潮水的高度上升的速度为eq\f(π,8)m/h.反思感悟将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．跟踪训练3已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________．〖答案〗2〖解析〗s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.1.知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．(3)复合函数的导数的应用．2.方法归纳：转化法．3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1,y＝tn〖答案〗AD2．函数y＝(2021－8x)3的导数y′等于()A．3(2021－8x)2 B．－24xC．－24(2021－8x)2 D．24(2021－8x)2〖答案〗C〖解析〗y′＝3(2021－8x)2×(2021－8x)′＝3(2021－8x)2×(－8)＝－24(2021－8x)2.3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于()A．1B.eq\f(3,2)C．－1D．－2〖答案〗B〖解析〗f′(x)＝eq\f(3,3x＋2)－6x，故f′(0