人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：5 2 1 基本初等函数的导数

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数课标要求素养要求1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.会使用导数公式表.在利用导数的定义求基本初等函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝eq\f(1,x)；(5)y＝f(x)＝eq\r(x).问题1函数y＝f(x)＝c的导数是什么？〖提示〗∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\f(c－c,Δx)＝0，∴y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝0.问题2函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？〖提示〗由导数的定义得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，(5)(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).问题3函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？〖提示〗∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(eq\r(x))′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)xeq\f(1,2)－1＝eq\f(1,2\r(x))，∴(xα)′＝αxα－1.1.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝axf′(x)＝axln__a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)拓展深化〖微判断〗1.若y＝eq\r(2)，则y′＝eq\f(1,2)×2＝1.(×)〖提示〗若y＝eq\r(2)，则y′＝0.2.若f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(x)＝－eq\f(3,x4).(√)3.若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xlog5e.(×)〖提示〗若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln4.〖微训练〗1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A.0 B.2xC.6 D.9〖解析〗∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.〖答案〗C2.求下列函数的导数：(1)f(x)＝eq\r(4,x5)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)；(3)h(x)＝3x.解(1)f(x)＝xeq\f(5,4)，∴f′(x)＝eq\f(5,4)xeq\f(1,4)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3xln3.〖微思考〗1.如何求函数f(x)＝eq\f(1,x4)的导数？〖提示〗把f(x)＝eq\f(1,x4)化为f(x)＝x－4，则f′(x)＝－4x－5.2.如何求f(x)＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)的导数？〖提示〗把f(x)＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)化为f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx.题型一利用导数公式求函数的导数〖例1〗求下列函数的导数：(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)；(3)y＝eq\f(1,\r(x))；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)ln2；(3)y′＝(x－eq\f(1,2))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2x\r(x))；(4)y′＝(eq\r(4,x3))′＝(xeq\s\up6(\f(3,4)))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.〖训练1〗求下列函数的导数：(1)y＝x13；(2)y＝eq\r(4,x)；(3)y＝sinx；(4)y＝eq\f(1,\r(5,x2)).解(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(2)y′＝(eq\r(4,x))＝(xeq\s\up6(\f(1,4)))′＝eq\f(1,4)xeq\f(1,4)－1＝eq\f(1,4)x－eq\f(3,4)；(3)y′＝(sinx)′＝cosx；(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5,x2))))′＝(x－eq\f(2,5))′＝－eq\f(2,5)x－eq\f(2,5)－1＝－eq\f(2,5)x－eq\f(7,5).题型二利用导数公式解决切线问题角度1求切线的方程〖例2－1〗函数y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))处的切线方程是()A.y＝4x B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4〖解析〗∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－x－2，∴k＝y′|x＝eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＝－4，∴切线方程为y－2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝－4x＋4.〖答案〗B角度2求参数值〖例2－2〗已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝________.〖解析〗设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝k，又y0＝kx0，而且y0＝lnx0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝eq\f(1,e).〖答案〗eq\f(1,e)角度3曲线上的点到直线的最小距离问题〖例2－3〗设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.解如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).所以点P到直线y＝x的最小距离为eq\f(|0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).规律方法利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.〖训练2〗(1)求曲线y＝eq\r(x)在点B(1，1)处的切线方程；(2)求曲线y＝lnx的斜率等于4的切线方程.解(1)设所求切线的斜率为k.∵y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，k＝y′|x＝1＝eq\f(1,2)，∴曲线y＝eq\r(x)在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.(2)设切点坐标为(x0，y0).∵y′＝eq\f(1,x)，曲线y＝lnx在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，∴y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝4，得x0＝eq\f(1,4)，∴y0＝－ln4，∴切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－ln4))，∴所求切线方程为y＋ln4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，即4x－y－1－ln4＝0.题型三导数公式的实际应用〖例3〗某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由题意得p′(t)＝1.1tln1.1所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.规律方法由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.〖训练3〗从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)解由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安.一、素养落地1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养.2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.3.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的导数.因为y＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.二、素养训练1.函数y＝xe的导数是()A.y′＝xe B.y′＝exe－1C.y′＝exe D.y′＝lnx〖解析〗由(xα)′＝αxα－1得，y′＝exe－1.〖答案〗B2.若f(x)＝sinx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)〖解析〗f′(x)＝cosx，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).〖答案〗D3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.〖解析〗f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.〖答案〗14.曲线y＝eq\f(1,x)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))处的切线方程是________.〖解析〗∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))处的斜率k＝－eq\f(1,9)，∴在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))的斜率为－eq\f(1,9)的切线方程为：y－eq\f(1,3)＝