人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：5 1 2 第一课时 导数的概念

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15.1.2导数的概念及其几何意义第一课时导数的概念课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.根据具体的实例得到导数的概念，求函数的导数，培养学生的数学抽象与数学运算素养.新知探究在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如(1)摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.问题上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学上称为什么？〖提示〗函数的导数.1.平均变化率比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.2.导数导数是函数的平均变化率，当自变量的增量趋于0时的极限如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).拓展深化〖微判断〗1.函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间〖x0，x0＋Δx〗上变化的快慢程度.(×)〖提示〗导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的.2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.(√)3.设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，则Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(x→x0))eq\f(f（x）－f（x0）,x－x0).(√)〖微训练〗1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A.2.1 B.1.1C.2 D.0〖解析〗eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1.1）－f（1）,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.〖答案〗A2.设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.〖解析〗f′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f([2（1＋Δx）＋1]－（2×1＋1）,Δx)＝2.〖答案〗2〖微思考〗1.导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征？〖提示〗导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度.2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？〖提示〗(1)平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间〖x1，x2〗上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢.(2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当Δx趋于0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数为函数在x＝x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.题型一求函数的平均变化率〖例1〗已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间〖1，1＋Δx〗上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间〖1，1＋Δx〗上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).〖训练1〗求函数f(x)＝3x2＋2在区间〖x0，x0＋Δx〗上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.解函数f(x)＝3x2＋2在区间〖x0，x0＋Δx〗上的平均变化率为eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,（x0＋Δx）－x0)＝eq\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3xeq\o\al(2,0)＋2）,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间〖2，2.1〗上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.题型二导数定义的直接应用〖例2〗利用导数的定义，求f(x)＝eq\r(x2＋1)在x＝1处的导数.解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\r(（1＋Δx）2＋1)－eq\r(2)＝eq\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－eq\r(2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)，∴f′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（Δx）2＋2Δx,Δx[\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2)])＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx＋2,\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2))＝eq\f(\r(2),2).规律方法求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)；(3)取极限，得导数f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).〖训练2〗求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数.解因为Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2，所以f′(1)＝2，即函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为2.题型三导数概念的应用〖例3〗已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：(1)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)；(2)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx).解(1)∵eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,x0－（x0－Δx）)＝f′(x0)，即eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝f′(x0)＝k.∴eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)＝eq\f(k,2).(2)∵eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,（x0＋Δx）－（x0－Δx）)，即eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)为函数f(x)在区间〖x0－Δx，x0＋Δx〗上平均变化率.∴当Δx→0时，eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)必趋于f′(x0)＝k，∴eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)＝k，∴eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝2k.规律方法由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形.〖训练3〗(1)若函数f(x)可导，则eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)等于()A.－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C.－eq\f(1,2)f′(1) D.f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))(2)已知函数f(x)可导，且满足eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（3）－f（3＋Δx）,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为()A.－1 B.－2C.1 D.2〖解析〗(1)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f[1＋（－Δx）]－f（1）,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1).(2)由题意，知f′(3)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝－2，故选B.〖答案〗(1)C(2)B一、素养落地1.在学习导数定义的过程中，培养了学生的数学抽象素养，在应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.2.在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择相应的形式，利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式.二、素养训练1.函数y＝1在〖2，2＋Δx〗上的平均变化率是()A.0 B.1C.2 D.Δx〖解析〗eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.〖答案〗A2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A.4 B.4xC.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2〖解析〗eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(2（1＋Δx）2－2,Δx)＝4＋2Δx.〖答案〗C3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________.〖解析〗∵f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(a（Δx＋1）＋3－（a＋3）,Δx)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.〖答案〗34.已知函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(1)＝________.〖解析〗f′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)