人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册模块检测卷(B卷)

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1模块检测卷(B卷)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为()A.±eq\f(1,2) B.±2C.eq\f(1,2) D.－2〖答案〗D〖解析〗因为eq\f(a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2.2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A.2 B.0C.－2 D.－4〖答案〗D〖解析〗∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴f′(1)＝2f′(1)＋2，f′(1)＝－2，f′(0)＝2f′(1)＝－4，选D.3.在等差数列{an}中，a1＝1，且a2－a1，a3－a1，a4＋a1成等比数列，则a5＝()A.7 B.8C.9 D.10〖答案〗C〖解析〗设等差数列{an}的公差为d，由a2－a1，a3－a1，a4＋a1成等比数列，则(a3－a1)2＝(a2－a1)(a4＋a1)，即(2d)2＝d·(2＋3d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以a5＝a1＋4d＝1＋4×2＝9，故选C.4.设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y＝－2x B.y＝－xC.y＝2x D.y＝x〖答案〗D〖解析〗因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D.5.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯()A.2盏B.3盏C.26盏D.27盏〖答案〗C〖解析〗由题意，塔的每层的灯数成等差数列，记塔的底层到顶层的灯数依次为a1，a2，…，a9，根据等差数列的性质可得a1＋a2＋…＋a8＋a9＝9a5＝126，所以a5＝14.根据题意可得a1＝a5＋(5－1)d＝14＋4d，a9＝a5－(9－5)d＝14－4d，所以a1＝13a9，即14＋4d＝13×(14－4d)，解得d＝3，所以最下面一层有灯13×2＝26(盏)，故选C.6.若函数f(x)＝ax－lnx的图象上存在与直线x＋2y－4＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.(－2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D.(2，＋∞)〖答案〗D〖解析〗因为函数f(x)＝ax－lnx的图象上存在与直线x＋2y－4＝0的垂直的切线，所以函数f(x)＝ax－lnx的图象上存在斜率为2的切线，故k＝f′(x)＝a－eq\f(1,x)＝2有解，所以a＝2＋eq\f(1,x)，x>0有解，因为y＝2＋eq\f(1,x)，x>0的值域为(2，＋∞).所以a∈(2，＋∞).7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝－14，S9＝－27，则使得Sn取最小值时的n为()A.1B.6C.7D.6或7〖答案〗B〖解析〗由等差数列{an}的性质，可得a1＋a5＝2a3＝－14⇒a3＝－7，又S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝－27⇒a1＋a9＝－6⇒a5＝－3，所以d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝－7＋(n－3)×2＝2n－13，令an≤0⇒2n－13≤0，解得n≤eq\f(13,2)，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得Sn取最小值时的n为6，故选B.8.若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A.4B.6C.4.5D.8〖答案〗A〖解析〗设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2).∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f(256,x2)＝x2＋eq\f(4×256,x)，∴S′(x)＝2x－eq\f(4×256,x2).令S′(x)＝0，解得x＝8，∴当x＝8时，S(x)取得最小值.∴h＝eq\f(256,82)＝4.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)9.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是()A.a5＝－16 B.S5＝－63C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn＋1}是等比数列〖答案〗AC〖解析〗因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误.故选AC.10.定义在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是()A.函数f(x)在区间(0，4)单调递增B.函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))单调递减C.函数f(x)在x＝1处取得极大值D.函数f(x)在x＝0处取得极小值〖答案〗ABD〖解析〗根据导函数图象可知，f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0，4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D选项正确，C选项错误.故选ABD.11.已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有()A.数列{|an|}是等比数列B.数列{anan＋1}是等比数列C.数列{lgaeq\o\al(2,n)}是等比数列D.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列〖答案〗ABD〖解析〗根据题意，数列{an}是等比数列，设其公比为q，则eq\f(an＋1,an)＝q，对于A，对于数列{|an|}，则有eq\f(|an＋1|,|an|)＝|q|，为等比数列，A正确；对于B，对于数列{anan＋1}，有eq\f(anan＋1,an－1an)＝q2，为等比数列，B正确；对于C，对于数列{lgaeq\o\al(2,n)}，若an＝1，数列{an}是等比数列，但数列{lgaeq\o\al(2,n)}不是等比数列，C错误；对于D，对于数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，有eq\f(\f(1,an),\f(1,an－1))＝eq\f(an－1,an)＝eq\f(1,q)，为等比数列，D正确.故选ABD.12.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中正确的是()A.∃x0∈R，f(x0)＝0B.若f(x)有极大值M，极小值m，则必有M>mC.若x0是f(x)极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D.若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点〖答案〗ABC〖解析〗因为当x→＋∞时，f(x)→－∞，当x→－∞时，f(x)→＋∞，由零点存在性定理知∃x0∈R，f(x0)＝0，故A正确；因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，若f(x)有极大值M，极小值m，则f′(x)＝0有两根x1，x2，不妨设x1<x2，易得f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(－∞，x1)，(x2，＋∞)单调递减，所以f(x2)＝M>f(x1)＝m，故B、C正确；导数为0的点不一定是极值点，故D错误.故选ABC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在题中的横线上)13.数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，a1＝2，则S50＝________.〖答案〗25〖解析〗因为an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，a1＝2，所以a2＝eq\f(1,1－a1)＝－1，a3＝eq\f(1,1－a2)＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,1－a3)＝2，∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且前三项和S3＝2－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴S50＝16S3＋2－1＝25.14.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.〖答案〗eq\f(3,2)〖解析〗由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2相减可得a3＋a4＝3a4－3a2，同除以a2可得2q2－q－3＝0，解得q＝eq\f(3,2)或q＝－1.因为q>0，所以q＝eq\f(3,2).15.将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝eq\f(（梯形的周长）2,梯形的面积)，则s的最小值是________.〖答案〗eq\f(32\r(3),3)〖解析〗设AD＝x(0<x<1)，则DE＝AD＝x，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x.又S△ADE＝eq\f(\r(3),4)x2，∴梯形的面积为eq\f(\r(3),4)－eq\f(\r(3),4)x2，∴s＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(x2－6x＋9,1－x2)(0<x<1)，则s′＝eq\f(－8\r(3),3)×eq\f(（3x－1）（x－3）,（1－x2）2).令s′＝0，解得x＝eq\f(1,3).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，s′<0，s为减函数；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3).1))时，s′>0，s为增函数.故当x＝eq\f(1,3)时，s取得极小值，也是最小值，此时s的最小值为eq\f(32\r(3),3).16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，则2f(3)________3f(2)(填“>”“<”)，不等式x·f(x)>0的解集为________.(本题第一空2分，第二空3分)〖答案〗>(－2，0)∪(2，＋∞)〖解析〗由题意，令g(x)＝eq\f(f（x）,x)，∵x>0时，g′(x)＝eq\f(xf′（x）－f（x）,x2)>0.∴g(x)在(0，＋∞)单调递增，∴eq\f(f（x）,x)在(0，＋∞)上单调递增，∴eq\f(f（3）,3)>eq\f(f（2）,2)即2f(3)>3f(2).又∵f(－x)＝f(x)，∴g(－x)＝－g(x)，则g(x)是奇函数，且g(x)在(－∞，0)上递增，又g(2)＝eq\f(f（2）,2)＝0，∴当0<x<2时，g(x)<0，当x>2时，g(x)>0；根据函数的奇偶性，可得当－2<x<0时，g(x)>0，当x<－2时，g(x)<0.∴不等式x·f(x)>0的解集为{x|－2<x<0或x>2}.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解(1)设q(q>0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n.(2)Sn＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＋n·1＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝2n＋1＋n2－2.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋x2.(1)求h(x)＝f(x)－3x的极值；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围.解(1)由已知可得h(x)＝f(x)－3x＝lnx＋x2－3x，h′(x)＝eq\f(2x2－3x＋1,x)(x>0)，令h′(x)＝eq\f(2x2－3x＋1,x)＝0，可得x＝eq\f(1,2)或x＝1，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)时，h′(x)>0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，h′(x)<0，∴h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，(1，＋∞)上为增函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上为减函数，则h(x)极小值＝h(1)＝－2，h(x)极大值＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(5,4)－ln2.(2)g(x)＝f(x)－ax＝lnx＋x2－ax，g′(x)＝eq\f(1,x)＋2x－a(x>0)，由题意可知g′(x)≥0(x>0)恒成立，即a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))eq\s\do7(min)，∵x>0时，2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))eq\s\do7(min)＝2eq\r(2)，∴a≤2eq\r(2)，即实数a的取值范围为(－∞，2eq\r(2)〗.19.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log3an＋1，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Tn.解(1)由2Sn＝3an－1(n∈N*)得，2Sn－1＝3an－1－1(n≥2).两式相减并整理得，an＝3an－1(n≥2).令n＝1，由2Sn＝3an－1(n≥N*)得，a1＝1.故{an}是以1为首项，公比为3的等比数列，因此an＝3n－1(n∈N*).(2)由bn＝log3an＋1，结合an＝3n－1得，bn＝n.则eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,n＋1).20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex＋eq\f(1,x－a)，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数.解函数f(x)的定义域为{x|x≠a}.(1)当x>a时，ex>0，x－a>0，∴f(x)>0，即f(x)在(a，＋∞)上无零点.(2)当x<a时，f(x)＝eq\f(ex（x－a）＋1,x－a)，令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1).由g′(x)＝0得x＝a－1.当x<a－1时，g′(x)<0；当x>a－1时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.∴当a＝1时，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f(x)的唯一零点；当a<1时，g(a－1)＝1－ea－1>0，∴f(x)没有零点；当a>1时，g(a－1)＝1－ea－1<0，∴f(x)有两个零点.21.(本小题满分12分)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.解(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝b1q＝3，,b3＝b1q2＝9))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,q＝3.))∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*).(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1