人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用章末复习课2

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1章末复习课一、知识结构内容考点关注点章末复习导数的几何意义求曲线的切线方程导数的运算复合函数求导函数的单调性函数单调性与导函数正负的关系函数的极值与最值极值与最值的关系应用问题将数学问题转化为数学问题二、学法指导1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．3．利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用fx与其导数f′x之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为：1对含参数的函数fx求导，得到f′x；2若函数fx在a，b上单调递增，则f′x≥0恒成立；若函数fx在a，b上单调递减，则f′x≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；3验证参数范围中取等号时，是否恒有f′x＝0.若f′x＝0恒成立，则函数fx在a，b上为常函数，舍去此参数值.4.求连续函数f(x)在区间〖a，b〗上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间〖a，b〗上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数f(x)在闭区间〖a，b〗内有极值，则要先求出〖a，b〗上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．5．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题．已知f(x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解．6．解决优化问题的步骤1要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.2要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.3验证数学问题的解是否满足实际意义.三、知识点贯通知识点一导数的几何意义例题1.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．知识点二函数的单调性与导数例题2.若函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．〖－1，1〗 B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))知识点三函数的极值、最值与导数例题3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的〖解析〗式；(2)求函数f(x)在区间〖0，t〗(0＜t＜3)上的最大值和最小值．知识点四导数在生活中的应用例题4．如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所，已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线AH的方程为y＝aeq\r(x)，记AM＝t，规划的两块用地的面积之和为S(单位：米)．(1)求S关于t的函数S(t)；(2)求S的最大值．四、易错点分析易错点由函数零点个数求参数的范围例.已知函数f(x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R.(1)当a＝e时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．误区警示由函数的零点求参数的范围，要构造合适的函数，利用导数研究函数的性质，借助函数的单调性、最值解决参数问题.

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁三、知识点贯通知识点一导数的几何意义例题1.〖解〗(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＋x0－16.又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1)(－x0)＋xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＋x0－16.整理得，xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1＝4，∴x0＝±1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.知识点二函数的单调性与导数例题2.〖答案〗C〖解析〗f′(x)＝1－eq\f(2,3)cos2x＋acosx＝1－eq\f(2,3)(2cos2x－1)＋acosx＝－eq\f(4,3)cos2x＋acosx＋eq\f(5,3)，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cosx＝t，t∈〖－1，1〗，则－eq\f(4,3)t2＋at＋eq\f(5,3)≥0在〖－1，1〗上恒成立，即4t2－3at－5≤0在〖－1，1〗上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝4－3a－5≤0，,g－1＝4＋3a－5≤0，))解得－eq\f(1,3)≤a≤eq\f(1,3)，故选C.知识点三函数的极值、最值与导数例题3.〖解〗(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由(1)得f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.=1\*GB3①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在〖0，t〗上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，t)tf′(x)0－0＋f(x)2↘－2↗t3－3t2＋2f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，所以f(x)max＝f(0)＝2.知识点四导数在生活中的应用例题4．〖解〗(1)根据所建平面直角坐标系，可得点H(144，120)，所以120＝aeq\r(144)，解得a＝10，又AM＝t，所以P(t，10eq\r(t))，所以S关于t的函数关系式为S(t)＝t·(150－10eq\r(t))＋(144－t)·10eq\r(t)＝150t－20t·eq\r(t)＋1440·eq\r(t)(0＜t＜144)．(2)令m＝eq\r(t)，则S＝150m2－20m3＋1440m(0＜m＜12)，所以S′＝300m－60m2＋1440＝－60(m＋3)(m－8)，S′＝0⇒m＝8负值舍去；S′＞0⇒0＜m＜8；S′＜0⇒8＜m＜12；所以函数S在区间(0，8)上单调递增，在区间(8，12)上单调递减，所以当m＝8时，S取得最大值，为10880平方米．答：S的最大值为10880平方米．四、易错点分析易错点由函数零点个数求参数的范围例.〖解〗(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝e时，f(x)＝xex－elnx－ex，f′(x)＝eq\f(1＋xxex－e,x)，令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，∴f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．(2)令t＝lnx＋x，则t＝lnx＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R，∴f(x)＝xex－a(lnx＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at.∴f(x)在(0，＋∞)上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t∈R上有两个零点．①当a＝0时，g(t)＝et在R上递增，且g(t)＞0，故g(t)无零点；②当a＜0时，g′(t)＝et－a＞0，g(t)在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝－1＜0，故g(t)在R上只有一个零点；③当a＞0时，由g′(t)＝et－a＝0，可知t∈(－∞，lna)时，g′(t)＜0，g(t)为减函数；t∈(lna，＋∞)时，g′(t)＞0，g(t)为增函数，∴g(t)在t＝lna时有唯一的一个极小值g(lna)＝a(1－lna)．若0＜a＜e，则g(t)min＝g