高考数学一轮复习 第十三章 第3讲 几何概型配套限时规范训练 理 苏教版

第3讲几何概型分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是________．解析把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1m，故所求概率为P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)2．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为________．解析面积为36cm2时，边长AM＝6cm，面积为81cm2时，边长AM＝9cm，∴P＝eq\f(9－6,12)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)3．(·山东济南模拟)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是________．解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为eq\f(\f(1,2)π×12,4)＝eq\f(π,8).答案eq\f(π,8)4．(·南京外国语学校调研)如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为eq\f(a,2)的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．解析所求概率为P＝eq\f(a2－π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,a2)＝1－eq\f(π,4).答案1－eq\f(π,4)5．(·宿迁联考)一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1,2，…，10，击中由内至外的区域的成绩依次为10,9，…，1环，则不考虑技术因素，射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的概率为________．解析所求概率为P＝eq\f(π×12,π×102)＝eq\f(1,100).答案eq\f(1,100)6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点解析点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝eq\f(23－\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)＝1－eq\f(π,12).答案1－eq\f(π,12)二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1，))求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．解(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m、n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1))的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).8．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．解(1)设CM＝x，则0<x<a.(不妨设BC＝a)．若∠CAM<30°，则0＜x＜eq\f(\r(3),3)a，故∠CAM<30°的概率为P＝eq\f(区间\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)a))的长度,区间0，a的长度)＝eq\f(\r(3),3).(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°，若∠CAM<30°，则0°<θ<30°，故∠CAM<30°的概率为P＝eq\f(0°，30°的长度,0°，45°的长度)＝eq\f(2,3).分层训练B级创新能力提升1．(·淮阴中学检测)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).答案1－eq\f(π,4)2．(·扬州模拟)分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为________．解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝eq\f(2π－4,4)＝eq\f(π－2,2).答案eq\f(π－2,2)3．(·南京模拟)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．解析设三棱锥P－ABC的高为h，∵VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC，∴eq\f(1,3)S△ABC×h<eq\f(1,2)×eq\f(1,3)S△ABC×3，∴h<eq\f(3,2)，即点P位于中截面以下，故所求概率为P＝1－eq\f(\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)S△ABC))×\f(3,2),\f(1,3)S△ABC×3)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)4．(·苏北四市调研三)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于eq\f(9,8)的概率为________．解析令x＝0得y＝eq\f(3,3－m)，令y＝0得x＝eq\f(3,m＋2)，由于m∈(0,3)，∴S＝eq\f(1,2)·eq\f(3,3－m)·eq\f(3,m＋2)＝eq\f(9,23－mm＋2)，由题意，得eq\f(9,23－mm＋2)<eq\f(9,8)，解得－1<m<2，由于m∈(0,3)，∴m∈(0,2)，故所求的概率为P＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)5．(·南京检测)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，,y≥－1))内(含边界)的概率．解(1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”为事件A，则基本事件总数为6.因落在圆x2＋y2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件B，则基本事件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4个，即B包含的基本事件数为4，故P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).6．(·苏锡常镇调研)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．解(1)基本事件(a，b)共有36个，方程有正根等价于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝eq