2024届淄博市重点中学中考四模数学试题含解析

2024学年淄博市重点中学中考四模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间

的函数关系式为y=-4x+440,要获得最大利润，该商品的售价应定为

A.60元B.70元C.80元D.90元

2.二次函数y=-f+2x+4的最大值为（）

A.3B.4

C.5D,6

3.在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六

到九”的运算就改用手势了.如计算8x9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7,未

伸出手指数的积为2,则8x9=10x7+2=1.那么在计算6x7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）

A.1,2B.1,3

C.4,2D.4,3

4.如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数＞=七的图像上一点，过点P做轴于点Q,若△OP。的面

积为2,则人的值是（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.如图，边长为1的正方形A3CZ）绕点A逆时针旋转30。到正方形Ab'C'0',图中阴影部分的面积为（）.

cB

D'

6.由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（）

7.如图，已知射线OM,以O为圆心，任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心，AO长为半径

画弧，两弧交于点B,画射线OB,那么NAOB的度数是（

C.45°D.30°

8.某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经

市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元.

A.3B.2.5C.2D.5

9.自2013年10月总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来.各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度.全国脱贫人口数

不断增加.仅2017年我国减少的贫困人口就接近110（）万人.将1100万人用科学记数法表示为（）

A.1.1x103人B.l.lxlO7AC.l.lxlO8AD.11x106人

10.下列运算正确的是（）

A.a6-raJ=a2B.3a2«2a=6a3C.（3a）2=3a2D.2x2-x2=l

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,尸分别在x轴、y轴上，NAPO=30。.先将线段R1沿y轴翻折得到线

段PB,再将线段PA绕点P顺时针旋转30。得到线段PC,连接BC.若点A的坐标为（-1,0）,则线段BC的长为

12.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x?+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是（3,0）,点C的坐标是（0,

-3）,动点尸在抛物线上.b=,c=,点8的坐标为；（直接填写结果）是否存在

点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由;

过动点尸作尸E垂直y轴于点E,交直线AC于点O,过点。作*轴的垂线.垂足为尸，连接EF,当线段EF的长度

最短时，求出点尸的坐标.

13.若点M（k-Lk+l）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k-l）x+k的图象不经过第象

限.

14.如图，在菱形纸片ABCO中，AB=2,NA=60。，将菱形纸片翻折，使点A落在CO的中点E处，折痕为RG,

点F,G分别在边AB,AO上，贝hos/EFG的值为.

15.百子回归图是由1,2,3,…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19

991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数

之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为.

百子回归

822529891001352701035

847541171887404«5738

5324862685390315

8193的%

3376541614615992

6043

456478199922乃

0%14274

67634H7122027S8

056M697499862

043032

085%583466856刀9521

0%6”8879283172

07235036

028065447169

51

16.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9,那么阴影部分的面积为

39

17.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球•每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任

意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小

球的个数是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，

底座AE_L直线L且A£=25C7«,手臂==末端操作器CD=35加，AF直线L当机器人运作时，

ZBAF=45°,ZABC=75°,ZBCD=6（r,求末端操作器节点。到地面直线L的距离.（结果保留根号）

19.（5分）如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、

D两村到E点的距离相等，已知DAJLAB于A,CBJ_AB于B,DA=30km,CB=20km,那么基地E应建在离A站多

少千米的地方？

D

20.(8分)如图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知AB,C,。分别为“果圆

33

与坐标轴的交点，直线y=-x-3与“果圆”中的抛物线^=一一+法+。交于3、。两点

44

⑴求“果圆”中抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被>轴截得的线段的长；

(2)如图，E为直线8C下方“果圆”上一点，连接AE、AB、BE,设4E与交于尸，所的面积记为59印,

S

AAB尸的面积即为§岫办，求的最小值

3BEF

(3)“果圆”上是否存在点P,使NAPC=NC4B,如果存在，直接写出点P坐标，如果不存在，请说明理由

/y

图1g02图3

21.(10分)已知：如图，在梯形A8C。中,AD//BC,AB=DC,E是对角线AC上一点，5.ACCE=ADBC.

(1)求证：NDCA=NEBC；

(2)延长BE交AO于尸，求证：A52=4尸

4________________D

/\

//E\

/^***>.\

f\

B匕-------------------------------A：

22.(10分)已知”是关于x的方程f+4x-5=0的一个根，贝IJ2〃?2+8〃Z=_

23.(12分)在RtAABC中，ZACB=90°,BE平分NABC,。是边A3上一点,以8。为直径的。0经过点E,且

交BC于点F.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若8尸=6,。。的半径为5,求CE的长.

D

o

24.（14分）计算：（-2）2+20180-V36

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1,C

【解题分析】

设销售该商品每月所获总利润为w,

贝!Jw=(x-50)(-4x+440)=-4x2+640x-22000=-4(x-80)2+3600,

.•.当x=80时，w取得最大值，最大值为3600,

即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C.

2、C

【解题分析】

试题分析：先利用配方法得到y=-(x-1)2+1,然后根据二次函数的最值问题求解.

解：y=-(x-1)2+1,

Va=-1<0,

...当x=l时，y有最大值，最大值为1.

故选C.

考点：二次函数的最值.

3、A

【解题分析】

试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可.

解：一只手伸出1,未伸出4,另一只手伸出2,未伸出3,伸出的和为3x10=30,

30+4x3=42,

故选A.

点评：此题是定义新运算题型.通过阅读规则，得出一般结论.解题关键是对号入座不要找错对应关系.

4、C

【解题分析】

根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题

【题目详解】

解：\,过点P作PQ_Lx轴于点Q,AOPQ的面积为2,

k

-My1=2,

Vk<0,

.,.k=-l.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

5、C

【解题分析】

设夕。与CD的交点为E,连接AE,利用证明R348%和R34OE全等，根据全等三角形对应角相等NZME

=ZB'AE,再根据旋转角求出/以肥=60。，然后求出NZ)AE=30。，再解直角三角形求出OE,然后根据阴影部分的

面积=正方形ABCD的面积-四边形AZJEB，的面积，列式计算即可得解.

【题目详解】

如图，设方。与C£>的交点为E,连接AE,

D'

在RtAAB'E和RtAADE中,

AE=AE

AB=AD，

RtAADE(HL),

：.ZDAE=ZB'AE,

•••旋转角为30。，

.\ZDABr=60°,

:.ZDAE=-x60°=30°,

2

.••OE=lx立=@,

33

.•.阴影部分的面积=1x1-2x（Lxlx也）=1-且.

233

故选C.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形,利用全等三角形求出NZME=N8，AE,

从而求出NZME=30。是解题的关键，也是本题的难点.

6、B

【解题分析】

分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算

出总的个数.

解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说

明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体.故选B.

7、B

【解题分析】

首先连接AB,由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得NAOB的度数.

【题目详解】

连接AB,

根据题意得：OB=OA=AB,

AAOB是等边三角形，

:.ZAOB=60°.

故答案选：B.

【题目点拨】

本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.

8、A

【解题分析】

设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为(x-40),原来售价为每件6()元时，每星期可卖出30()件，

所以现在可以卖出[300+20(60-x)]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题.

【题目详解】

解：设售价为x元时，每星期盈利为6120元，

由题意得(x-40)[300+20(60-x)]=6120,

解得：xi=57,X2=l,

由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去X2=L

.••每件商品应降价60-57=3元.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的应用.此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.此题要注

意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

9,B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【题目详解】

解：11007J=IIOOOOOO=I.ixio7

故选B.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iqa|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

10、B

【解题分析】

A、根据同底数幕的除法法则计算；

B、根据同底数幕的乘法法则计算；

C、根据积的乘方法则进行计算；

D、根据合并同类项法则进行计算.

【题目详解】

解:A、a6va3=a3,故原题错误；

B、3a2»2a=6a3,故原题正确：

C、(3a)2=9a2,故原题错误；

D、2x2-x*,故原题错误；

故选B.

【题目点拨】

考查同底数塞的除法，合并同类项，同底数塞的乘法，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

U、2s

【解题分析】

只要证明小PBC是等腰直角三角形即可解决问题.

【题目详解】

解：VZAPO=ZBPO=30°,

.•.ZAPB=60°,

VPA=PC=PB,ZAPC=30°,

.••ZBPC=90°,

/.△PBC是等腰直角三角形，

VOA=1,NAPO=30。，

；.PA=2OA=2,

:.BC=®PC=2®

故答案为2g.

【题目点拨】

本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△PBC是等腰直角

三角形.

12、(1)-2,-3,(-1,0)；(2)存在P的坐标是(1,-4)或(-2,5)；(1)当EF最短时，点P的坐标是：(2+遮,

2

【解题分析】

（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得入c的值，然后令尸0可求得点3的坐标；

（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与尸2两点先求得4C的解析式，然后可求得PC和PM的解析

式，最后再求得尸C和尸认与抛物线的交点坐标即可；

（1）连接0£>.先证明四边形OEO尸为矩形，从而得到0£>=EF,然后根据垂线段最短可求得点。的纵坐标，从而得

到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.

【题目详解】

c=-3

解：（1）•.•将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：C，

9+3b+c=0

解得：b=-2,c=-1,

抛物线的解析式为y=V—2x—3.

丫令V—2犬一3=0,解得：士=-1,苍=3,

...点8的坐标为（-1,0）.

故答案为-2；-1；（-1,0）.

（2）存在.理由：如图所示：

①当NACPi=90。.由（1）可知点A的坐标为（1,0）.

设AC的解析式为产Ax-1.

•.•将点A的坐标代入得\k-1=0,解得k=l,

直线AC的解析式为产x-1,

直线CPi的解析式为y=-x-l.

•.•将y=_*_l与y=f_2x_3联立解得为=1,尤2=°（舍去），

...点尸i的坐标为（1,-4）.

②当NP2AC=90。时.设4尸2的解析式为产-x+b.

1,将x=l,y=0代入得：-1+方=0,解得/>=1,

直线AP2的解析式为产7+1.

,将y=-x+1与y=X?-2x-3联立解得玉=-2,x2=l（舍去）,

二点尸2的坐标为（-2,5）.

综上所述，尸的坐标是（1,-4）或（-2,5）.

由题意可知，四边形。是矩形，贝!尸.根据垂线段最短，可得当OOJ_AC时，0。最短，即E尸最短.

由（1）可知，在KfAAOC中，'：OC=OA=1,ODLAC,

二。是AC的中点.

又,：DF//OC,

\3

：.DF=-OC=-,

22

...点尸的纵坐标是-13，

2

：.X2-2X-3=--,解得：i士丽,

22

.•.当EF最短时，点尸的坐标是：（马匚叵，-之）或（立巫，

2222

13、—

【解题分析】

试题分析：首先确定点M所处的象限，然后确定k的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案.

•.•点M（k-Lk+1）关于y轴的对称点在第四象限内，.•.点M（k-1,k+1）位于第三象限，

，k-1V0且k+lVO,解得：kV-L

.,.y=(k-1)x+k经过第二、三、四象限，不经过第一象限

考点：一次函数的性质

14、叵

7

【解题分析】

过点A作APLCD,交CD延长线于P,连接AE,交FG于O,根据折叠的性质可得NAFG=NEFG,FG1AE,

根据同角的余角相等可得ZPAE=ZAFG,可得ZEFG=ZAPE,由平行线的性质可得ZPDA=60°，根据ZPDA

的三角函数值可求出PD、AP的长，根据E为CD中点即可求出PE的长，根据余弦的定义cosNAPE的值即可得答

案.

【题目详解】

过点A作APLCD,交CD延长线于P,连接AE,交FG于O,

•.•四边形ABCD是菱形，

:.AD=AB=2,

•••将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG,

AZAFG=ZEFG,FG1AE,

VCD//AB,AP±CD,

AP_LAB,

...ZPAE+ZEAF=90%

VZEAF+ZAFG=90°,

AZPAE=ZAFG,

:.ZEFG=NAPE,

VCD//AB,ZDAB=60°,

ZPDA=60°,

/.AP=ADsin60°=2x@=g,PD=ADcos60°=2x1=1,

22

：E为CD中点，

:.DE=-AD=1,

2

，PE=DE+PD=2,

AE=7AP2+PE2，

./DACAP百&T

••cosZ.EFG=cosNPAE==—T=-=------・

AE々7

故答案为亘

7

【题目点拨】

本题考查了折叠的性质、菱形的性质及三角函数的定义，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状

和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

15、505

【解题分析】

根据已知得：百子回归图是由1,2,3…，10()无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之

和均相等，所以每行10个数之和=总和+10,代入求解即可.

【题目详解】

田乂力位(1+100)x100

1〜100的总和为：------』--------=5050,

2

一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：n=5050-r10=505,

故答案为505.

【题目点拨】

本题是数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规律从1开始计算，从计算的过程中慢慢发现规

律，总结出与每一次计算都符合的规律，就是最后的答案

16、173-1

【解题分析】

设两个正方形的边长是X、y得出方程*2=1,y2=9,求出*=有，y=l,代入阴影部分的面积是。X

求出即可.

【题目详解】

设两个正方形的边长是x、y则好=1,炉=9,*=百，j=l,则阴影部分的面积是(y-x)x=

(1-6)X6=3石-L

故答案为1班-1.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力.

17、1

【解题分析】

根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为1%,然后根据概率公式计算n的值.

【题目详解】

9

解：根据题意得一=1%,

n

解得n=l,

所以这个不透明的盒子里大约有1个除颜色外其他完全相同的小球.

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验

的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(3072+20)cm.

【解题分析】

作BG_LCD,垂足为G,BHJLAF,垂足为H,解RtACBG和RUSH,分别求出CG和BH的长，根据D到L的

距离=8H+AE-(S-CG)求解即可.

【题目详解】

如图，作BGJ_CD,垂足为G,BH±AF,垂足为H,

在放ACBG中，ZBCD=60°,BC=60cm,

CG=BCcos60°=30,

在中，NBAF=45。，AB=60cm,

SW=AB-sin45°=3072，

.♦.D到L的距离=BH+AE-(CD-CG)=30夜+25-5=(30五+20)c»i.

【题目点拨】

本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段.

19、20千米

【解题分析】

由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜边相等两次

利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2,设AE为x,则BE=10-x,将DA=8,CB=2代入关系式即可求得.

【题目详解】

解：设基地E应建在离A站x千米的地方.

则BE=(50-x)千米

在RSADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2

.•.302+X2=DE2

在RSCBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2

/.202+(50-x)2=CE2

又；C、D两村到E点的距离相等.

二DE=CE

.,.DE2=CE2

302+x2=202+(50-x)2

解得x=20

基地E应建在离A站20千米的地方.

考点：勾股定理的应用.

20、(l)y--x2--x-3；6；■^有最小值2；(3)平0，-3),8(3,-3).

44SBEF4

【解题分析】

(1)先求出点B,C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造

直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；

s

(2)先判断出要求三亚的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一

,BEF

个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG,结论得证.

(3)求出线段AC,BC进而判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P.

【题目详解】

3

解:⑴对于直线y=-x-3,令x=0,

4

；.y=-3,

AB(0,-3),

令y=0，

.3

・・—x-3=0,

4

.,.x=4,

AC(4,0),

3

\,抛物线y=—x?+bx+c过B,C两点，

4

3

-x16+4b+c=0

.,J4

,9

h=——

4

c=-3

39

...抛物线的解析式为〃=“2-/一3；

令y=0,

39

:.一x~—x_3=0,

44

/.x=4或x=-l,

AA(-1,0),

AAC=5,

如图2,记半圆的圆心为Ol连接O，D,

53

.*.OO'=OC-O'C=4--=-,

22

在RtACTOD中，OD=J0£)2_OO2=2,

AD(0,2),

/.BD=2-(-3)=5；

⑵如图3,

VA(-1,0),C(4,0),

.".AC=5,

过点E作EG〃BC交x轴于G,

VAABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h,

11

SAABF=—AF*h,SABEF=—EF»h,

22

o-AF-h

JABF2AF

s二^~EF

,BEFLEF.h

2

q

°ABF

的最小值,

uBEF

AF.

——最小,

EF

VCF/7GE,

•AF—AC5

e*EF-CG-CG

.•.R7最小,即：CG最大，

CG

，EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大,

3

•.•直线BC的解析式为y=-x-3,

4

3

设直线EG的解析式为y=：x+m①，

4

39

抛物线的解析式为y=-x2--x-3②，

44

联立①②化简得，3x2-12x-12-4m=0,

.,.△=144+4x3x(12+4m)=0,

:.m=-6,

3

二直线EG的解析式为y=-x-6,

4

令y=0，

.3。0

・・—x-6=0,

4

:.x=8,

ACG=4,

._AF_AC_5

"SBEF-CG-4：

(3)6(0,-3),6(3,-3).理由：

如图1,；AC是半圆的直径，

...半圆上除点A,C外任意一点Q,都有NAQC=90。,

...点P只能在抛物线部分上，

VB(0,-3),C(4,0),

，BC=5,

VAC=5,

/.AC=BC,

，NBAC=NABC,

当NAPC=NCAB时，点P和点B重合，即：P(0,-3),

由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为(3,-3),

即：使NAPC=NCAB,点P坐标为(0,-3)或(3,-3).

【题目点拨】

本题是二次函数综合题，考查待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰

三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键.

21、(1)见解析；(2)见解析.

【解题分析】

ACAD

(1)由A0〃6C得NZMC=NbC4又・・・AC・C£=AObC・・・——=-,