人教A版选择性必修第一册高中数学3.3.2第二课时　抛物线的方程与性质的应用【课件】

第3章圆锥曲线与方程第二课时抛物线的方程与性质的应用课标要求1.了解抛物线的简单应用.2.能运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.素养要求通过本节课进一步提升逻辑推理及数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1一、直线与抛物线的位置关系1.思考类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.

提示

如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点，此时直线与抛物线______；若Δ＝0，则直线与抛物线有____个公共点，此时直线与抛物线______；若Δ<0，则直线与抛物线______公共点，此时直线与抛物线______.(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴____________，此时直线与抛物线有____个公共点，直线与抛物线______.相交两一相切没有相离平行或重合相交1温馨提醒

(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.3.做一做已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(

)A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点C解析因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过点(1，0).又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.二、弦长问题1.思考过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？提示

(1)利用弦长公式.(2)根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.2.填空

(1)一般弦长x1＋x2＋p温馨提醒

设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式为：3.做一做过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(

) A.16

B.14 C.12

D.10C解析设抛物线的焦点为F(1，0)，则AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1

已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？题型一直线与抛物线的位置关系①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1时，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点.判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.思维升华训练1

已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－1，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________.例2

过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.题型二与抛物线有关的焦点弦及弦的中点问题两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.思维升华训练2

(1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(

)A(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.y2＝4xx－y＝0解析由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，题型三与抛物线有关的最值问题例3

如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.因为－2<y0<4，所以(y0－1)2－9<0.求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.思维升华训练3

求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.课堂小结1.牢记1个知识点

直线与抛物线的相交弦问题.2.掌握3种方法课堂小结3.注意2个易错点(1)涉及弦长时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错.(2)忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成31.设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则AB的最小值为(

)C2.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(

)A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.3.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是(

)A法二设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，4.(多选)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是(

)BCA.－2 B.－1 C.1

D.2得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(

) A.8p2

B.4p2

C.2p2

D.p2B6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.0或1解析当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1.32解析

设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，8.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________.11.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(

)ABD解析

把点B(1，2)代入抛物线方程y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；设AC的中点为M(x0，y0)，因为AF＋CF≥AC，AF＋CF＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.解由题意知直线l的斜