小学奥数第29讲-实践与实际操作(含解题思路)

29、实践与实际操作【最短路线】例1一只蚂蚁要从A处出发，经粘合在一块木板上的正方体（如图5.74）的表面爬到B处。请你在图上画出最短的路线（看得见的画实线，看不见的画虚线），有几条就画几条。（1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：可将正方体的几个面，按正视位置的前面—上面展开，前面—右面展开，左面—后面展开，左边—上面展开，其展开图都是由两个正方形面组成的长方形（如图5.75所示）。根据两点之间直线段最短的原理，故最短路线为每个长方形对角线，它们共有四条，如图5.76所示。例2请你在图5.77（3）、（4）、（5）上画出三种与图（2）不一样的设计图，使它们折起来后，都成为图（1）所示的长方形盒子（粗线和各棱交于棱的中点）。（第四届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：解题的关键，是要分清实线与虚线，然后思考它们是按什么方式展开的。不难想象，其答案如图（3）、（4）、（5）所示。【切分图形】例1请将图5.78分成面积相等，形状相同，且每一块中都含有“数学竞赛”字样的四块图形。（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：从条件看，所分成的每一块图中，必须有四个小正方形，且只有五种（如图5.79）。根据图中汉字的具体位置，可发现图5.79中图（1）、图（2）明显不合，图（3）、图（4）也不能分成。于是只剩下图（5）。进一步搜索，便可得到答案。答案如图5.80所示。由图可知，完成任务所需的最短时间，是85分钟。

例3若干箱同样的货物总重19.5吨，只知每箱重量不超过353千克。今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要______辆，才能保证把这些货物一次全部运走。（箱子不能拆开）

（北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：关键是要理解“至少几辆车，才能保证一次运走”的含义。也就是说，在最大浪费车位的情况下，最少要几辆车。

∵这堆货物箱数至少有：

19500÷353≈55.2≈56（箱）；

一辆汽车每次最多能装的箱数：

1500÷353≈4.2≈4（箱）。

∴一次全部运走所有货物，至少需要汽车56÷4=14（辆）。

例4如图5.99，一条公路（粗线）两侧有7个工厂（01、02、……、07），通过小路（细线）分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现在要设置一个车站，使各工厂（沿小路和公路走）的距离总和越小越好。这个车站应设在一______点。

（1992年福州市小学数学竞赛试题）讲析：从各工厂到车站，总是先走小路，小路的总长不变，所以问题可转化为：“在一条公路上的A、B、C、D、E、F处各有一个工厂，D处有两个工厂。要在公路上设一个站，使各厂到车站的距离总和最小（如图5.100）。显然，车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。

如果车站设在D处，则各厂到D总长是：

（DA＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC；

如果车站设在C处，则各厂到C总长是

（CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。

比较上面两个式子得：当车站设在D处时，七厂到车站的距离总和最小。

【费用最少问题】

例1在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图5.101），共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？

（全国第一届“华杯赛”复赛试题）

讲析：这类问题思考时，要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处理的方法是：“小往大处靠”。

因为第五个仓库有40吨，比第一、二仓库货物的总和还多。所以，尽量把第五个仓库的货不动或者动得最近。

当存放站设在第四仓库时，一、二、五仓库货物运输的吨千米数为：

10×300＋20×200＋40×100=11000；

当存放站设在第五仓库时，一、二仓库货物运输的吨千米数为：

10×400+20×300=10000。

所以，存放点应设在第五号仓库，运费最少。运费是0.5×10000=5000（元）。

例2有十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如图（5.102，单位：千米），要安装水管，从县城送自来水到各村，可用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8千元，细管每千米要用2千元。把粗管细管适当搭配，互相连接，可降低工程总费用。按最节省的办法，费用应是多少？

（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试