4.4二项式定理（第2课时）课件高二上学期数学选择性

4.4

二项式定理第2课时二项式系数的性质第4章计数原理湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质;2.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点二项式系数的性质性质内容对称性二项式系数f(r)关于直线r=对称,即f(r)=f(n-r).在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即单调性与最大值二项式系数f(r)从两端向中间逐渐增大,且当n是偶数时,展开式的项数n+1是奇数,中间一项的二项式系数

取得最大值;当n是奇数时,展开式的项数n+1是偶数,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值性质内容各二项式系数的和由二项式定理得(a+b)n=,令a=b=1,则

=2n.即(a+b)n的展开式中各二项式系数的和等于2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n-1,即

=2n-1名师点睛二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,(a+b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数;(a-b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(

)2.结合教材内容,说明杨辉三角的主要特点.××提示(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即重难探究·能力素养速提升探究点一“杨辉三角”的理解【例1】在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6,则这一行是第

行.

98规律方法

“杨辉三角”问题解决的一般方法

变式训练1以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列,在我国南宋时期杨辉所著的《详解九章算法》一书中曾列出过.那么,第9行第8个数是

.

36探究点二求二项展开式中系数或二项式系数最大的项【例2】在()8的展开式中,(1)求系数的绝对值最大的项;(2)求二项式系数最大的项;(3)求系数最大的项;(4)求系数最小的项.解得5≤r≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,(3)由(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负数,第7项的系数为正数,规律方法

二项展开式中二项式系数与展开式系数最大项的求法(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(2)若n的值较小,可以借助二项式定理将(a+b)n(n∈N+)展开,根据展开式各项的特征找到系数最大的项.若n的值较大,且b>0,可以设Tr是系数最大的变式训练2在(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为

.

-462角度1求二项式系数和、各项系数和【例3】已知()n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则n等于(

)A.4 B.5

C.6 D.7C规律方法

求二项式系数和、各项系数和的求解方法

(2)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.变式训练3若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为

.

5解析

(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为

.令(x+3y)n中x=y=1,可得各项系数之和为4n.由题设知,4n=210,即22n=210,解得n=5.角度2求奇数项或偶数项系数和【例4】若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.解

(1)令x=0,则a0=-1;令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27=128,①所以a1+a2+…+a7=129.(2)令x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,②由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7=16

512,∴a1+a3+a5+a7=8

256.(3)由①+②得2(a0+a2+a4+a6)=128+(-4)7=-16

256,∴a0+a2+a4+a6=-8

128.变式探究本题中已知条件不变,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.解

由于(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0中,a0,a2,a4,a6均为负值,而a1,a3,a5,a7均为正值,因此|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a7-a6+a5-a4+…-a0.由(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,可得(1-3x)7=-(3x-1)7=-a7x7-a6x6-…-a1x-a0.令x=-1得47=a7-a6+a5-a4+…-a0,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=16

384.规律方法

求二项式中项的系数的和与差的方法技巧若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),偶次项系本节要点归纳1.知识清单:二项式系数的性质:对称性、单调性、二项式系数的和.2.方法归纳:观察、归纳法求解“杨辉三角”有关的问题,赋值法求二项展开式的系数和、二项式系数的和,解方程组法求解展开式的奇次项、偶次项系数的和(差),解不等式组法求解展开式中系数的最大(小)项.3.注意事项:二项展开式中二项式系数的最大值与n的奇偶性有关,求二项式中项的系数的和与差时要注意根据所求式子的特征准确赋值.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314A级必备知识基础练1.已知(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,则二项式系数和是(

)A.212

B.211

C.210

D.29A解析

因为(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,即

,所以n=12,故(1+x)n的二项式系数和是212.故选A.12345678910111213142.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-…+a6-a7=(

)A.1 B.-1 C.2

D.-2B解析

因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故选B.12345678910111213143.在()n的展开式中,所有奇数项二项式系数之和为1024,则中间项系数是(

)A.330 B.462

C.682

D.792B解析

∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得

=1

024,解得n=11.即二项展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为

=462.1234567891011121314A12345678910111213145.(多选题)下列关于(a+b)10的说法中正确的是(

)A.展开式中的各二项式系数之和为1024B.展开式中第6项的二项式系数最大C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小AB解析

根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中各二项式系数之和为210=1

024,故A正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间项,即第6项的二项式系数最大,故B正确,C错误;易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等,故第6项的系数最大,故D错误.故选AB.12345678910111213146.若(3-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=

.

45解析

令x=1,则25=a0+a1+a2+…+a5,令x=-1,则45=a0-a1+a2+…-a5,12345678910111213147.(x-2y)100展开式的各项系数之和为

.

0解析

令x=y=1,则(1-2)100=1,故(x-2y)100展开式的各项系数之和为1.1234567891011121314B级关键能力提升练D12345678910111213149.若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0+a2+a4+a6=(

)A.8 B.6

C.5

D.4D解析

令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=(1+1)3(1-2)4=8,令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(1-1)3(1+2)4=0,两式相加可得,2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4,故选D.123456789101112131410.(多选题)关于()6的展开式,则(

)A.所有项的二项式系数和为128B.所有项系数和为1C.常数项为70D.二项式系数最大的项为第4项BD1234567891011121314故C错误;由题可得,二项式系数最大的项为第4项,故D正确.故选BD.123456789101112131411.(多选题)在(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是(

)A.第5项的系数最大B.所有项的系数和为38C.所有奇数项的二项式系数和为-27D.所有偶数项的二项式系数和为27BD1234567891011121314123456789101112131412.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=

.

3解析

设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1),①令x=-1,则a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0,②①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),所以2×32=16(a+1),解得a=3.123456789101112131413.在①a1=35;②

=32(m∈N+);③展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且

.

(1)求m的值;(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).1234567891011121314所以2m=32,解得m=5.若选条件③,因为展开式中二项式系数最大值为7m,(