第八章 排列组合（单元测试）（解析版）

第八章排列组合（单元测试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．书桌上有3本不同的数学书和4本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各1本，则不同的取法有（

）A．6种 B．7种 C．12种 D．21种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：从数学书中任取1本，有3种不同的取法.第二步：从语文书中任取1本，有4种不同的取法.故从中任取数学书和语文书各1本，不同的取法有3×4=12种.故选：C2．(2x-1)5的展开式中x3的系数为（A．-80 B．-40 C．40 D．80【答案】D【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】(2x-1)5展开式中含x3的项为所以x3的系数为80故选：D3．某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（

）A．14 B．64 C．72 D．80【答案】B【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有4×8×2=64种.故选：B．4．甲、乙2名同学准备报名参加A，B，C三个社团，每人报且只报一个社团，不同的报名方法有（

）A．9种 B．6种 C．4种 D．3种【答案】A【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】对于甲有3种报名方式，对于乙也有3种报名方式，故不同的报名方式有3×3=9种.故选：A5．有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（

）A．36种 B．48种 C．72种 D．108种【答案】B【分析】根据捆绑法进行求解即可.【详解】不同排法种数为A2故选：B.6．甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（

）A．24 B．36 C．64 D．81【答案】C【分析】由分步乘法计数原理计数判断．【详解】不同方法的种数是：43故选：C．7．6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（

）A．20 B．36 C．63 D【答案】B【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答.【详解】依题意，每位同学都有3种选法，所以不同的选法种数是3×3×3×3×3×3=3故选：B8．1-2x5的展开式中，x3的系数为（A．-160 B．-80 C．80 D．160【答案】B【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.【详解】1-2x5的展开式的通项是C5由题意，k=3因此，x3的系数是-2故选：B.9．(2-x)5展开式中的第三项为（

A．10x2 B．40x3 C．【答案】D【分析】根据展开式通项公式写出第三项即可.【详解】由题设，展开式通项为Tr+1第三项有r=2，则T3故选：D10．3x-1x6A．26 B．36 C．46【答案】A【解析】令x=1即可求得3x-1x【详解】解：令x=1，得3x-1x6故选：A.【点睛】本题考查二项式定理展开式各项系数之和，解题的关键在于赋值法，是基础题.二、填空题（每小题4分，共20分）11．在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽取3件，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法的种数为；【答案】9604【分析】补集法，考虑“没有次品”的种数.【详解】“没有次品”的抽法种数为：C98至少有一件是次品的抽法的种数为：C100故答案为：9604.12．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有种排法.【答案】240【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可.【详解】先排甲和乙，有A2再排其他5人，有A5根据分步乘法计数原理，共有2×120=240种排法.故答案为：24013．某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有种不同的走法【答案】25【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算作答.【详解】依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共有5×5=25种，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.故答案为：2514．在(2x2-1)6的展开式中，x【答案】-12【分析】利用二项式定理通项公式写出通项，再令12-2r=2，求出r，代入即可求解.【详解】由二项式定理的通项公式得：Tr+1则令12-2r=2，求出r=5，所以x2的系数为：C故答案为：-12.15．有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有种不同的选法【答案】180【分析】根据分组分配办法结合分步乘法原理求解即可.【详解】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有C62第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有C41第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有C31所以共有C62故答案为:180.三、解答题（共6小题，共60分）16．某大学要从16名大学生（男10人，女6人）中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”．(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？(3)如果小组中至多有3名女生，可以多少种不同的选法？【答案】(1)8955(2)8955(3)8955【分析】（1）（2）（3）分为4种情况，逐个求解，然后求和可得答案；【详解】（1）至少有3名女生的选法可分为如下四类：有3名女生：C63有4名女生：C64C104种选法；有5名女生：C65所以至少有3名女生共有C6（2）至少有5名男生的选法可分为如下四类：有5名男生：C105C63种选法；有6名男生：C106C62种选法；有所以至少有5名男生共有C10（3）至多有3名女生的选法可分为如下四类：不含女生：C108种选法；有1名女生：C61C107种选法；有2名女生：C所以至多有3名女生共有C617．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数？【答案】（1）120；325；（2）234【分析】（1）利用排列数以及分类加法计数原理即可求解.（2）利用分类加法计数原理以及排列数即可求解.【详解】（1）根据题意，将1，2，3，4，5进行全排列，有A55=120种情况，即可以组成120要求由1，2，3，4，5组成没有重复数字的正整数，可以分5种情况讨论：①由5个数字组成的一位数，有5种情况，②由5个数字组成的两位数，有A5③由5个数字组成的三位数，有A5④由5个数字组成的四位数，有A5⑤由5个数字组成的五位数，有A5则一共有5+20+60+120+120=325没有重复数字的正整数.（2）根据题意，分两种情况讨论：组成的是5位数或4位数，当组成的数字是5位数时，有A5当组成的数字是4位数时，分两种情况讨论：①首位数字是2，3，4或5时，组成的4位数都比1300大，此时有4×A②首位数字是1时，第二位数字必须为3，4或5时，此时有3×A一共有120+96+18=234种情况，即可以组成225个比1300大的正整数.18．有5名同学站成一排拍照．(1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？(2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？【答案】(1)48(2)42【分析】（1）捆绑法进行求解；（2）分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可.【详解】（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有A2（2）如果甲排左端，则方法数有A4如果乙排左端，则方法数有A3故总的方法数有24+18=42种．19．从4名男生，3名女生中选出3名代表.（1）不同的选法共有多少种；（2）代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种.【答案】（1）35；（2）30【分析】（1）根据题意，要从7人中选出3名代表，由组合数公式可得答案；（2）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有C73种，从中排除选出的3人都是男生的情况与选出的【详解】（1）根据题意，共有7人，要从中选出3名代表，共有C73（2）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有C7选出的3人都是男生的情况有C4选出的3人是女生的情况有C3则选出的3人中，男、女生都要有的不同的选法共有C720．已知x2+1(1)求n的值；(2)求展开式中x4【答案】(1)n=5(2)10【分析】（1）（2）由二项式定理求解．【详解】（1）由题意可得，2n=32，解得（2）x