四川省凉山州会东县2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含解析)

2024年四川省凉山州会东县中考数学一诊试卷一、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分1.下列方程中，关于的一元二次方程是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：A．化简后方程的二次项系数是，故此选项不符合题意；B．方程的二次项系数可能为，故此选项不符合题意；C．化简后符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；D．这个方程不是整式方程，故此选项不符合题意．故选：C．2.下列四个几何体中，左视图是矩形的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：A．球的左视图是圆，不符合题意；B．这个三棱柱的左视图是三角形，不符合题意．C．圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；

D．圆柱的左视图是矩形，符合题意；

故选：D．3.下列关于抛物线的判断中，错误的是（）A.形状与抛物线相同 B.对称轴是直线C.当时，y随x的增大而减小 D.当时，答案：C解析：解：，，故A选项正确，对称轴为直线，故B选项正确，当时，y随x的增大而减小，故C选项不正确，令，解得：，∵抛物线开口向下，则当时，，故D选项正确，故选：C．4.如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵这批椽的价钱为6210文，这批椽有x株，∴一株椽的价钱为文，又∵每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴．故选：D．二、填空题：本题共7小题，共30分。5.现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是_____________．答案：解析：解：列表如下：高质量发展高高质高量高发高展质质高质量质发质展量量高量质量发量展发发高发质发量发展展展高展质展量展发共有20种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“发展”的结果数为2，

∴两次摸出的卡片上的汉字组成发展”的概率故答案为：.6.若有意义，则一次函数的图像经过第______象限．答案：一、三、四解析：解：由题意知，，∴，∴的图像经过第一、三、四象限，故答案为：一、三、四．7.如图，过作轴，轴，点都在直线上，若双曲线与总有公共点，则k的取值范围是______．答案：解析：解：作轴，轴，点，都在直线上，、，当反比例函数的图象过点时，把的坐标代入得：；把代入得：，，，反比例函数的图象与有公共点，，解得，时，，在、之间，的范围是，故答案为：．8.如图，直线，与分别相切于点，，为上一点，且，则的度数是______．答案：解析：解：令优弧上任意一点E，连接，，，，∵直线，与分别相切于点，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案：．9.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．答案：解析：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案为-1．10.如图，点F是正方形ABCD内一点，DF＝DC，连接CF并延长交AB边于点E，EGBC交DF于点G，若EG＝3，GF＝1，则正方形ABCD的面积为_________．答案：36解析：过点作交于，交于，交于，则∠GHF=∠DCF，∵，∴∠DCF=∠DFC，∴∠GHF=∠DFC，∴GH=GF=1,又GE=3，∴，设，，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC=DF=3x，∠A=∠B=90°，∵MN∥AB，EG⊥MN，∴∠AMN=∠A=∠B=∠GEB=∠EGN=90°，∴四边形ABNM、BEGN是矩形，∴MN=AB=3x，AM=GE=3,GN=BE=x，∴，，，在中，由勾股定理得：，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：，，∵，∴，∴，∴，故答案为：36．11.如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．

答案：．解析：解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝＝5，∴OM＝＝5，∵OF+MF≥OM，∴OF≥，∴线段OF长的最小值为．故答案为：．三、解答题：本题共9小题，共104分。12.解方程（1）（2）答案：（1），（2），小问1解析：解：∵，，∴，∴，．小问2解析：∵，，，∴或，解得：，．13.在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米，，点、、三点共线，且，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡比为，（1）求坡角的度数；（2）旗杆的高度为多少米？（结果保留根号）答案：（1）；（2）（米）．小问1解析：解：如图，过作于，过作交于，交与，，，，为矩形，的坡比为，，，，；小问2解析：由（1）可知，，在中，，（米），（米），（米），（米），（米），在中，，，（米），（米）．14.爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．比如：，∴当即时，原式；当即时，原式．（1）仿照上面的例子，请你尝试化简．（2）判断甲、乙两人在解决问题：“，求的值”时谁的答案正确，并说明理由．甲的答案：原式；乙的答案：原式．（3）化简并求值：，其中．答案：（1）当时，原式；当时，原式；（2）两个人的答案都不正确，正确结果是：17，理由见解析：；（3），解析：解：（1）∴当即时，原式；当即时，原式，（2）两个人的答案都不正确，正确的解法是：当时，原式；（3），∵，∴，∴，当时，原式．15.第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：（1）参加问卷调查的同学共名，补全条形统计图；（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学概率．答案：（1），图见解析（2）人（3）小问1解析：解：参加问卷调查的同学的人数为（名）．故答案为：60．喜爱柔道的人数为（名）．补全条形统计图如图所示．小问2解析：（人）．∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．小问3解析：画树状图如下：由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．16.如图，在中，，以为直径作，交于，过作，交于．（1）求证：是的切线；（2）连接，如果的半径为，，求的长；（3）在（2）的条件下，求的面积．答案：（1）见解析（2）（3）小问1解析：证明：如图，，，，，，，，，，，，，即，是的切线．小问2解析：解：如图所示，连接，是直径，，即，在中，，，，，，∴．小问3解析：解：由（2）可知，，，，是中点，即是的中线，．17.随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．（1）该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率；（2）该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？答案：（1）（2）应定价为70元小问1解析：设增长率为x，则可列方程为，解得（舍）增长率为小问2解析：设降价a元，则可列方程，化简得，解得，因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元；18.在矩形中，点为射线上一动点，连接．（1）当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．①如图，若，求的度数；②如图，当，且时，求的长．（2）当点在的延长线上时，当，时将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．答案：（1）①；②（2）或小问1解析：解：①∵四边形是矩形，，，，，，，由折叠的性质得：，是等边三角形，，；由折叠的性质得：，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，∽，，即，解得：负值已舍去，即的长为；小问2解析：当点，，三点共线时，分两种情况：、如图四边形是矩形，，，，，，，由折叠的性质得：，，，，≌，，，；、如图，由折叠的性质得：，，，，，，，在中，由勾股定理得：，；综上所述，的长为或．19.如图，为的弦，点C为的中点，的延长线交于点D，连接，过点D作的切线交的延长线于点E.（1）求证：；（2）若的半径为3，，求的长.答案：（1）证明见解析（2）4小问1解析：证明：∵C为弦中点，的延长线交于点D，∴.是的切线，∴.∴.小问2解析：解：在中，，故设，，∵的半径为3，∴，在中，，解得.，∵，，∴.∴，解得.20.如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，顶点为．（1）求抛物线解析式及顶点的坐标；（2）若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；（3）已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．答案：（1），（2）（3）或小问1解析：解：将、代入得：，解得，抛物线的解析式为，，顶点的