第6章 流体流动微分方程

第六章流体流动微分方程流体流动微分方程是一组微分方程，包括连续性方程和运动方程。连续性方程是流动流体质量守恒的数学描述。与第4章中基于控制体建立的质量守恒方积方程相对应，连续性方程是基于流场中的点（微元体）所建立的质量守恒微分方程。运动方程则是流动流体动量守恒的数学描述。与第4章中基于控制体建立的动量守恒方程相对应，运动方程是基于流场中的点（微元体）所建立的动量守恒微分方程，又称为运动微分方程。通过第5章中对典型以为流动问题的分析，已经了解了将动量守恒定理应用于流场微元体从而建立运动微分方程的基本方法和过程。本章将把这一基本方法推广应用于三维情况，建立一般条件下的流体运动微分方程。就其目的而言，积分方程反映流动过程中流体总质量、总动量和总能量的变化，而本章要建立的流动微分方程，目的在于流场分布的详细信息，以揭示宏观流动现象的内在规律。第六章流体流动微分方程６.１连续性方程６.２以应力表示的运动方程６.３粘性流体运动微分方程６.４流体流动微分方程的应用6.1.1直角坐标系中的连续性方程连续性方程反映流动过程遵循质量守恒这一事实。对于流场中的微元体，质量守恒原理可以类似于控制体仿照式（4-9）表述为（6-1）为了获得（6-1）的数学表达式—连续性方程，不妨对图６-１所示的微元体进行分析。该微元体取自流场中的任意点Ａ，微元体在x、y、z方向的边长分别为dx、dy、dz，其六个面两两相互平行且分别垂直于x、y、z。流体在Ａ点的密度为ρ，速度为ν，其x、y、z方向的分量分别为

。一般而言，速度ν和密度ρ均为坐标x、y、z和时间ｔ的函数。已知，流体穿越某一表面时的质量流量等于质量通量与表面积的乘积，而质量通量则为流体密度与流体在该表面上的法向速度的乘积，因此考察微元体上的输入与输出，首先要确定微元面上的法向速度。如图６-１所示,对于在流场中任意点Ａ所取的微元体，因为与Ａ点相邻的三个微元面上的流体或流动参数反映的是Ａ点的参数，所以在这三个微元面上，流体密度均为ρ（Ａ点密度），且每一个面上流体的三个速度分量都为

（Ａ点速度）。其中，对于dydx微元面，因其与ｘ轴垂直，该微元面上的三个速度分量中，

是法向速度，其产生的法向通量为

，而另为两个速度分量

则平行于dydz平面，与质量输出输入无关（故图中dydz微元面上的质量通量

）。同理，在垂直于y、z方向的微元面dxdz和dxdy上，法向速度分别为

，质量通量分别为

，如图6-1所示。按速度与坐标方向一致为正的约定，

、

都是输入通量。于是将这三个通量分别乘以相应的面积dydz、dxdz、dxdy后相加，可得输入微元体的质量流量为相应地，当流体从与Ａ点不相邻的、分别垂直于ｘ、ｙ、ｚ方向的三个微元面上流出时，由于分别经过dx、dy、dz的距离后其输出时的质量通量将发生变化，如图６-１所示所以输出微元体的质量流量为由上述两项可得两一方面，对于图６－１所示的微元体，其瞬间质量为ρdxdydz，所以（６-２）（6-3）连续性方程将式（6-2）和式（6-3）代入微元体质量守恒文字表达式（6-1）可得直角坐标系中的连续性方程为或以矢量简洁表示为（6-4a）（6-4b）其中，

是质量通量的ρν的散度，

是矢量算子。由于导出方程（6-4）的过程中没有对流体和流动状态作任何假设，故该方程对层流和湍流、牛顿流体和非牛顿流体均适用。将方程（6-4a）展开并引用第2章中的随体导数（质点导数）概念，可将连续性方程表示为另一种形式其中，

是速度矢量ν的散度；

是密度ρ随体导数，按第2章中随体导数的定义有或（6-5a）（6-5b）不可压缩流体的连续性方程对于不可压缩流体，因密度ρ=const，所以连续性方程简化为或（6-6a）（6-6b）在物理意义上，速度的散度表示为单位体积的流量在单位时间内的体积增量，通常称为体变形率．对于不可压缩流体，不管其体积形状如何变化，其体积的大小不会变，故体变形率为零，即

。也正是这一特点，对于不可压缩流体，无论是为稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都是一样的。不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而且应用广泛，因为工程实际中除了经常遇到不可压缩流体外，不少可压缩流体的流动亦可常密度流体处理。由连续性方程(6-6)可知，对于不可压缩流体沿ｘ方向的一维流动，，其连续性方程就是。这正是第５章中分析不可压缩流体一维流动时曾经用到的条件。6.1.2柱坐标和球坐标系中的连续性方程在工程实际中，除了直角坐标系外，出于描述的方便还经常采用柱坐标（如圆管流动问题）和球坐标（如球体绕流问题）。在此不加推导地写出这两种坐标系中的连续性方程，以供使用。图6－2对于以ｒ为径向坐标、θ为周向坐标、ｚ为轴向坐标的柱坐标体系见图6－2（a），其连续性方程为（6-7）其中，

分别为r、θ、z坐标方向的速度分量。特别地，对于不可压缩流体，柱坐标系下的连续性方程可简化为（6-8）在球坐标体系中，若以ｒ为径向坐标、θ为周向坐标、ψ为经向坐标，见图6-2（b），则连续性方程为需要指出：任何流体的连续运动，都必须首先满足相应的连续性方程，所以连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。（6-9）其中，

分别为ｒ、θ、φ坐标方向的速度分量。６.２以应力表示的运动方程运动方程是基于流场中的点（微元体）所建立的动量守恒方程，又称为运动微分方程。所谓以应力表示的运动微分方程就是直接根据动量守恒定律得到的含流体应力的微分方程，这就相当于第５章分析一维流动问题时所得到的关于切应力的微分方程。针对微元体应用动量守恒原理时，由于微元体是在确定的空间点来考察流体流动时所取得一个体积为dxdydz的流场空间，具有类似于控制体的性质，因而其动量守恒原理可仿照式（4-10）表述为在三维流动条件下，该方程各项的数学表达式远比一维时复杂，因此将分小节分别讨论。（6-10）６.２.１作用于微元体上的力体积力是由于外力场（如重力场、离心力场、电磁场等）的作用在微元体整个体积上所产生的力又称为彻体力。由于体积力的大小与流体的质量成正比，故又称质量力。如6-3所示，若微元体中单位质量流体的体积力在x、y、z方向的分量分别为

，则按作用区域的不同，作用于微元体上的力分为体积力和表面力两类。（1）体积力特别地，如果流体只受重力场作用（通常情况如此），且重力加速度ｇ的方向与ｚ轴正方向相反，则有

。可以，重力场条件下很容易确定单位体积力或其分量。（2）表面力表面力就是作用于流体表面的力。在此处主要指微元体表面上受到应力。如图（6-3）所示，在微元体任何一个表面上，不管总应力的方向如何，总可以按坐标方向将其分解成一个正应力σ（或称法向应力）和两个切应力τ。对于图6-3中的微元体，在邻近Ａ点并分别垂直于x、y、z方向的三个微元面上，正应力和切应力分别为应力下坐标的意义每个应力都有两个下标，第一个下标表示应力作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方向。例如，表示垂直于ｙ轴的表面上沿ｘ方向作用的切应力，

表示垂直于ｙ轴的表面上沿ｚ方向作用的切应力，

则表示垂直于ｙ轴表面正应力，等等。关于应力的正负，通常规定：若应力所在平面的外法线与坐标轴正向一致，则指向坐标轴正向的应力为正，反之为负；若应力所在平面的外法线与坐标轴正向相反，则指向坐标轴负向的应力为正，反之为负。可以参见图（６-３），其中所示的正应力和切应力均为正方向。对于正向力（法向应力），这种规定与“拉应力为正，压应力为负”的约定是一致的。应力正负的规定应力状态及切应力互等定理上述Ａ点处三个微元面上的９个应力，代表了流场中某一点Ａ的应力状态，也就是说，粘性流场中任意一点的应力有９个分量，包括３个正应力分量和６个切应力分量。可以证明，在６个切应力分量中，互换下标的每一对切应力相等的，即切应力互等定理（6-12）所以，流场中任一点的9个应力分量中，只有6个分量是独立的。微元体表面力的总力分量为简明起见，从ｙ方向视图来观察微元体个表面上ｘ和ｚ方向的应力分量，如图６－４所示。若以Ａ点相邻表面上的应力为基准，则与Ａ点不相邻的表面上的应力将产生一个随距离变化的增量。例如在Ａ处且垂直于ｚ方向的微元面上的正应力为

，则在距离dz的平行面上的正应力就为

。由此并根据上述关于应力下标和方向的规定，不难标出微元体个表面上ｘ和ｚ方向的正应力和切应力，如图６-４所示。

于是，将各表面上ｘ方向的应力与相应的微元面积的dydz、dxdz或dxdy相乘，然后将ｘ轴正方向的各表面力与ｘ轴负方向的各表面力相减可得６.２.２动量流量及动量变化率动量通量与动量流量

已知，动量流量＝质量流量×流体速度；类似地则有，动量通量＝质量通量×流体速度。动量通量表示单位时间、单位面积输入输出的动量，单位为

。在确定了动量通量以后，就可将其与流通面积相乘得到动量流量，即“动量流量＝动量通量×流通面积”，这与“质量流量＝质量通量×流通面积”是类似的。例如，在图６-５所示的微元体dxdz面上时，就会同时带入x、y、z方向的动量，且根据上述动量通量的定义x、y、z方向动量在该微元面上的输入通量就分别为

、

,而x、y、z方向动量在该微元面上的输入流量则分别为输入输出微元体的动量流量现以图６-５所示的微元体为对象，考察流体ｘ方向动量在微元体表面的输入输出。由图６-１已知，在Ａ点处且分别垂直于ｘ、ｙ、ｚ方向的三个微元面上，流体进入微元体时的质量通量分别为。由于这三个微元面上都有x方向的分速度

，所以，根据，“动量通量=质量通量×流体速度”的定义，流体x方向动量在这三个微元面上的输入通量就分别为

（注：图6-5中标注的是动量输入或输出方向，而动量或其通量本身的方向均指向ｘ方向，即分速度

的方向）。将这三个动量通量乘以相应的面积后相加，可得微元体上ｘ方向动量的输入流量为相应的，当流体从与Ａ点不相邻的三个微元面上流出时，考虑到动量通量的变化，（如图６-５所示），可得微元体上ｘ方向动量的输出流量为于是，有上述ｘ方向动量的输出流量与输入流量相减得到（6-14a）同理，分别考察y方向和z方向的动量在微元体表面上的输出与输入可得（6-14b）（6-14c）微元体内的动量变化率在图６-5所示的微元体内，流体的瞬时质量为ρdxdydz，所以微元体内流体在x、y、z方向的瞬时动量分别为

，于是有６.２.３以应力表示的运动方程前面已经导出微元体动量守恒式（6-10）中各项文字的数学表达式。由于动量守恒式对各坐标方向均成立，将分方向把有关各项的数学表达式代入式（6-10），从而建立ｘ、ｙ、ｚ方向的运动方程。首先，将ｘ方向的体积力[式（6-11a）]、表面力[式（6-13a）]、动量流量[式（6-14a）]、动量变化率[式（6-15a）]代入微元体动量守恒表达式（6-10），可得x方向运动方程的初步形式为（6-16）方程（6-16）左边展开后可表达为根据6.1节的连续性方程（6-4）可知所以x方向的运动方程简化为（6-17a）同理可得y、z方向的运动方程分别为（6-17b）（6-17c）

式（6-17）就是以应力表示的粘性流体的运动方程。无论是牛顿流体还是非牛顿流体、是层流流体还是湍流流体，该方程均适用。方程的物理意义以方程（6-17a）为例，由第2章可知，方程左边的括号项是分速度νx的随体导数

，即任意时刻考察Ａ点的流体质点的加速度分量

；由式（6-11）和式（6-13）可知，方程右边分别表示作用与单位流体体积上的表面力和体积力的ｘ分量，其合力作Ｆx表示。很明显，该方程可以简略地表示为：

，这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二定律

在ｘ方向的分量式。相应的，ｙ和ｚ方向的运动方程表示的就是牛顿第二定律在ｙ和ｚ方向上的分量式。值得指出的是，在方程组（6-17）中，即使将密度ρ和体积力ｆ看成是已知的，方程中仍然有９个未知量：３个速度分量和６个独立的应力分量，但该方程组加上连续性方程只有４个方程，所以方程组是不封闭的。因此，要求解这个方程组，尚需要能将未知量关联起来的补充方程。６.３粘性流体运动微分方程以应力表示的运动方程需要补充方程才能求解，与第５章分析一维流动问题时需要引入补充方程才能由切应力方程得到速度微分方程有些相似。在一维流动分析中，所引入的补充方程是牛顿剪切定律。在本章中也类似，所要引入的是广义的牛顿剪切定律——牛顿流体本构方程。本节的目的就是引入牛顿流体本构方程，将应力从运动方程（6-17）中消去，得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程——耐维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。６.３.１牛顿流体的本构方程（1）基本假设对于以应力表示的运动方程，要建立补充方程首先应该寻求运动方程中的未知量即流体应力与速度变化之间的内在联系。流体之所以流动是因为受到剪切应力的作用，同时，由于粘性的存在，流体对剪切应力要产生抵抗，这中抵抗以应力的形式表现出来，这与固体受到应力时要产生的应力是类似的。但与固体应力不一样的是，流体的应力不是与应变的大小而是与应变的速率（即单位间内的应变）直接相关的。

流体力学中，称单位时间的应变为变形速率，包括形变速率如

、角变形率如

和体变形率

等（见第7章）。因此，建立补充方程的关键归结为寻求一般情况下流体应力与变形速率之间的关系。为了找到这种关系，斯托克斯（Stokes）提出了三种假设。①应力与变形速率呈线性关系。该假设得到牛顿剪切定律的启示，既然以为流动中

与变形速率

呈线性关系，于是可设想一般情况下也有这样的关系。②应力与变形速率的关系各向同性。该假设认为，既然常见流体的物理性质都是各向同性的，于是可以设想应力与变形速率的关系也具有各向同性的性质。③静止流场中，切应力为零，各正向应力均等于静压力，即σxx│v=0＝σyy│v=0＝σzz│v=0＝-ｐ。该假设是根据静止流体不能承受切应力，而流动流体又不能承受拉应力而做出的。（2）牛顿流体的本构方程在上述假设条件下，既可推导出一般情况下流体应力与变形速率之间的关系。在此略过复杂的推导过程，直接给出这一关系——牛顿流体的本构方程（3）本构方程的讨论牛顿流体的本构方程除了在其建立流动微分方程中所具有的重要价值外、对本构方程本身的解析亦可增进对流动过程中流体变形速率、应力、压力等有关概念的理解。正应力与线变形率有本构方程可见，流体正应力与三个速度偏导数有关，即

，他们分别是x、y、z方向的速度沿自身方向的变化率，其意义是单位时间内流体在x、y、z方向的线应变，称为线变形率；这三个线变形率之和即速度散度则表示单位时间内流体的体积应变，称为体变形率。流体正应力与线变形率相关这一性质，与虎克定律中固体正应力与其线应变相关是类似的。线变形率与流体流动很显然，从流体流动的角度看，线变形率

的正负反映了流体沿ｘ方向的流动是加速还是减速，若

则意味着流体在ｘ方向做等速流动或没有流动，对于道理也一样；而体变形率

的正负则反映了流动过程中流体体积是增加还是减少，若

则意味着流动过程中流体体积不变，不可压缩流体的流动就属这种情况。正应力中的粘性应力有本构方程可见，流体正应力可视为由两部分构成：一部分是流体压力ｐ，另一部分则是流体变形速率所产生的附加粘性正应力。以

为例，如果用表示其附加粘性正应力。

可表示为其中为了说明附加粘性正应力的产生和意义，不妨考察流体只沿ｘ方向流动的情况。此时，，所以由此可见，附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。加速时

，所以

；减速时，

，所以

。物理意义上，因为加速度同方向一前一后两流体质点将处于分离趋势，流体线的变形为拉伸变形，故由此产生的附加粘性正应力为拉应力；反之，减速时同方向一前一后两流体质点将处于挤压趋势，流体线的变形为压缩变形，故由此产生的附加粘性正应力为压应力。特别地，如果该流动是等速的，即

则必然有(注：在4.5节中所说的流体克服粘性力做功的功率，指的就是流体克服控制面上附加粘性正应力和切应力τ做功的功率。其中谈到在等速流动中的管道截面上不存在表面粘性力的做功问题，正是基于等速流动时)。

正应力与压力由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。比如，对于附加粘性正应力，则相应有

。但是，如果将本构方程（6-18）中的三个关系式相加则可得到这说明，虽然流动流体的三个正应力在数值上一般不等于压力值，但它们的平均值却总是与压力大小相等的。特别的，对于不可压缩流体的一维流动，设流动沿x方向，则因为

，且根据连续性方程又有

，所以有（6-19）这说明不可压缩流体做一维流动时，正应力与压力的关系与流体静止情况相同，即流体中三个方向正应力的大小都分别与压力相等。这正是第5章分析一维流动时在微元体表面上直接标出压力ｐ作为法向表面力的原因。（6-20）切应力与角变形率在切应力关系中，也有三个变形速率，将它们分别除以２可得这个变形速率分别是流体在x-y、y-z、z-x平面内的角变形率，即单位时间内两流体线夹角的相对变化率（见第7章）。可见切应力是与其角应变相关是类似的。特别的，对于x-y平面内沿ｘ方向的一维不可压缩稳态流动，因

，所以

仅为ｙ的函数，于是本构方程的切应力关系式简化为：

，即牛顿剪切公式。牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，这与固体力学中反映应力与应变关系的虎克定律是对应的，故牛顿流体本构方程可看成是流体力学中的虎克定律。６.３.２流体运动微分方程

——Navier-Stokes方程将上述流体应力与变形速率之间的关系——牛顿流体本构方程（6-18）代入以应力表示的运动方程（6-17），即可得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程——耐维-斯托克斯方程（Navier-Stokesequations，简称N-S方程）↓

N-S方程是现代流体力学的主干方程，几乎所有有关粘性流体流动问题的分析研究工作都是以该方程为基础的。

N-S方程对流体的密度、粘度、可压缩性未作限制。但由于引入了牛顿流体的本构方程，故该方程只适用于牛顿流体，对于非牛顿流体，可以采用以应力表示的运动方程。特别的，如果在N-S方程中令μ=0，即可得到理想流体的运动方程——欧拉方程。如果在N-S方程中所有速度项为零，即得到流体静力学方程。为了应用上的方便，在此给出常见条件下N-S方程的表达式。(1)常粘度下的N-S方程对于等温或温度变化较小的流动，可将粘度视为常数，即μ=const,相应的N-S方程为或写成矢量形式为(2)不可压缩流体的N-S方程其中，

，为运动粘度；

称为拉普拉斯算子。对于不可压缩流体ρ=const，且如果认为流动等温或温度变化较小，将粘度时为常数，则相应的N-S方程为（6-23）或简写成矢量形式为（6-25）由于通常遇到的流动问题按不可压缩和常粘度问题处理，所以为使用方便，特在此将常粘度条件下不可压缩流体的N-S方程写为展开形式（6-26）该方程的矢量形式以及方程各项的意义如下（6-27）非定常项定常流动为0静止流场为0

对流项静止流场为0蠕变流时≈0单位质量流体的体积力单位质量流体的压力差扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为0高速非边界层问题≈0６.３.３柱坐标和球坐标系中的Ｎ-Ｓ方程

在工程实际中，有时采用柱坐标和球坐标描述问题比采用直角坐标更为方便，比如，对于常见的圆管内的流动，最适用的显然是柱坐标系统。为此，将不加推导地写出这两种坐标系下常密度和常粘度流体的运动微分方程和牛顿流体本构方程。（1）柱坐标系中的Ｎ-Ｓ方程和牛顿流体本构方程

Ｎ-Ｓ方程对于以r为径向坐标、θ为周向坐标、z为轴向坐标的柱坐标体系[见图6-2(a)]，其粘性流体运动微分方程在r、θ、z方向的分量式为（ρ=const，μ=const）（6-33）θ方向r方向z方向其中，

分别为r、θ、z坐标方向的速度分量。此外，r方向分量式中的和θ方向分量式中的分别是单位质量的流体受到的离心力和哥氏力（Corilisforce）。这两个力是由直角坐标系转换到柱坐标时自动产生的，在分析流体所受的体积力时不要再人为地加上该力。牛顿流体本构方程本构方程用于流体应力的分析与计算（6-34）其中：（2）球坐标系中的Ｎ-Ｓ方程和牛顿流体本构方程

Ｎ-Ｓ方程在球坐标体系中，若以r为径向坐标、θ为周向坐标、φ为经向坐标[见图6-2（b）]，则运动微分方程在r、θ、φ方向的分量式为（ρ=const，μ=const）r方向θ方向z方向（6-35）其中，

分别为r、θ、φ坐标方向的速度分量；算子为牛顿流体本构方程本构方程用于流体应力的分析与计算（6-36）６.４流体流动微分方程的应用６.４.１Ｎ－Ｓ方程应用概述有连续性方程和Ｎ-Ｓ方程构成的微分方程组是粘性流体流动遵守质量守恒和动量守恒原理的数学表达式，具有较普遍的适应性。静力学方程和理想流体的运动方程仅是其特例。封闭性Ｎ-Ｓ方程与连续性方程构成的微分方程组共有四个方程，涉及4个流动参数即

和压力ｐ，所以方程组是封闭的，理论上是可以求解的。但要考虑流体参数ρ和μ变化的情况，应将有关物性变化的关系作为补充方程。比如对于理想气体的流动，气体状态方程即为补充方程。应用条件Ｎ-Ｓ方程由于引入了牛顿流体本构方程，故只适用于牛顿流体。对于非牛顿流体，可采用以应力表示的运动方程。又由于本构方程是以层流条件为背景的，所以原则上Ｎ-Ｓ方程只适用于层流流动。对于湍流流动，一般认为非稳态的Ｎ-Ｓ方程对湍流的瞬时运动仍然是适用的，但湍流的瞬时运动具有高度的随机性，要追踪这种随机运动是十分困难的。因此通常将湍流流场中的流动参数φ分解成随机运动时均值φ和随机脉动值

，即

，但

的引入又导致运动方程不封闭，从而使得人们力图通过各种推理和假设寻求φ和φ＇的关系，以建立使方程封闭的补充方程，即湍流模型问题（见第９章）。方程的求解

虽然Ｎ-Ｓ方程对于层流流动是封闭的，但目前为止还没有人得到一般形式的Ｎ-Ｓ方程的普遍解。不过，对于工程实际问题由于总有特殊性使方程得到简化，从而有可能获得准确或近似的分析解。因此，流动微分方程的应用求解，关键是根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组，并同时提出相关的初始条件和边界条件。初始条件是非稳态问题所要求的，因为与时间相关的问题必须以某一时刻的流动条件（即初始条件）为参照；而对于边界条件，其基本处理类型及处理方法已在5.1节中讨论过，此处不再赘述。至于简化后得到的运动方程，有的可能求不出解析解，或许只能得到近似解或通过数值计算方法获得离散解（见第12章）。下面将举例说明流动微分方程的应用求解过程。例6-1

圆管内的一维稳态流动分析不可压缩流体在水平圆管内做一维稳态层流流动。试写出该条件下的连续性方程和运动微分方程，并证明管道截面上任意一点的总势能[p/ρ+g（rsinθ）]和轴向压力梯度

为常数。如图6-6所示，由于只受到重力场的作用，所以管道截面上任意一点处r、θ、z方向单位质量流体的体积力为

解参照图6-6的柱坐标体系，根据不可压缩流体一维稳态层流的条件及圆管的对称性有将上述条件代入柱坐标系的连续性方程（6-8）和运动微分方程（6-33）可得首先，有r和θ方向的运动方程可知，p*只能是z的函数，所以在轴向位置确定的管道截面上必然有(其中，

)其中，g（rsinθ）是以管道中心线水平面为参照、相对高度为（rsinθ）的单位体积流量的重力位能。该式表明，虽然管道截面上各点的压力ｐ是变化的，但各点的总势能［p/ρ+g（rsinθ）］是相等的。在第四章讨论粘性不可压缩流体稳态流动的伯努利方程时，就曾经不加证明地引用了这一结论。其次，由于p*仅是z的函数，而由连续性方程和圆管对称条件（即

）又知速度

仅是r的函数，所以由微分方程理论，z方向运动方程两边必然为常数，即这就是第5章中分析一维不可压缩稳态层流问题时取流动方向压力梯度为常数的原由。此外，由连续性方程可知，管道各截面各点的流速在z方向都是不变的，这说明一维不可压缩稳态层流流动必然是充分发展的。而且，本题条件下，由连续性方程和牛顿本构方程还可得到，即一维不可压缩稳态层流流动中各点的正应力值大小与压力相等。因此取微元体分析一维不可压缩稳态层流问题时，微元面上的法向力可直接以压力标注，第五章中也正是这样做的。最后，关于ｚ方向运动方程的积分以及速度和切应力的分布结果，5.3.1节已讨论过，这里不再赘述。例6-2

相互转动的同心圆筒间的切向流动分析两同心圆筒如图6-7所示，圆筒轴向长度为Ｌ，外筒半径为Ｒ，以角速度ω转动；内筒半径为kＲ,k<1;不可压缩流体在外筒带动下稳态流动，这种运动形式常见于滚动轴承等结构。由于间隙较小，且流体黏度较高，故可将流动视为沿切向的一维层流流动。设重力影响和端部效应可以忽略，试确定管壁间流体的速度分布、切应力的分布和转动外筒所需的力矩。解参照图6-7的柱坐标系，根据不可压缩流体一维稳态层流的条件及流动与z无关的特点有将上述条件代入柱坐标系的连续性方程（6-8）和运动微分方程（6-33）可得由连续性方程和流动与z无关的条件可知，速度仅是r的函数。于是积分θ方向的运动方程并由边界条件

可得速度分布为根据速度分布及柱坐标下的牛顿本构方程（6-34）得切应力分布为于是得到流体受到的力矩即转动外筒所需的力矩为此外，本题条件下，由于压力也只是ｒ的函数，所以积分ｒ方向的运动方程可得到压力的径向分布为其中，是r=R处的压力。讨论：在这种内筒固定外筒转动的系统中，因为单位体积流体受到的离心力指向外壁方向，而压力的推动力却是指向内壁（因为p沿r的方向增加），所以流体质点内层运动要受到离心力的阻抗，向外层有要受到压力差的阻抗，从而使得流体的切向运动非常稳定。在这种条件下，流动由层流过渡到湍流的雷诺数与ｋ值有关，但不是单调关系，比如从k=0.98降低到0.95时，雷诺数Re将从大于100000降低到50000；但当k=0.95降到0.9时，过渡雷诺数Re又将增大到70000。对于另一种情况，即内筒转动外筒固定的情况，由于离心力与压力推动力均指向外壁，两种因素都促进流体向外层运动，所以使得流体沿切向的层流流动难以保持稳定。在这种情况下，流动由层流过渡到湍流的雷诺数。由此可得k=0.98、0.95、0.9时，过渡雷诺数Re分别为14600、3694、1306。可见，远低于内筒固定外筒转动系统的过渡雷诺数。例6-3

突然启动平板引起的流动问题一无限大的平板沉浸在年度为μ、密度为ρ的静止流体中，如图6-8所示。在t=0时刻，平板突然开始以恒定速度Ｕ沿ｘ方向运动，从而带动流体沿ｘ方向作一维非稳态流动。流动限于x-