第十二章 微专题91　电磁感应中的能量问题-2025年高中物理《加练半小时》新教材版

第十二章电磁感应微专题91电磁感应中的能量问题1．若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算。2.若电流变化，则可利用克服安培力做功求解，即电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功，或利用能量守恒求解。1.(多选)(2023·北京市模拟)一个半径为r、质量为m、电阻为R的金属圆环，用一根长为L的绝缘轻细杆悬挂于O点，在O的正下方有一半径为L＋2r、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，其圆心O2与O在同一竖直线上，若金属环的圆心为O1，如图所示。现使绝缘轻细杆由水平位置由静止释放，下摆中金属环所在平面始终垂直磁场，已知重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是()A．金属环最终可能静止在O1点的正下方B．金属环在进入磁场时所受安培力的方向沿O2O1连线方向C．金属环在整个过程中产生的焦耳热是eq\f(1,2)mg(L＋2r)D．金属环在第一次进入磁场过程中通过金属环某一横截面的电荷量为eq\f(πBr2,R)答案BCD解析金属环进入磁场与出磁场过程中，穿过环的磁通量发生变化，有感应电流，则进入磁场与出磁场过程均有一部分机械能转化为焦耳热，因此，金属环每次摆动的最高点位置不断降低，直到金属环与磁场圆内切时速度为0之后，在摆动过程中，穿过金属环的磁通量不再改变，环中不再产生感应电流，金属环之后在左右与磁场圆内切的位置往返摆动，可知金属环最终不可能静止在O1点的正下方，A错误；金属环在进入磁场时，产生感应电流，受到安培力F＝BIL，金属圆环与磁场圆的两交点连线为两个圆的一条公共弦，该条弦的长度为金属环在进入磁场时所受安培力中的等效长度L，根据左手定则可知，安培力垂直于该公共弦，根据楞次定律，该安培力为阻力，即金属环在进入磁场时所受安培力的方向沿O2O1连线方向，B正确；根据上述可知，金属环最终与磁场圆内切时速度为0，作出示意图如图所示根据几何关系，金属环与磁场圆内切点在A、C位置时，其圆心与O、O2的距离均为L＋r，则此时金属环圆心到O的高度为h＝eq\f(1,2)(L＋2r)，则有Q＝mgh＝eq\f(1,2)mg(L＋2r)，C正确；金属环第一次进入磁场过程中磁通量的变化量为ΔΦ＝Bπr2－0＝Bπr2，感应电动势的平均值eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)，感应电流的平均值eq\x\to(I)＝eq\f(\x\to(E),R)＝eq\f(q,Δt)，解得q＝eq\f(πBr2,R)，D正确。2．(2023·福建泉州市五中检测)如图甲所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒垂直置于导轨上a、b两点间，在a点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面、宽度为d0，磁感应强度大小为B，设磁场左边界到ab距离为d。现用一个水平向右的力F拉导体棒，使它从a、b处由静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，棒ab与导轨始终垂直且保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F的变化情况如图乙所示，F0已知。求：(1)导体棒离开磁场右边界时的速度大小v；(2)导体棒通过磁场区域的过程中电阻R产生的焦耳热Q；(3)d满足什么条件时，导体棒进入磁场后一直做匀速运动。答案(1)eq\f(2F0R＋r,B2l2)(2)eq\f(R,R＋r)[F0(d＋2d0)－eq\f(2mF02R＋r2,B4l4)](3)eq\f(2mF0R＋r2,B4l4)解析(1)设导体棒离开磁场右边界时的速度大小为v，产生的感应电动势为E＝Blv感应电流为I＝eq\f(E,R＋r)根据平衡条件得2F0＝BIl联立解得v＝eq\f(2F0R＋r,B2l2)(2)全程根据动能定理得F0d＋2F0d0－W克安＝eq\f(1,2)mv2－0根据功能关系得Q＝W克安又有QR＝eq\f(R,R＋r)Q联立解得QR＝eq\f(R,R＋r)[F0(d＋2d0)－eq\f(2mF02R＋r2,B4l4)](3)若导体棒在磁场中一直做匀速运动，则其进入磁场时的速度大小为v，根据动能定理得F0d＝eq\f(1,2)mv2解得d＝eq\f(2mF0R＋r2,B4l4)。3.(2023·河南省八市调研)质量为m的均匀导线首尾相接制成边长为L的单匝正方形闭合导线框abcd，总电阻为R。将其置于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的水平匀强磁场上方，磁场的上边界OO′水平，导线框最低点c到OO′的高度为h，如图所示。将导线框由静止释放，当导线框一半面积进入磁场时，恰好处于平衡状态，导线框平面保持在竖直平面内，且b、d两点的连线始终水平，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：(1)导线框一半面积进入磁场时，导线框的速度大小v；(2)导线框从静止下落到一半面积进入磁场的过程中，导线框产生的热量Q；(3)导线框从静止下落到完全进入磁场的过程中，通过导线框某一横截面的电荷量q。答案(1)eq\f(mgR,2B2L2)(2)mg(eq\f(\r(2),2)L＋h)－eq\f(m3g2R2,8B4L4)(3)eq\f(BL2,R)解析(1)导线框一半面积进入磁场时，根据平衡条件有mg＝eq\r(2)BIL根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为E＝eq\r(2)BLv根据闭合电路的欧姆定律有I＝eq\f(\r(2)BLv,R)联立解得v＝eq\f(mgR,2B2L2)(2)导线框从静止下落到一半面积进入磁场的过程中，根据能量守恒定律有mg(eq\f(\r(2),2)L＋h)＝eq\f(1,2)mv2＋Q解得Q＝mg(eq\f(\r(2),2)L＋h)－eq\f(m3g2R2,8B4L4)(3)平均感应电动势eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)根据闭合电路欧姆定律有eq\x\to(I)＝eq\f(\x\to(E),R)通过导线框某一横截面的电荷量q＝eq\x\to(I)Δt联立解得q＝eq\f(BL2,R)。4．(2023·天津市模拟)如图甲所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40Ω的电阻，质量为m＝0.01kg、电阻为r＝0.30Ω的金属棒ab紧贴在导轨上。现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系图像如图乙所示，图像中的OA段为曲线，AB段为直线，g取10m/s2。(1)判断金属棒两端a、b的电势高低；(2)求磁感应强度B的大小；(3)求在金属棒ab开始运动的1.5s内，电阻R上产生的热量。答案(1)b端电势高于a端电势(2)0.1T(3)0.26J解析(1)由右手定则可知，ab中的感应电流由a流向b，ab相当于电源，则b端电势高于a端电势。(2)由x－t图像求得t＝1.5s时金属棒的速度v＝eq\f(Δx,Δt)＝eq\f(11.2－7.0,2.1－1.5)m/s＝7m/s金属棒匀速运动时所受的安培力大小为F＝BIL，I＝eq\f(E,R＋r)，E＝BLv联立得F＝eq\f(B2L2v,R＋r)根据平衡条件得F＝mg则有mg＝eq\f(B2L2v,R＋r)代入数据解得B＝0.1T。(3)金属棒ab在开始运动的1.5s内，金属棒的重力势能减少量转化为金属棒的动能和电路的内能。设电路中产生的总焦耳热为Q，根据能量守恒定律得mgx＝eq\f(1,2)mv2＋Q代入数据解得Q＝0.455J，故R产生的热量为QR＝eq\f(R,R＋r)Q＝0.26J。5.(2023·江西九江市模拟)如图，两根电阻不计、互相平行的光滑金属导轨竖直放置，相距L＝1m。在水平虚线间有与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T，磁场区域的高度d＝1m,导体棒a的电阻Ra＝1Ω，导体棒b的质量m＝0.05kg、电阻Rb＝1.5Ω，它们分别从图示M、N处同时由静止释放，开始在导轨上向下滑动，b匀速穿过磁场区域，且当b刚穿出磁场时a刚好进入磁场并将匀速穿过磁场，取g＝10m/s2，不计a、b棒之间的相互作用，不计空气阻力，导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好，求：(1)b棒匀速穿过磁场区域的速度大小；(2)a棒刚进入磁场时两端的电压；(3)从静止释放到a棒刚好出磁场过程中a棒产生的焦耳热。答案(1)5m/s(2)2.1V(3)0.48J解析(1)b棒穿过磁场做匀速运动，安培力等于重力，则有BI1L＝mg根据闭合电路欧姆定律有I1＝eq\f(E1,Ra＋Rb)＝eq\f(BLvb,Ra＋Rb)解得vb＝5m/s(2)设b棒在磁场中匀速运动的时间为t1，则有d＝vbt1，解得t1＝0.2sa、b都在磁场外运动时，速度总是相同的，b棒进入磁场后，a棒继续加速t1时间后进入磁场，a棒进入磁场的速度大小为va＝vb＋gt1＝7m/s产生的感应电动势为E2＝BLva＝3.5Va棒两端的电势差即为路端电