2.1不等式的性质与证明市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

第2章不等式2.1不等式性质与证实2.2不等式解法2.3不等式应用1/702.1不等式性质与证实本节要点2.1.1不等式与实数大小不等式性质2.1.2不等式证实2.1.3不等式性质与证实习题课2.1.42/70依据我们之前学习数学经验，研究多数是相等关系，不过在实际生活中，我们会发觉，相等关系是极少数，而不等关系则很普遍，能举出生活中不等关系例子吗？揭示新知识2.1.1不等式与实数大小

比如说“世界上没有两片相同树叶”，“我们人脸、手、大脑、内脏等也是左右不完全对称”．

这就是我们即将要学习2.1不等式．3/70观察与思索1．提出问题2.1.1不等式与实数大小2．处理问题

尝试回想怎样比较以下各组数大小：（1）和；

（2）和

经过利用观察两个数差符号，来比较它们大小.因为

，

，所以得到结论：,.4/70新知识学习1．不等式概念2．比较实数大小数轴上任意两点，右边点对应实数比左边点对应实数大．2.1.1不等式与实数大小（1）利用数轴5/70新知识学习图2－12.1.1不等式与实数大小6/70新知识学习（2）比较法；（图2－2（2））；（图2－2（3））；（图2－2（1））图2－2对任意两个实数和，它们含有以下基本性质：2.1.1不等式与实数大小7/70新知识应用解：（1）因为例题1

比较以下各组中两个实数大小：（1）

（2）

所以（2）因为所以2.1.1不等式与实数大小8/70解：（1）因为

所以（2）因为

所以跟踪练习1

比较以下各组中两个实数大小：

（1）

（2）新知识应用2.1.1不等式与实数大小9/70新知识应用解：（1）因为例题2

比较以下各组中代数式大小：（1）（2）所以对任意实数，有2.1.1不等式与实数大小10/70新知识应用解：（2）因为所以对任意实数，有2.1.1不等式与实数大小（2）11/70新知识应用解：（1）因为所以对任意实数，有跟踪练习2

比较以下各组中两个代数式大小：（1）（2）2.1.1不等式与实数大小12/70新知识应用解：（2）因为所以对任意实数，有2.1.1不等式与实数大小（2）13/70课外作业（1）读书部分：复习教材中§2.1.1内容；

（2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第21页中强化练习1－3

.2.1.1不等式与实数大小14/70揭示新知识2.1.2不等式性质

上节课我们讲了比较两个不等式能够用作差方法，那不等式含有什么性质呢？

这就是我们即将要研究2.1.2不等式性质．15/70观察与思索假如甲学生年纪比乙学生年纪大，乙学生年纪比丙学生年纪大，那么甲学生与丙学生年纪谁大？我们很轻易就得知甲学生年纪比丙学生年纪．这个不等关系能够传递，不等式还有其它性质吗？1．提出问题2．处理问题2.1.2不等式性质3．归纳小结

这个不等关系能够传递，不等式还有其它性质吗？这就是我们即将研究不等式性质．16/70新知识学习1．不等式性质2.1.2不等式性质

性质1(传递性)假如

，那么

.证实：因为

,又，即,所以,

所以,

即.

17/70新知识学习

性质2(加法法则)假如，那么

.证实：因为

,又,即,所以.

说明：（1）

不等式两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号方向不变．

（2）

性质1、性质2中大于号改为小于号，性质依旧成立．2.1.2不等式性质18/70新知识学习比如：（1）假如

，则.

（2）假如

，则.

性质3（乘法法则）假如

，那么

;

假如

，那么

.证实：因为

,又,即,所以当时，，即；当时，，即.

2.1.2不等式性质19/70新知识学习说明：假如不等式两边同乘以一个正数，那么不等号方向不变；假如同乘以一个负数，那么不等号方向改变．

比如：（1）假如

，则.

（2）假如

，则；假如

，则

.

2.1.2不等式性质20/70新知识学习2．不等式推论

推论1

假如，那么

.

比如：假如

，则.

比如：假如

，则

.

推论2

假如，且，那么

.

比如：假如

，则

.

推论3

假如

，且

，那么

.2.1.2不等式性质21/70新知识应用例题3判断题（正确打“√”，错误打“×”）

（1）若

，则();

（2）若

，则();

（3）若

，则

();

●（4）若

，则(). 2.1.2不等式性质22/70新知识应用分析：（1）×；（依据不等式推论3）

●（4）√；由可得

（不等式性质

3），因为

，所以，即

（推论2）.（2）×；（依据不等式性质

3）

（3）×；（依据实数运算符号法则

）

2.1.2不等式性质23/70新知识应用跟踪练习3判断题（正确打“√”，错误打“×”）

（1）若

，则();

（2）若

，则();

（3）若

，则(). 分析：（1）×；（依据不等式性质

3）

（2）√；（依据不等式性质

3）

（3）×；（例题3（4））

2.1.2不等式性质24/70新知识应用例题4用不等号“<”、“>”填空：

（1）假如

，那么_______;

（2）假如

，则_______;

分析：填>，

依据不等式性质3，若

且

，则

；分析：

填>，依据不等式性质3，因为

，所以

，

又因为，所以；2.1.2不等式性质25/70新知识应用

●分析：填>，因为

，所以

．由性质3，得，即.

●（3）若

，那么_______. 2.1.2不等式性质26/70新知识应用跟踪练习4用不等号“<”或“>”填空：

（1）设

，则_______;

（2）设

，那么_______

;

分析：<，依据不等式性质3，若

且

，则

；

分析：>，因为

，所以

，所以；2.1.2不等式性质27/70新知识应用

●分析：>，因为

，所以

，依据不等式性质3得

.●（3）设

，则

_______

. 2.1.2不等式性质28/70新知识应用例题5选择题（1）已知

，那么（）;

A.

B.C.

D.

分析：选B

.

依据不等式性质1和性质2．

（2）若

，则必有（）;

A． B． C． D．

分析：选D

.

依据不等式推论1．

2.1.2不等式性质29/70新知识应用

●（3）假如

，那么（）.A.B.C.D. 2.1.2不等式性质

分析：选A

.因为，依据不等式性质3和可得．

30/70新知识应用跟踪练习5选择题（1）已知

，那么（）;

A.B.C.D.

2.1.2不等式性质（2）若

，则必有（）;

A.B.C.D.

分析：（1）选B

.

依据不等式性质3．

分析：（2）选C

.

依据不等式性质3和推论3．

31/70新知识应用2.1.2不等式性质●（3）假如

,那么（）.A.B.C.D.

分析：（3）选B

.

依据不等式性质1和性质3．

32/70课外作业（1）读书部分：复习教材中§2.1.2内容；

（2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第22页中强化练习1－3

.2.1.2不等式性质33/70揭示新知识2.1.3不等式证实

上节课我们讲了不等式性质，请尝试回想．

性质1(传递性)假如

，那么

.

性质2(加法法则)假如，那么

.

性质3（乘法法则）假如

，那么

;

假如

，那么

.34/70

推论1

假如，那么

.

推论2

假如，且，那么

.

推论3

假如

，且

，那么

.揭示新知识2.1.3不等式证实35/70观察与思索

试比较以下各组数大小：（1）；（2）；（3）.

我们依据本章第一节知识点，知道比较两个实数大小用作差法就能够，2.1.3不等式证实1．提出问题2．处理问题36/70观察与思索

经过观察和计算，这三组比较大小数都是左边要大于右边，而且左边是这两个数平均数，右边是这两个数乘积算术平方根．2.1.3不等式证实3．归纳小结37/70新知识学习1．均值定理2.1.3不等式证实（1）算术平均数和几何平均数38/70新知识学习（2）均值定理假如，那么.

当且仅当时，等号成立.●证实：因为

,且上式当且仅当，即时，等号成立.所以.

2.1.3不等式证实39/70新知识学习（3）均值定理其它形式

比如：观察与思索（2）和（3）中

，

．

,当且仅当时取等号；

,当且仅当时取等号；2.1.3不等式证实40/70新知识学习2．不等式证实方法（1）性质应使用方法

应用不等式性质证实不等式方法．2.1.3不等式证实41/70新知识学习2.1.3不等式证实42/70新知识学习（3）综正当

从已知条件和常见不等式出发，综合利用不等式性质与定理，推导出待证不等式正确性证实不等式方法．2.1.3不等式证实43/70新知识应用例题6已知

，求最大值.解：因为

，由均值定理，得，即，两边平方得，

所以最大值为.2.1.3不等式证实44/70新知识应用跟踪练习6已知

，求

最小值.解：因为

，由均值定理，得，即

，

所以最小值为.2.1.3不等式证实45/70新知识应用例题7

求证：（1）； ●（2）.

证实：（1）因为所以.2.1.3不等式证实46/70新知识应用●（2）因为所以.当且仅当,即

时，取等号.2.1.3不等式证实47/70新知识应用跟踪练习7

求证：（1）；●（2）.

证实：（1）因为所以.2.1.3不等式证实48/70新知识应用因为

,

●（2）因为,所以．所以.当且仅当，即

时，取等号.2.1.3不等式证实49/70课外作业（1）读书部分：复习教材中§2.1.3内容；

（2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第24页中强化练习1−6

.2.1.3不等式证实50/70知识回顾2.1.4不等式性质与证实习题课1．不等式概念2．比较实数大小（1）利用数轴数轴上任意两点，右边点对应实数比左边点对应实数大．51/70知识回顾2.1.4不等式性质与证实习题课（2）比较法对任意两个实数和，它们含有以下基本性质：3．不等式性质

性质1(传递性)假如

，那么

.

性质2(加法法则)假如，那么

.52/70知识回顾4．不等式推论

推论1

假如，那么

.

推论2

假如，且，那么

.

推论3

假如

，且

,那么

.

性质3(乘法法则)假如

，那么

;

假如

，那么

.2.1.4不等式性质与证实习题课53/70知识回顾5．均值定理假如，那么.

当且仅当时，等号成立.6．不等式证实方法（1）性质应使用方法;（2）作差比较法；（3）综正当．2.1.4不等式性质与证实习题课54/70知识巩固例题1用不等号“<”或“>”填空：

（1）设

，则_______

;

（2）若

,则______. （2）>,依据移项法则及同号得正原理，若

，则

，若

，则

，所以

．

解：（1）<,依据不等式性质3和性质2，若

，则，即

；2.1.4不等式性质与证实习题课55/70知识巩固解：因为例题2

比较与大小.所以2.1.4不等式性质与证实习题课56/70知识巩固例题3

已知，证实不等式：

.所以

证实：因为，由均值定理，得以上三式当且仅当

时取等号,2.1.4不等式性质与证实习题课57/70知识强化1.用不等号“<”或“>”填空：

（1）若_______，则；

（2）若

,则_______

;

（3）若

,则_______

;

分析：（1）>,依据不等式性质3；（2）>,依据不等式性质3，因为

，即

，

所以；（3）>,依据不等式推论3；2.1.4不等式性质与证实习题课58/70知识强化●（4）假如

,那么

_______

．

分析：（4）<，因为

，且

，所以

，即

；2.1.4不等式性质与证实习题课59/70知识强化